2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時跟蹤檢測（十一）雙曲線的參數(shù)方程 拋物線的參數(shù)方程（含解析）新人教A版選修4-4

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1、課時跟蹤檢測 (十一) 雙曲線的參數(shù)方程 拋物線的參數(shù)方程 一、選擇題 1．曲線(t為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(1,0)　　　　　　　　　 B．(0,1) C．(－1,0) D．(0，－1) 解析：選B　將參數(shù)方程化為普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，該曲線為拋物線y2＝4x向左、向上各平移一個單位得到，所以焦點(diǎn)為(0,1)． 2．已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，p>0)，點(diǎn)A，B在曲線上對應(yīng)的參數(shù)分別為t1和t2，若t1＋t2＝0，則|AB|等于(　　) A．2p(t1－t2) B．2p(t＋t) C．2p|t1－t2| D．2p(t1－t2)2 解析：選

2、C　因?yàn)閤1＝2pt，x2＝2pt，所以x1－x2＝2p(t－t)＝2p(t1＋t2)·(t1－t2)＝0，所以|AB|＝|y2－y1|，又因?yàn)閥1＝2pt1，y2＝2pt2，所以|y2－y1|＝2p|t1－t2|.故選C. 3．方程(t為參數(shù))的圖形是(　　) A．雙曲線左支 B．雙曲線右支 C．雙曲線上支 D．雙曲線下支 解析：選B　∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2＝2.∴表示雙曲線的右支． 4．P為雙曲線(θ為參數(shù))上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個焦點(diǎn)，則△F1PF2重心的軌跡方程是(　　) A．9x2－16y2＝16

3、(y≠0) B．9x2＋16y2＝16(y≠0) C．9x2－16y2＝1(y≠0) D．9x2＋16y2＝1(y≠0) 解析：選A　由題意知a＝4，b＝3，可得c＝5， 故F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)， 設(shè)P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x，y)，則 x＝＝sec θ，y＝＝tan θ. 從而有9x2－16y2＝16(y≠0)． 二、填空題 5．曲線(t為參數(shù))與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是________． 解析：將曲線的參數(shù)方程化為普通方程為(x＋2)2＝9(y＋1)，令y＝0，得x＝1或x＝－5，故交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，(－5,0)． 答案：(1,0)，(－5

4、,0) 6．雙曲線(θ為參數(shù))的兩條漸近線的傾斜角為________． 解析：將參數(shù)方程化為y2－＝1，此時a＝1，b＝， 設(shè)漸近線傾斜角為α，則tan α＝±＝±. ∴α＝30°或150°. 答案：30°或150° 7．點(diǎn)P(1,0)到曲線(t為參數(shù))上的點(diǎn)的最短距離為________． 解析：設(shè)點(diǎn)P(1,0)到曲線上的點(diǎn)的距離為d，則d＝＝＝＝t2＋1≥1.所以點(diǎn)P到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值為1. 答案：1 三、解答題 8．設(shè)P為等軸雙曲線x2－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1和F2為兩個焦點(diǎn)，證明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2. 證明：如圖，設(shè)雙曲線上的動點(diǎn)為P(x

5、，y)，焦點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，雙曲線的參數(shù)方程為則(|F1P|·|F2P|)2 ＝[(sec θ＋)2＋tan2θ]·[(sec θ－)2＋tan2θ] ＝(sec2 θ＋2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2sec θ＋2＋tan2θ)＝(sec θ＋1)2(sec θ－1)2＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1， 由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2. 9．求點(diǎn)P(0,1)到雙曲線x2－y2＝4的最小距離． 解：設(shè)雙曲線x2－y2＝4上任一點(diǎn)坐標(biāo)為M， 則|PM|2＝2＋(2tan φ－1)2 ＝

6、4(1＋tan2φ)＋4tan2φ－4tan φ＋1 ＝8tan2φ－4tan φ＋5 ＝82＋. 則當(dāng)tan φ＝時，|PM|＝. 所以|PM|min＝，即點(diǎn)P到雙曲線的最小距離為. 10.如圖，O是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩動點(diǎn)，且OA⊥OB，點(diǎn)A，B在什么位置時，△AOB的面積最?。孔钚≈凳嵌嗌?？ 解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)(t1≠t2，且t1·t2≠0)，則 |OA|＝＝2p|t1|， |OB|＝＝2p|t2|. 因?yàn)镺A⊥OB，所以·＝0， 即2pt·2pt＋2pt1·2pt2＝0， 所以t1·t2＝－1. 所以△AOB的面積為 S△AOB＝|OA|·|OB| ＝·2p|t1|·2p|t2| ＝2p2|t1t2| ＝2p2 ＝2p2 ≥2p2＝4p2. 當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t1＝1，t2＝－1時，等號成立． 所以點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2p,2p)，(2p，－2p)時，△AOB的面積最小，最小值為4p2. 4