2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 質(zhì)量檢測1 北師大版必修2

質(zhì)量檢測(一)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分滿分150分考試時間120分鐘第卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A2 B C2 D1解析所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為1，高為1的圓柱，其側(cè)面積S側(cè)2Rh2×1×12.答案A2教室內(nèi)有一直尺，無論怎樣放置，在地面總有這樣的直線，使得它與直尺所在直線()A平行 B垂直 C相交 D異面解析當(dāng)直尺垂直于地面時，A不對；當(dāng)直尺平行于地面時，C不對；當(dāng)直尺位于地面上時，D不對答案B3設(shè)球內(nèi)切于圓柱，則此圓柱的全面積與球表面積之比是 ()A11 B21C32 D43解析圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，設(shè)球的直徑為2R，則圓柱的全面積S12R22R·2R6R2，球的表面積S24R2，.答案C4已知m、n是兩條不同直線，、是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A若、垂直于同一平面，則與平行B若m、n平行于同一平面，則m與n平行C若、不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線D若m、n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面解析A項，、可能相交，故錯誤；B項，直線m、n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；C項，若m，n，mn，則m，故錯誤；D項，假設(shè)m、n垂直于同一平面，則必有mn，所以原命題正確，故D項正確答案D5已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為V1和V2，則V1V2()A13 B11 C21 D31解析V1V2(Sh)31.答案D6.如圖，OAB是水平放置的OAB的直觀圖，則OAB的面積為()A6 B3C6 D12解析OAB是直角三角形，OA6，OB4，AOB90°，SOAB×6×412.答案D7某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A60 B30 C20 D10解析由三視圖畫出如圖所示的三棱錐PACD，過點P作PB平面ACD于點B，連接BA，BD，BC，根據(jù)三視圖可知底面ABCD是矩形，AD5，CD3，PB4，所以V三棱錐PACD××3×5×410.故選D.答案D8如圖所示，將等腰直角ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，此時BAC60°，那么這個二面角大小是()A90° B60°C45° D30° 解析如圖，連接BC，則ABC為等邊三角形，設(shè)ADa，則BDDCa，BCACa，所以BDC90°.答案A9已知互相垂直的平面、交于直線l.若直線m、n滿足m，n，則()Aml Bmn Cnl Dmn解析選項A，只有當(dāng)m或m時，ml；選項B，只有當(dāng)m時，mn；選項C，由于l，nl；選項D，只有當(dāng)m或m時，mn，故選C.答案C10已知A，B，C，D是空間不共面的四個點，且ABCD，ADBC，則直線BD與AC()A垂直 B平行C相交 D位置關(guān)系不確定解析過點A作AO平面BCD，垂足為O，連接BOABCD，由三垂線定理可得BOCD.同理DOBC，O為ABC的垂心所以COBD，BDAO，COAOO，BD平面ADC，所以BDAC.故選A.答案A11設(shè)a，b是異面直線，則以下四個結(jié)論：存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個互相垂直的平面；存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個平行平面；經(jīng)過直線a有且只有一個平面垂直于直線b；經(jīng)過直線a有且只有一個平面平行于直線b.其中正確的個數(shù)有()A1 B2 C3 D4解析對于，可在兩個互相垂直的平面中，分別畫一條直線，當(dāng)這兩條直線異面時，可判斷正確；對于，可在兩個平行平面中，分別畫一條直線，當(dāng)這兩條直線異面時，可判斷正確；對于，當(dāng)這兩條直線不垂直時，不存在這樣的平面滿足題意，可判斷錯誤；對于，假設(shè)過直線a有兩個平面，與直線b平行，則面，相交于直線a，過直線b做一平面與面，相交于兩條直線m，n都與直線b平行，可得a與b平行，所以假設(shè)不成立，所以正確，故選C.答案C12如圖，一個正三棱柱的主視圖是邊長為的正方形，則它的外接球的體積等于()A8 B. C9 D.解析因為正三棱柱ABCDEF的主視圖是邊長為的正方形，所以正三棱柱的高是，底面正三角形的高也是.設(shè)它的外接球的球心為O，半徑為R，底面ABC的中心為G，所以O(shè)GA是直角三角形，OG是高的一半，所以O(shè)G，GA是正三角形ABC的高的，所以GA.在OAG中由勾股定理得R2OG2GA2，解得R2.所以球的體積為V××3.故選B.答案B第卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1BB1D1D的體積為_解析連接A1C1，交B1D1于點O，很明顯A1C1平面BDD1B1，則A1O是四棱錐的高，且A1OA1C1S四邊形BDD1B1BD×DD1×1結(jié)合四棱錐體積公式可得其體積為：VSh××.答案14如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是棱AA1和AB上的點，若B1MN是直角，則C1MN等于_解析因為C1B1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，所以C1B1MN.又因為MNMB1，MB1，C1B1平面C1MB1，MB1C1B1B1，所以MN平面C1MB1所以MNC1M，所以C1MN90°.答案90°15棱長為a的正四面體的全面積為_，體積為_. 解析因為正四面體的棱長為a，所以正四面體的底面積為Sa2×a2，正四面體的表面積為S4×a2a2，正四面體的底面外接圓半徑為ra×a，正四面體的高為ha，正四面體的體積為VSh×a2×aa3，故答案為a2，a3.答案a2a316已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_解析如圖，連接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC為球O的直徑，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB.設(shè)球O的半徑為r，則OAOBr，SC2r三棱錐SABC的體積V×·OA即9，r3，S球表4r236.答案36三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)有一個內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為2，求球的體積解如圖所示，作出軸截面因為ABC是正三角形，所以CDAC2所以AC4，AD×42所以R.所以V球R3·3.所以球的體積等于.18. (本小題滿分12分)如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎？請用你的計算數(shù)據(jù)說明理由解因為V半球×R3×××43134(cm3)V圓錐r2h×42×12201(cm3)134<201，所以V半球<V圓錐所以，冰淇淋融化了，不會溢出杯子19(本小題滿分12分) 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點. 求證：(1)MN平面CC1D1D；(2)平面MNP平面CC1D1D.證明(1)如圖，連接AC，CD1.因為ABCD為正方形，N為BD的中點，所以N為AC的中點又M為AD1的中點，所以MNCD1.因為MN平面CC1D1D，CD1平面CC1D1D，所以MN平面CC1D1D.(2)連接BC1，C1D，因為B1BCC1為正方形，P為B1C的中點，所以P為BC1的中點又N為BD的中點，所以PNC1D.因為PN平面CC1D1D，C1D平面CC1D1D，所以PN平面CC1D1D.由(1)知MN平面CC1D1D，且MNPNN，所以平面MNP平面CC1D1D.20. (本小題滿分12分)如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點(1)求證：PABD；(2)求證：平面BDE平面PAC；(3)當(dāng)PA平面BDE時，求三棱錐EBCD的體積解(1)證明：因為PAAB，PABC，ABBCB，所以PA平面ABC.又因為BD平面ABC所以PABD.(2)證明：因為ABBC，D為AC的中點，所以BDAC.由(1)知，PABD，PAACA，所以BD平面PAC，又BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.(3)因為PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE所以PADE.因為D為AC的中點所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC所以DE平面ABC所以三棱錐EBCD的體積VBD·DC·DE.21. (本小題滿分12分)如圖所示，有一塊扇形鐵皮OAB，AOB60°，OA72 cm，要剪下來一個扇形環(huán)ABCD，作圓臺形容器的側(cè)面，并且余下的扇形OCD內(nèi)剪下一塊與其相切的圓形使它恰好作圓臺形容器的下底面(大底面)試求：(1)AD的長；(2)容器的容積解(1)設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為r、R，ADx則OD72x，由題意得即AD應(yīng)取36 cm.(2)2r·OD·36，r6 cm圓臺的高h(yuǎn)6.Vh(R2Rrr2)·6·(12212×662)504(cm3)即容器的容積為504 cm3.22(本小題滿分12分)如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中點，O是AC與BE的交點將ABE沿BE折起到圖中A1BE的位置，得到四棱錐A1BCDE.(1)證明：CD平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時，四棱錐A1BCDE的體積為36，求a的值解(1)證明：在圖中，因為ABBCADa，E是AD的中點，BAD，所以BEAC.即在圖中，BEA1O，BEOC，從而BE平面A1OC，又易得CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)得A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱錐A1BCDE的高由圖知，A1OABa，平行四邊形BCDE的面積Sa2.從而四棱錐A1BCDE的體積為V×S×A1O×a2×aa3，由a336，得a6.12