2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項突破3 不等式及線性規(guī)劃問題 理

問題3不等式及線性規(guī)劃問題1(2011·上海)若a，bR，且ab0，則下列不等式恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2答案：D對于A：當ab1時滿足ab0，但a2b22ab，所以A錯；對于B、C：當ab1時滿足ab0，但ab0，0，而20，0，顯然B、C不對；對于D：當ab0時，由基本不等式可得22.2(2012·遼寧)若x0，)，則下列不等式恒成立的是()Aex1xx2 B.1xx2Ccos x1x2 Dln(1x)xx2答案：C正確命題要證明，錯誤命題只需舉一個反例即可如A，因為e31332，故A不恒成立；同理，當x時，1xx2，故B不恒成立；因為sin xx0(x0，)，且x0時，ycos xx210，所以ycos xx210恒成立，所以C對；當x4時，ln(1x)xx2，故D不恒成立3(2012·山東)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z3xy的取值范圍是()A. B.C1,6 D.答案：A作出不等式組所表示的區(qū)域如圖，由z3xy得，y3xz，平移直線y3x，由圖象可知當直線經(jīng)過點E(2，0)時，直線y3xz的截距最小，此時z最大為z3×206，當直線經(jīng)過C點時，直線y3xz的截距最大，此時z最小，由解得此時z3xy3，所以z3xy的取值范圍是.4(2012·安徽)若x，y滿足約束條件則xy的取值范圍是_解析記zxy，則yxz，所以z為直線yxz在y軸上的截距的相反數(shù)，畫出不等式組表示的可行域如圖中ABC區(qū)域所示結(jié)合圖形可知，當直線經(jīng)過點B(1,1)時，xy取得最大值0，當直線經(jīng)過點C(0,3)時，xy取得最小值3.答案3,0本部分內(nèi)容高考主要考查以下幾方面：(1)考查利用基本不等式求最值、證明不等式等，利用基本不等式解決實際問題(2)考查以線性目標函數(shù)的最值為重點，目標函數(shù)的求解常結(jié)合其代數(shù)式的幾何意義(如斜率、截距、距離、面積等)來求解(3)一元二次不等式經(jīng)常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何相結(jié)合考查參數(shù)的取值范圍，以考查一元二次不等式的解法為主，并兼顧二次方程的判別式、根的存在等不等式部分重點掌握一元二次不等式的解法，特別是含有字母參數(shù)的一元二次不等式的解法，基本不等式求最值，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，包括平面區(qū)域的形狀判斷、面積以及與平面區(qū)域有關(guān)的最值問題，簡單的線性規(guī)劃模型在解決實際問題中的應(yīng)用對不等式的深入復(fù)習(xí)要結(jié)合數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)進行.必備知識一元二次不等式(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解結(jié)合二次函數(shù)的圖象得來，不要死記硬背，二次函數(shù)的圖象是聯(lián)系“二次型”的紐帶(2)對含參數(shù)的不等式，難點在于對參數(shù)的恰當分類，關(guān)鍵是找到對參數(shù)進行討論的原因，確定好分類標準(如最高次系數(shù)、判別式、根相等)，層次清楚地求解(3)與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為根的分布問題，求解時一定要借助二次函數(shù)的圖象，一般考慮四個方面：開口方向、判別式的符號、對稱軸的位置、區(qū)間端點函數(shù)值的符號基本不等式(1)基本不等式a2b22ab取等號的條件是當且僅當ab；當且僅當xy時，(x0，y0)取等號(2)幾個重要的不等式：ab2(a，bR)； (a0，b0)；a2(a0，當a1時等號成立)；2(a2b2)(ab)2(a，bR，當ab時等號成立)；|a|b|a±b|a|b|.(3)最值問題：設(shè)x，y都為正數(shù)，則有若xys(和為定值)，則xy時，積xy取得最大值；若xyp(積為定值)，則當xy時，和xy取得最小值2.比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設(shè)的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點解決線性規(guī)劃問題的一般步驟(1)確定線性約束條件；(2)確定線性目標函數(shù)；(3)畫出可行域；(4)利用線性目標函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解；(5)據(jù)實際問題的需要，適當調(diào)整最優(yōu)解(如整數(shù)解等)必備方法1解一元二次不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)，可利用一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)間的關(guān)系2使用基本不等式以及與之相關(guān)的不等式求一元函數(shù)或者二元函數(shù)最值時，基本的技巧是創(chuàng)造使用這些不等式的條件，如各變數(shù)都是正數(shù)，某些變數(shù)之積或者之和為常數(shù)等，解題中要根據(jù)這個原則對求解目標進行適當?shù)淖儞Q，使之達到能夠使用這些不等式求解最值的目的在使用基本不等式求函數(shù)的最值、特別是求二元函數(shù)最值時一定要注意等號成立的條件，盡量避免二次使用基本不等式3平面區(qū)域的確定方法是“直線定界、特殊點定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的半平面的交集線性目標函數(shù)zaxby中的z不是直線axbyz在y軸上的截距，把目標函數(shù)化為yx可知是直線axbyz在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號確定目標函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值.?？疾椋褐苯永没静坏仁角笞钪?；先利用配湊法等進行恒等變形，再利用基本不等式求最值近幾年高考試題?？疾閷嶋H應(yīng)用題中基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)引起我們的重視【例1】 (2010·重慶)已知x0，y0，x2y2xy8，則x2y的最小值是()A3 B4 C. D.審題視點 聽課記錄審題視點 將已知式改寫成y關(guān)于x的表達式，再代入x2y消元，整理成應(yīng)用基本不等式的形式求最值Bx2y2xy8，y0，1x8，x2yx2·(x1)22 24，此時x2，y1，故選B. 當函數(shù)或代數(shù)式具有“和是定值”、“積是定值”的結(jié)構(gòu)特點時，常利用基本不等式求其最大、最小值在具體題目中，一般很少考查基本不等式的直接應(yīng)用，而是需要對式子進行變形，尋求其中的內(nèi)在關(guān)系，然后利用基本不等式得出結(jié)果【突破訓(xùn)練1】 已知a0，b0，且a2b1.則的最小值為_解析332 32.即的最小值為32.答案32線性規(guī)劃問題?？疾橛腥N題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是知最優(yōu)解情況或可行域情況確定參數(shù)的值或取值范圍同時，這也是高考的熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查【例2】 (2012·濰坊模擬)設(shè)x，y滿足約束條件若目標函數(shù)zaxby(a0，b0)的最大值為12，則的最小值為()A. B. C. D4審題視點 聽課記錄審題視點 先由已知結(jié)合線性規(guī)劃知識可以求得a，b的關(guān)系式，再由基本不等式求解A不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分當直線axbyz(a0，b0)過直線xy20與直線3xy60的交點(4,6)時，目標函數(shù)zaxby(a0，b0)取得最大值12，即4a6b12，即2a3b6.所以·2. 線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯，比如上題中目標函數(shù)所對應(yīng)直線的斜率0；三，一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得【突破訓(xùn)練2】 (2012·江西)某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤總銷售收入總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為()A50,0 B30,20 C20,30 D0,50答案：B設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標函數(shù)為z(0.55×4x1.2x)(0.3×6y0.9y)x0.9y.線性約束條件為即畫出可行域，如圖所示作出直線l0：x0.9y0，向上平移至過點B時，z取得最大值，由求得B(30，20)?？疾椋汉瑓⒉坏仁降那蠼?；已知含參不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍，尤其是一元二次不等式的求解是高考重點考查的知識點之一，幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，且常考常新，要注意解題的靈活性【例3】 若不等式x2ax10對于一切x(0,2成立，求a的取值范圍(1)若題中區(qū)間改為x2,2，求a的取值范圍； (2)若題中區(qū)間改為a2,2，求x的取值范圍審題視點 聽課記錄審題視點 原題可利用分離法求解；(1)分離參數(shù)后，需分x0，x(0,2，x2,0)討論；(2)利用變換主元法求解解原不等式可化為a，而2，所以a的取值范圍是(，2(1)因為x2,2，而當x0時，原式為02a·010恒成立，此時aR；當x0時，令f(x)x，則當x(0,2時，知a(，2，所以當x2,0)時，因為a，令f(x)x，由函數(shù)的單調(diào)性可知，所以f(x)maxf(1)2，所以a2，)，綜上可知，a的取值范圍是2,2(2)因為a2,2，則可把原式看作關(guān)于a的函數(shù)，即g(a)xax210，由題意可知，解之得xR，所以x的取值范圍是(，) 本題考查了不等式恒成立問題，在給定自變量的取值范圍時，解有關(guān)不等式問題時，往往采用分離變量或適當變形，或變換主元，或構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式進行求解，在解答時，一定要注意觀察所給不等式的形式和結(jié)構(gòu)，選取合適的方法去解答【突破訓(xùn)練3】 已知f(x)x22ax2，當x1，)時，f(x)a恒成立，求a的取值范圍解設(shè)F(x)x22ax2a，則問題的條件變?yōu)楫攛1，)時，F(xiàn)(x)0恒成立當(2a)24(2a)4(a2)·(a1)0，即2a1時，F(xiàn)(x)0恒成立又當0時，F(xiàn)(x)0在1，)上恒成立的充要條件是3a2.故a的取值范圍是3,1不等式的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在不等式與函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等其它知識的綜合應(yīng)用不等式作為一種工具經(jīng)常與函數(shù)、方程結(jié)合在一起，用其研究函數(shù)和方程的有關(guān)題目；再就是利用函數(shù)和方程的理論研究不等式題目難度較大【例4】 設(shè)函數(shù)f(x)x2aln(1x)有兩個極值點x1，x2，且x1x2.(1)求a的取值范圍，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：f(x2).審題視點 聽課記錄審題視點 第(1)問基礎(chǔ)常規(guī)，第(2)問要證明不等式，常規(guī)方法很難見效，轉(zhuǎn)而構(gòu)造函數(shù)，反復(fù)利用導(dǎo)數(shù)作工具研究函數(shù)的單調(diào)性，其中需要一定的探究能力(1)解f(x)2x(x1)令g(x)2x22xa，其對稱軸為x.由題意知x1、x2是方程g(x)0的兩個均大于1的不相等的實根，且x1，x2，其充要條件為得0a.當x(1，x1)時，f(x)0，f(x)在(1，x1)內(nèi)為增函數(shù)；當x(x1，x2)時，f(x)0，f(x)在(x1，x2)內(nèi)為減函數(shù)；當x(x2，)時，f(x)0，f(x)在(x2，)內(nèi)為增函數(shù)(2)證明當x(x2，)時，f(x)0，x20.a(2x2x2)f(x2)xaln(1x2)x(2x2x2)ln(1x2)設(shè)h(x)x2(2x22x)ln(1x)，則h(x)2x2(2x1)ln(1x)2x2(2x1)ln(1x)當x時，h(x)0，h(x)在上單調(diào)遞增；當x(0，)時，h(x)0，h(x)在(0，)上單調(diào)遞減當x時，h(x)h.故f(x2)h(x2). 在確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，往往需要對所求出的導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)進行分類討論來解決，不等式的證明常常借助構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行證明，從而使問題的解決變得簡單、明快【突破訓(xùn)練4】 已知函數(shù)f(x)x33ax29a2xa3.若a，且當x1,4a時，|f(x)|12a恒成立，試確定a的取值范圍解f(x)3x26ax9a2的圖象是一條開口向上的拋物線，關(guān)于xa對稱若a1，則f(x)在1,4a上是增函數(shù)，從而f(x)在1,4a上的最小值是f(1)36a9a2，最大值是f(4a)15a2.由|f(x)|12a，得12a3x26ax9a212a，于是有f(1)36a9a212a，且f(4a)15a212a.由f(1)12a，得a1，由f(4a)12a，得0a.所以a，即a.若a1，則|f(a)|12a212a.故當x1,4a時，|f(x)|12a不恒成立所以使|f(x)|12a(x1,4a)恒成立的a的取值范圍是.把握好含參二次不等式的分類標準的四個“討論點”含參數(shù)的二次不等式的解法常常涉及到參數(shù)的討論問題，如何選擇討論標準是學(xué)生不易掌握的地方實際上，只要把握好下面的四個“討論點”，一切便迎刃而解分類標準一：二次項系數(shù)是否為零，目的是討論不等式是否為二次不等式；分類標準二：二次項系數(shù)的正負，目的是討論二次函數(shù)圖象的開口方向；分類標準三：判別式的正負，目的是討論二次方程是否有解；分類標準四：兩根差的正負，目的是比較根的大小【示例】 (2012·汕頭調(diào)研)已知函數(shù)f(x)axc(a0)的圖象在點(1，f(1)處的切線方程為yx1.(1)用a表示出b，c；(2)若f(x)ln x在1，)上恒成立，求a的取值范圍滿分解答(1)f(x)a，則有解得(4分)(2)由(1)知，f(x)ax12a.令g(x)f(x)ln xax12aln x，x1，)，則g(1)0，g(x)a.(8分)當0a時，1.若1x，則g(x)0，g(x)是減函數(shù)，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x故f(x)ln x在1，)上不恒成立(10分)當a時，1.若x1，則g(x)0，g(x)是增函數(shù)，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x，故當x1時，f(x)ln x.綜上所述，所求a的取值范圍為，.(12分)老師叮嚀：對不確定的根的大小關(guān)系不加區(qū)分，整體表現(xiàn)為不能有序地進行分類討論，對于分類討論的題目沒有結(jié)論，這都是造成失分的原因，切記！【試一試】 (高考題改編)解關(guān)于x的不等式ax2(2a1)x20.解不等式ax2(2a1)x20，即(ax1)(x2)0.(1)當a0時，不等式可以化為(x2)0.若0a，則2，此時不等式的解集為；若a，則不等式為(x2)20，不等式的解集為；若a，則2，此時不等式的解集為.(2)當a0時，不等式即x20，此時不等式的解集為(2，)(3)當a0時，不等式可以化為(x2)0.由于2，故不等式的解集為(2，)綜上所述，當a0時，不等式的解集為(2，)；當a0時，不等式的解集為(2，)；當0a時，不等式的解集為；當a時，不等式的解集為；當a時，不等式的解集為.13