山東省2019年中考數(shù)學(xué) 題型專題復(fù)習(xí) 題型5 探索、延伸與應(yīng)用問題課件.ppt
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,題型5探索、延伸與應(yīng)用問題,類型①與三角形有關(guān)的探索、延伸與應(yīng)用,例1?[2018永州]如圖1,在△ABC中,矩形EFGH的一邊EF在AB上,頂點G,H分別在BC,AC上,CD是邊AB上的高,CD交GH于點I.若CI=4,HI=3,AD=.矩形DFGI恰好為正方形.(1)求正方形DFGI的邊長;(2)如圖2,延長AB至P,使得AC=CP,將矩形EFGH沿BP的方向向右平移,當(dāng)點G剛好落在CP上時,試判斷移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形,為什么?(3)如圖3,連接DG,將正方形DFGI繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到正方形DF′G′I′,正方形DF′G′I′分別與線段DG,DB相交于點M,N,求△MNG′的周長.,規(guī)范解答:(1)如圖1,∵HI∥AD.∴=.∴=.∴CD=6.∴ID=CD-CI=2.∴正方形的邊長為2..………………………(4分),(2)如圖2,設(shè)點G落在PC上時對應(yīng)的點為G′,點F對應(yīng)的點為F′.∵CA=CP,CD⊥PA,∴∠ACD=∠PCD,∠A=∠P.∵HG′∥PA,∴∠CHG′=∠A,∠CG′H=∠P.∴∠CHG′=∠CG′H,∴CH=CG′.∴IH=IG′=DF′=3.…………………………(6分)∵IG∥DB,∴=.∴=,∴DB=3.∴DB=DF′=3.∴點B與點F′重合.∴移動后的矩形與△CBP重疊部分是△BGG′.∴移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形.(8分),滿分技法?解答探索、延伸與應(yīng)用類題目時,解答好第(1)問是基礎(chǔ),往往前面第(1)問中的方法思路為第(2)問的解決提供解題方向;解答后續(xù)的“延伸”時,要特別注意運用類比、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想;對于應(yīng)用環(huán)節(jié),就是把實際問題的背景,抽象成已探索出結(jié)論或規(guī)律的幾何模型.,(3)如圖3,將△DMI′繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90得到△DF′R,此時N,F(xiàn)′,R共線.∵∠MDN=∠NDF′+∠MDI′=∠NDF′+∠FD′R=∠NDR=45,又∵DN=DN,DM=DR,∴△NDM≌△NDR.∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′.∴△MNG′的周長=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+NF′=2I′G′=4.……………………(12分),【滿分必練】,1.[2018揚州]問題呈現(xiàn)如圖1,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,連接格點D,N和E,C,DN和EC相交于點P,求tan∠CPN的值.方法歸納求一個銳角的三角函數(shù)值,我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問題中∠CPN不在直角三角形中,我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題,比如連接格點M,N,可得MN∥EC,則∠DNM=∠CPN,連接DM,那么∠CPN就變換到Rt△DMN中.問題解決(1)直接寫出圖1中tan∠CPN的值為________;(2)如圖2,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,AN與CM相交于點P,求cos∠CPN的值;思維拓展(3)如圖3,AB⊥BC,AB=4BC,點M在AB上,且AM=BC,延長CB到N,使BN=2BC,連接AN交CM的延長線于點P,用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求∠CPN的度數(shù).,(3)如圖,取格點O,連接AO,NO.∵PC∥ON,∴∠CPN=∠ANO.∵AO=ON,∠AON=90,∴∠ANO=∠OAN=45.∴∠CPN=45.,解:(1)如圖1,∵EC∥MN,∴∠CPN=∠DNM.∴tan∠CPN=tan∠DNM.∵∠DMN=90,∴tan∠CPN=tan∠DNM===2.故答案為:2.,(2)如圖2,取格點D,連接CD,DM.∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM.∵△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=∠D=45.∴cos∠CPN=cos∠DCM=.,(2)如圖2,點D是邊CB上任意一點,連接AD,作等邊△ADE,且點E在∠ACB的內(nèi)部,連接BE,試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系,寫出你的猜想并加以證明;(3)當(dāng)點D為邊CB延長線上任意一點時,在(2)條件的基礎(chǔ)上,線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論________.,2.[2018日照]問題背景:我們學(xué)習(xí)等邊三角形時得到直角三角形的一個性質(zhì):在直角三角形中,如果一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半,即:如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠ABC=30,則:AC=AB.探究結(jié)論:小明同學(xué)對以上結(jié)論作了進一步研究.(1)如圖1,連接AB邊上中線CE,由于CE=AB,易得結(jié)論:①△ACE為等邊三角形;②BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系為________;,拓展應(yīng)用:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A的坐標(biāo)為(-,1),點B是x軸正半軸上的一動點,以AB為邊作等邊△ABC.當(dāng)C點在第一象限內(nèi),且B(2,0)時,求C點的坐標(biāo).,解:(1)BE=CE.,由(1)結(jié)論可知,△CPA為等邊三角形.∴∠CAP=60,CA=PA.∵△ADE為等邊三角形,∴∠DAE=60,AD=AE.∴∠CAP=∠DAE.∴∠CAP-∠DAB=∠DAE-∠DAB.∴∠CAD=∠PAE.在△ACD和△APE中,∴△ACD≌△APE.(SAS).∴∠APE=∠ACD=90.∴EP⊥AB.∵P為AB的中點,∴AE=BE.∵DE=AE,∴BE=DE.,(2)BE=ED.證明:如圖2,連接EP,,(3)BE=DE.,拓展應(yīng)用:方法一:如圖3,連接OA,OC.過點A作AH⊥x軸于點H.,方法二:【提示】如圖3,△AHB≌△BDC(AAS).∴DB=AH=1,CD=BH=2+.∴OD=2-1=1.∴C點的坐標(biāo)是(1,2+).,∵點A的坐標(biāo)為(-,1),∴∠AOH=30.由探究結(jié)論(3)可知,CO=CB.∵O(0,0),B(2,0),∴點C的橫坐標(biāo)為1.設(shè)C(1,m).∵CO2=CB2=12+m2,AB2=12+(2+)2,AB=CB,∴12+m2=12+(2+)2,∴m=2+.∴C點的坐標(biāo)是(1,2+).,圖3,3.(1)問題如圖1,在四邊形ABCD中,點P為AB上一點,∠DPC=∠A=∠B=90,求證:ADBC=APBP.(2)探究如圖2,在四邊形ABCD中,點P為AB上一點,當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時,上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.(3)應(yīng)用請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗解決問題:如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,點P以每秒1個單位長度的速度,由點A出發(fā),沿邊AB向點B運動,且滿足∠DPC=∠A,設(shè)點P的運動時間為t(秒),當(dāng)以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切時,求t的值.,解:(1)證明:∵∠DPC=∠A=∠B=90,∴∠ADP+∠APD=90,∠BPC+∠APD=90.∴∠ADP=∠BPC.∴△ADP∽△BPC.∴∴ADBC=APBP.,(2)結(jié)論ADBC=APBP仍然成立.理由:∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.∵∠DPC=∠A=∠B=θ,∴∠BPC=∠ADP.∴△ADP∽△BPC.∴∴ADBC=APBP.,∵AD=BD=5,AB=6,∴AE=BE=3.由勾股定理,得DE=4.∵以點D為圓心,DC為半徑的圓與AB相切,∴DC=DE=4.∴BC=5-4=1.又∵AD=BD,∴∠A=∠B.∴∠DPC=∠A=∠B.由(1)(2)獲得的經(jīng)驗可知ADBC=APBP,∴51=t(6-t),解得t1=1,t2=5.∴t的值為1秒或5秒.,(3)如圖3,過點D作DE⊥AB于點E.,類型②與四邊形有關(guān)的探索、延伸與應(yīng)用,例2?[2018山西]綜合與實踐問題情境:在數(shù)學(xué)活動課上,老師出示了這樣一個問題:,反思交流:(1)①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么?②試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上,請直接回答,不必證明;,自主解答:(1)①依據(jù)1:兩條直線被一組平行線所截,所得的對應(yīng)線段成比例(或平行線分線段成比例);依據(jù)2:等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線及底邊上的高互相重合(或等腰三角形的“三線合一”).,②點A在線段GF的垂直平分線上.,(2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā),繼續(xù)進行探究,如圖2,連接CE,以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG,發(fā)現(xiàn)點G在線段BC的垂直平分線上,請你給出證明;,圖2,自主解答:(2)證明:如圖2,過點G作GH⊥BC于點H,,∵四邊形ABCD是矩形,點E在AB的延長線上,∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90.∴∠1+∠2=90.∵四邊形CEFG是正方形,∴CG=CE,∠GCE=90.∴∠1+∠3=90.∴∠2=∠3.∴△GHC≌△CBE.∴HC=BE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC.∵AD=2AB,BE=AB,∴BC=2BE=2HC.∴HC=BH.∴GH垂直平分BC.∴點G在BC的垂直平分線上.,圖2,探索發(fā)現(xiàn):(3)如圖3,連接CE,以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG,可以發(fā)現(xiàn)點C,點B都在線段AE的垂直平分線上,除此之外,請觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點與邊,你還能發(fā)現(xiàn)哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上,請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,并加以證明.,自主解答:(3)結(jié)論:點F在BC邊的垂直平分線上.,證明:如圖3,過點F作FM⊥BC于點M,過點E作EN⊥FM于點N.,∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90.∵四邊形ABCD是矩形,點E在AB的延長線上,∴∠CBE=∠ABC=90.∴四邊形BENM為矩形.∴BM=EN.∠BEN=90.∴∠1+∠2=90.∵四邊形CEFG為正方形,∴EF=EC,∠CEF=90.,圖3,∴∠2+∠3=90.∴∠1=∠3.∠CBE=∠FNE=90.∴△ENF≌△EBC.∴NE=BE,BM=BE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC.∵AD=2AB,AB=BE,∴BC=2BM.∴BM=MC.∴FM垂直平分BC.∴點F在BC邊的垂直平分線上.,滿分技法?探索、延伸與應(yīng)用型問題常常用到以下方法與思想:①特殊值:利用特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等進行歸納、概括,從特殊到一般,從而得出規(guī)律;②分類討論法:當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一,難以統(tǒng)一解答時,則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏,分門別類加以討論求解,將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果;③類比猜想法:即由一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結(jié)論或解決方法,并加以嚴密的論證.,【滿分必練】,4.[2018益陽]如圖1,在矩形ABCD中,E是AD的中點,以點E為直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過點B,C,∠F=30.(1)求證:BE=CE;(2)將△EFG繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動,若EF,EG分別與AB,BC相交于點M,N(如圖2).①求證:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面積的最大值;③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時,點B恰好在FG上(如圖3),求sin∠EBG的值.,圖1,圖2,圖3,解:(1)證明:如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠A=∠D=90.又∵AE=DE,∴△ABE≌△DCE.∴BE=CE.,(2)①證明:如圖2,∵∠AEB+∠ABE=90,∠AEB+∠CED=90,∴∠ABE=∠CED.∵∠CED=∠ECB,∴∠ABE=∠ECB.∵∠BEC=∠MEN=90,∴∠BEM=∠CEN.由(1)得BE=CE,∴△BEM≌△CEN.,圖1,圖2,②由(1)得△ABE≌△DCE,∴∠BEA=∠CED.∵∠ABE=∠CED,∴∠BEA=∠ABE.∴AB=AE=DE=2.設(shè)BM=x,由①得△BEM≌△CEN,∴BM=CN=x.∴BN=4-x,∴△BMN面積=x(4-x)=-(x-2)2+2,又∵0≤x≤2,∴當(dāng)x=2時,△BMN面積最大,最大值為2.,②折法一:如圖4-1,沿著過點D的直線翻折,使點A落在CD邊上的點Q處,此時折痕與AB的交點即為P;折法二:如圖4-2,沿著過點C的直線折疊,使點B落在CE邊上的點Q處,此時,折痕與AB的交點即為P.,又∵PH=CP,∠A=∠B=90.∴Rt△APH≌Rt△BCP(HL),∴∠APH=∠BCP.又∵Rt△BCP中,∠BCP+∠BPC=90,∴∠APH+∠BPC=90.∴∠CPH=90.,- 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