2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 解三角形 精做02 余弦定理大題精做新人教A版必修5

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1、精做02 余弦定理 1．在中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，求B的度數(shù)． 【答案】B＝150°． 【解析】因為sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C， 由正弦定理，得b2－c2－a2＝ac， 由余弦定理，得， 又0°＜B＜180°，∴B＝150°． 2．在中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2－2x＋2=0的兩根，2cos（A＋B）=1． （1）求角C的度數(shù)； （2）求AB的長． 【答案】（1）；（2）． 3．如圖所示，已知在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BC

2、D＝135°，求BC的長． 【答案】． 【解析】設(shè)BD＝x，在中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠BDA， 即142＝102＋x2?20xcos60°， ∴x2?10x－96＝0，∴x＝16（x＝?6舍去），即BD＝16． 在中，由正弦定理得∴ 4．在中，若B＝60°，2b＝a＋c，試判斷的形狀． 【答案】是正三角形． 【解析】方法1：由正弦定理可得2sin B＝sin A＋sin C， ∵B＝60°，∴A＋C＝120°，A＝120°－C， 將其代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C， 展開整理，得2(3)sin

3、 C＋2(1)cos C＝1， ∴sin(C＋30°)＝1，∴C＋30°＝90°．∴C＝60°，故A＝60°， ∴是正三角形． 方法2：由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B， ∵B＝60°，，∴ ∴(a－c)2＝0，∴a＝c，又∵B＝60°， ∴a＝b＝c，∴為正三角形． 5．的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a． （1）求的值； （2）若c2＝b2＋a2，求B． 【答案】（1）；（2）45°． 【解析】（1）由正弦定理，得asinB＝bsinA，所以bsin2A＋bcos2A＝a，所以＝． （2）由余弦

4、定理及c2＝b2＋a2，可得． 由（1）知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2，所以cos2B＝． 又cosB>0，故cosB＝，∴B＝45°． 6．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA＝acosB． （1）求角B的大?。? （2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值． 【答案】（1）；（2），． 7．如圖，在中，，且，． （1）求的長； （2）已知在線段上，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）記， ∵，且， ∴． ∵，且， ∴，即． 在中，， 解得，∴，即． （2）依題意，， 又，所以， 故．

5、 8．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC+c=b． （1）求角A的大??； （2）若a=，b=5，求c的值． 【答案】（1）；（2）1或4． 【解析】（1）在中，由正弦定理及acosC+c=b，可得sinAcosC+sinC=sinB， 化簡可得sinAcosC+sinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，解得cosA=， 因為0

6、求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． （2）由余弦定理，得． 由于，所以． 故． 10．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 （1）證明：a+b=2c； （2）求cos C的最小值． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】（1）由題意知， 化簡得，即． 因為，所以． 從而，由正弦定理得． （2）由（1）知， 所以， 當且僅當時，等號成立，故的最小值為． 【名師點睛】此類題目是解三角形問題中的典型題目，可謂相當經(jīng)典．解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡三角恒等式，利用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，達到證明目的．三角形中的求角問題，往往

7、要利用余弦定理用邊表示角的函數(shù)．本題覆蓋面較廣，能較好地考查考生的運算求解能力及對復(fù)雜式子的變形能力等． 11．在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且． （1）證明：sinAsinB=sinC； （2）若，求tanB． 【答案】（1）證明見解析；（2）4． （2）由已知，b2+c2–a2=bc，根據(jù)余弦定理，有． 所以sin A=． 由（1），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B， 所以sin B=cos B+sin B，故tan B==4． 【名師點睛】本題考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題的能力和計算能力

8、．在解三角形時，凡是遇到等式中有邊又有角，可用正弦定理進行邊角互化，一種是化為三角函數(shù)問題，一種是化為代數(shù)式的變形問題．在角的變化過程中注意三角形的內(nèi)角和為這個定理，否則難以得出結(jié)論． 12．在中，角的對邊分別為，且 ． （1）求的值； （2）若，，求向量在方向上的投影． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由 得， 則，即 又，則 13．（2018新課標全國Ⅰ理）在平面四邊形中，，，，． （1）求； （2）若，求． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）在中，由正弦定理得． 由題設(shè)知，所以． 由題設(shè)知，所以． （2）由題設(shè)及（1）知． 在

9、中，由余弦定理得，所以． 14．（2018天津文理）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知． （1）求角B的大??； （2）設(shè)，，求和的值． 【答案】（1）；（2），． 【解析】（1）在中，由正弦定理可得， 又由可得，即， 化簡可得．又，所以． （2）在中，由余弦定理及，，可得，故． 由，可得． 因為，故． 因此，， 所以 15．（2016北京）在ABC中，． （1）求的大??； （2）求的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由余弦定理及題設(shè)得． 又因為，所以． 16．（2017天津文）在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知，． （1

10、）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【思路分析】（1）首先根據(jù)正弦定理得到，再根據(jù)余弦定理即可求得的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和條件，由求得，然后根據(jù)求得，再求，然后由二倍角公式求，最后代入的展開式即可． 【解析】（1）由及，得． 由及余弦定理，得． （2）由（1）可得，代入，得． 由（1）知A為鈍角，所以． 于是，， 故． 【名師點睛】（1）利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”可尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”可尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系可求角，利用兩角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函數(shù)值；（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高頻考點，常與三角形內(nèi)角

11、和定理、三角形面積公式等相結(jié)合，利用正、余弦定理進行解題． 17．（2017天津理）在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知，，． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）在中，因為，故由，可得． 由已知及余弦定理，有，所以． 由正弦定理，得． 所以的值為，的值為． （2）由（1）及，得， 所以，． 故． 18．（2017江蘇）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線，的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現(xiàn)有

12、一根玻璃棒l，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計） （1）將放在容器Ⅰ中，的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度； （2）將放在容器Ⅱ中，的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度． 【答案】（1）16；（2）20． 【解析】（1）由正棱柱的定義，平面， 所以平面平面，． 記玻璃棒的另一端落在上點處． 因為，所以， 從而， 如圖，與水面的交點為，過作P1Q1⊥AC，Q1為垂足， 則P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，從而AP1=． 答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm． (如果將“沒入水中部分”理解為

13、“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm) （2）如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心． 由正棱臺的定義，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG． 同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1． 記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處． 過G作GK⊥E1G1，K為垂足，則GK =OO1=32． 因為EG = 14，E1G1= 62，所以KG1=， 從而． 設(shè) 則． 因為，所以． 在中，由正弦定理可得，解得． 因為，所以． 于是． 記EN與水面的交點為P2，過P2作P2Q2⊥EG，Q2為垂足，則P2Q2⊥平面EFGH， 故P2Q2=12，從而EP2=． 答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm． (如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm) 13