新三第21講 方陣問(wèn)題

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1、方陣問(wèn)題 學(xué)生排隊(duì)，士兵列操，橫著排叫作行，豎著排叫作列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫作方陣。方陣可分實(shí)心方陣和空心方陣兩種。如果一個(gè)方陣中間都是排滿的，就叫實(shí)心方陣；反之，就叫空心方陣。 解方陣問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意方陣中排列的規(guī)律，找出巧妙的解法。一般來(lái)說(shuō)，無(wú)論是實(shí)心方陣，還是空心方陣，都具有以下特點(diǎn)： 1．方陣無(wú)論哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都是相等的；每向里一層，每邊上的人（或物）數(shù)就少2； 2．每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系是： 四周人（或物）數(shù) = [ 每邊人（或物）數(shù) – 1 ] × 4 每邊人（或物）數(shù) = 四周人（或物

2、）數(shù) ÷ 4 + 1 3．實(shí)心方陣的總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)一每邊人（或物）數(shù)×每邊人（或物）數(shù)； 4．空心方陣的總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=[最外層每邊人（或物）數(shù)]–[最內(nèi)層每邊人（或物）數(shù)]； 5．方陣相鄰兩層人（或物）數(shù)相差8。 解空心方陣時(shí)，如果利用“四分法”將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形，就會(huì)有化腐朽為神奇之感。這時(shí)，空心方陣的總?cè)耍ɑ蛭铮?shù) = [最外層每邊人（或物）數(shù)–空心方陣的層數(shù)] × 空心方陣的層數(shù) × 4。 【例1】 三（1）班的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè)7行7列的正方形隊(duì)列。如果去掉一行一列，要去掉多少人? 還剩下多少人? 分析 橫行去掉7個(gè)，豎列去掉7人，好像去掉了（7

3、+ 7）= 14人，但是行和列交匯處的那個(gè)人被重復(fù)計(jì)算了一次，所以去掉的總?cè)藬?shù)要減去1。 〖即學(xué)即練1〗（1）運(yùn)動(dòng)員入場(chǎng)式要求排成一個(gè)9行9列的正方形方陣，如果去掉1行1列，要減少多少名運(yùn)動(dòng)員? （2）東方小學(xué)四年級(jí)準(zhǔn)備排演一個(gè)正方形隊(duì)列參加學(xué)校廣播體操表演，先排了一個(gè)14行14列的隊(duì)伍。但覺(jué)得不夠氣勢(shì)，所以決定增加1行1列，則還需補(bǔ)充多少人參加隊(duì)列表演? 【例2】 棋子若干粒，如果排成三層的中空方陣，就多20粒；如果中空部分增加兩層，就少12粒。棋子有多少粒? 分析 相鄰兩層相差8，中空部分增加兩層，需20 + 12 = 32粒棋子。32 = 12

4、 + 20，最內(nèi)層為12粒，第2層為20粒。 〖即學(xué)即練2〗（1）在一塊正方形土地的四邊植樹(shù)，每邊栽17棵，四個(gè)角各栽1棵，共可以栽多少棵樹(shù)? （2）某小學(xué)三年級(jí)的學(xué)生排成一個(gè)實(shí)心方陣，最外面一層有學(xué)生40人。這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人? 【例3】 小朋友們排成方陣做廣播體操。小明恰好站在方陣的正中心，此時(shí)無(wú)論從前往后或者從后往前數(shù)時(shí)他都排在第5個(gè)，無(wú)論是從左往右或者是從右往左數(shù)時(shí)他都排在第6個(gè)，則這個(gè)方陣中一共有幾位小朋友? 分析 小明前、后各有5–1 = 4（人），琊么一列就有4 + 1 + 4 = 9（人），一列9人方陣

5、共9行；小明左、右各有6–1 = 5（人），那么一行就有5 + 1 + 5 = 11（人），一行11人表示方陣共11列。 〖即學(xué)即練3〗學(xué)校為慶?！笆弧保没ㄅ钄[了一個(gè)中空方陣，最外一層有36盆花。這個(gè)方陣每邊共有多少盆花? 【例4】 光明小學(xué)三年級(jí)原準(zhǔn)備排成一個(gè)正方形隊(duì)列參加廣播體操表演，由于服裝不夠，只好橫豎各減少一排，這樣共需去掉29人。三年級(jí)原來(lái)準(zhǔn)備多少人參加表演? 分析 橫、豎各減少1排，共減少29人，說(shuō)明原來(lái)每邊（29 + 1）÷ 2 = 15（人）。 〖即學(xué)即練4〗 某校學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演

6、，排成一個(gè)正方形隊(duì)列。如果這個(gè)隊(duì)列橫、豎各去掉一排，則減少15人。原米參加隊(duì)列表演的學(xué)生有多少人? 【例5】 若干個(gè)學(xué)生排成一個(gè)空心方陣，最外層每邊10人，最內(nèi)層每邊6人。學(xué)生共有多少人？ 分析 由于每向里一層，每邊上的人數(shù)就少2，所以如圖，將這個(gè)空心方陣填上一個(gè)邊長(zhǎng)為（6–2）的實(shí)心方陣，它也變成了一個(gè)邊長(zhǎng)為10的實(shí)心方陣，所以學(xué)生總?cè)藬?shù)就等于10 × 10 –4 × 4 = 84（人）。 〖即學(xué)即練5〗（1）有一體育館的地面要鋪瓷磚，排成空心方陣，外層每邊26塊，內(nèi)層每邊20塊。一共使用了瓷磚多少塊? （2）社區(qū)居委會(huì)打算從林場(chǎng)采購(gòu)一些小樹(shù)苗。居委會(huì)王大

7、媽發(fā)現(xiàn)，林場(chǎng)的一些小樹(shù)苗排成了一個(gè)三層的空心方陣，最里層每條邊有6棵樹(shù)。王大媽將這些小樹(shù)苗全都買(mǎi)下來(lái)，發(fā)動(dòng)小區(qū)居民將這些樹(shù)苗種在小區(qū)南邊的一條馬路上。這條馬路長(zhǎng)400米，只在馬路的一側(cè)種樹(shù)，并且兩頭都種，每隔5米種一棵。那么，最后還剩下多少棵小樹(shù)苗? 【例6】 聰聰用棋子擺了一個(gè)5層的空心方陣，共用了220枚棋子。最外邊一層每邊有多少枚棋子? 分析 如圖，以層數(shù)5作為一條邊，以每邊棋子數(shù)與層數(shù)5的差作為另一條邊，將這個(gè)空心方陣分成四個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方形，則每個(gè)長(zhǎng)方形共有棋子220 ÷ 4 = 55（枚），長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊上有棋子55 ÷ 5 = 11（枚），空心方

8、陣最外層每邊上有棋子11 + 5 = 16（枚）。 〖即學(xué)即練6〗 （1）有兒童排成每邊24人的實(shí)心方陣，今想改成三層的空心方陣，空心方陣的最外層共有幾人? （2）有棋子若干枚，它們恰好可以排成一個(gè)外層每邊10枚棋子的4層空心方陣。這些棋子的總數(shù)是多少? 最外層共有棋子多少枚? 【例7】 有一堆棋子，排成實(shí)心正方形方陣，剩余9枚棋子。若正方形縱、橫兩個(gè)方向各增加一層，則缺少12枚棋子。共有棋子多少枚? 分析 若正方形縱、橫兩個(gè)方向各增加一層，已有的9枚棋子不夠，還需要增加12枚，說(shuō)明正方形縱橫各增加一層需要9 + 12 = 2

9、1（枚）棋子，則增加后的正方形每邊有（21+1）÷2 = 11（枚）棋子。 〖即學(xué)即練7〗 有學(xué)生若干人，如果排成實(shí)心方陣，則不足14人；如果每邊少排1人，就余41人。學(xué)生一共有多少人? 能力檢測(cè) 1．學(xué)校正方形操場(chǎng)四周插彩旗，四個(gè)角上都要插上1面彩旗，每條邊上都有12面彩旗。一共需要準(zhǔn)備多少面彩旗? 2．一個(gè)正方形苗圃種滿了樹(shù)苗，后來(lái)又補(bǔ)種了19棵，使橫、豎各增加了一排。原來(lái)正方形苗圃有樹(shù)苗多少棵? 3．三年級(jí)學(xué)生組成一個(gè)正方形方隊(duì)，共12行，每行12人。后來(lái)由于服裝不夠，只好去掉一行一列。去掉了多少名學(xué)生?

10、 4．如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)方形廣場(chǎng)的正中央有一個(gè)長(zhǎng)方形的水池。水池長(zhǎng)8米、寬3米。水池周?chē)眠呴L(zhǎng)1米的方磚一圈一圈地向外鋪。恰好鋪了若干圈，共用了152塊方磚。那么，一共鋪了多少圈? 5．用邊長(zhǎng)10厘米的正方形瓷磚拼地面，周?chē)笥镁G色，中間用白色（如圖）。 （1）每邊5塊綠瓷磚時(shí)，一共需要準(zhǔn)備多少塊綠瓷磚? （2）周?chē)灿?6塊綠瓷磚時(shí)，白瓷磚要多少塊? 6．運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式要求運(yùn)動(dòng)員排成9行9列的正方形方陣。如果去掉2行2列，每個(gè)方陣減少多少名運(yùn)動(dòng)? 7． “六一”兒童節(jié)前夕，在校園雕塑的周?chē)?04盆鮮花圍成了一個(gè)每邊三層的方陣。最外面一層每

11、邊有鮮花多少盆? 8．100位同學(xué)都面向主席臺(tái)，排成10行10列的方陣。小明在方陣中，他的正左方有2位同學(xué)，正前方有4位同學(xué)。若整個(gè)方陣的同學(xué)向右轉(zhuǎn)，則小明的正左方和正前方分別有幾位同學(xué)? 9．有一個(gè)三層長(zhǎng)方形中空方陣，排列方式如圖，長(zhǎng)比寬多1顆棋子，最外層一周有26顆棋子。中空方陣最外側(cè)每邊各有幾顆棋子? 一共有多少顆棋子? 10．三年級(jí)學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播體操比賽，他們排成甲、乙兩個(gè)方陣，其中甲方陣每邊有8人。如果兩隊(duì)合并，可以另排成一個(gè)空心的丙方陣，丙方陣每邊的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多4人，甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心。三

12、年級(jí)參加廣播體操比賽的一共有多少人? 11．將若干玻璃扣進(jìn)行排列，橫、豎行數(shù)目相同，一橫排與一豎行共21粒。若每一橫排與一豎行共增加4粒，組成的正方形共有多少粒玻璃扣? 12．用20粒珠子，可以同成每邊6粒的一層正方形空心方陣。如果用600粒珠子，可以圍成每邊幾粒的正方形? 13．用棋子擺成一個(gè)兩層空心方陣，最外一層每邊有10個(gè)棋子。這個(gè)方陣共用棋子多少個(gè)? 14．品晶用圍棋擺成一個(gè)四層空心方陣。最外一層每邊有圍棋子16顆。晶晶擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少顆? 15．解放軍戰(zhàn)士排成一個(gè)中空的長(zhǎng)方形方陣，每邊4層，最外層長(zhǎng)的方向有28人，寬的方向有20人。這個(gè)長(zhǎng)方形方陣中共有多少名戰(zhàn)士? 《方陣問(wèn)題》 第 158 頁(yè)