多元函數(shù)微分[共184頁]

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1、高數(shù)課件重慶大學(xué)數(shù)理學(xué)院 教師 吳新生 第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用開 始退出第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念返 回第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度第三節(jié) 全微分總習(xí)題返 回一.區(qū)域四.多元函數(shù)的連續(xù)性三.多元函數(shù)的極限二.多元函數(shù)概念第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念習(xí)題第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 一、區(qū)域 1.鄰域 設(shè) 是xOy平面上的一個點，是某一正數(shù).與點 距離小于的點 的全體稱為 的鄰域，記為 ，即也就是返 回000(,)P xy000(,)P xy( ,

2、)P x y0P0(, )U P00(, )U PP PP22000(, )( , )()()U Px yxxyy下一頁2.區(qū)域 設(shè)E是平面上的一個點集，P是平面上的一個點.如果存在點P的某一鄰域 使 ， 則稱P為E的內(nèi)點(圖8-1). 如果點集E的點都是內(nèi)點，則 稱E為開集. 如果點P的任一鄰域內(nèi)既有屬 P 于E的點，也有不屬于E的點， E 則稱P為E的邊界點（圖8-2）. 設(shè)D是開集.如果對于D內(nèi)的 圖 8-1 任何兩點，都可用折線連結(jié)起下一頁上一頁( )U P( )U PE返 回 來,而且該折線上的點都屬于D, P 則稱開集D是連通的. 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域. E 開區(qū)域連同它的邊

3、界一起,稱 為閉區(qū)域. 圖 8-23.n維空間 設(shè)n為取定的一個自然數(shù),我們稱有序n元數(shù)組 的全體為n維空間,而每個有序n元數(shù)組 稱為n維空間中的一個點,數(shù) 稱12( ,)nx xx12( ,)nx xxix返 回下一頁上一頁為該點的第i個坐標(biāo),n維空間記為 . n維空間中兩點 及 間的距離規(guī)定為n12( ,)nP x xx12(,)nQ y yy2221122()()()nnPQyxyxyx返 回下一頁上一頁二、多元函數(shù)概念 定義定義1 1 設(shè)設(shè)D D是平面上的一個點集是平面上的一個點集. .如果對于如果對于每個點每個點P=(x,y)D,P=(x,y)D,變量變量z z按照一定法則總有確按照

4、一定法則總有確定的值和它對應(yīng)定的值和它對應(yīng), ,則稱則稱z z是變量是變量x x、y y的的二元函數(shù)二元函數(shù)( (或點或點P P的函數(shù)的函數(shù)),),記為記為點集D稱為該函數(shù)的定義域,x、y稱為自變量,z( ,)()zfx yzfP或例題返 回下一頁上一頁也稱為因變量,數(shù)集 稱為該函數(shù)的值域. 把定義1中的平面點集D換成n維空間內(nèi)的點集D.則可類似的定義n元函數(shù) .當(dāng)n=1時，n元函數(shù)就是一元函數(shù).當(dāng)n2時n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù). .( , ),( , )z zf x yx yD12( ,)nuf x xx返 回下一頁上一頁三、多元函數(shù)的極限 二元函數(shù) 當(dāng) , ,即 時的極限.這里 表示點 以任

5、何方式趨于 ，也就是點 與點 間的距離趨于零，即 定義定義2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x,y)f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)有定義，內(nèi)有定義， 是是D D的內(nèi)點或邊界點如果的內(nèi)點或邊界點如果對于任意給定的正數(shù)對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，總存在正數(shù)，使得，使得對于適合不等式對于適合不等式( , )zf x y0 xx0yy000( , )(,)P x yP xy0PP0P0P22000()()0PPxxyy000(,)PxyPP返 回下一頁上一頁的一切點的一切點P(x,y)DP(x,y)D，都有，都有成立，則稱常成立，則稱常A A為函數(shù)為函數(shù)f(x,y)f(x,y)當(dāng)當(dāng)

6、， 時的極限，記作時的極限，記作或或 這里這里 . . 220000()()P Pxxyy( , )f x yA0 xx0yy0lim( , )xxf x yA( , )f x yA(0)0PP例題返 回下一頁上一頁四、多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x,y)f(x,y)在開區(qū)域在開區(qū)域( (或閉區(qū)域或閉區(qū)域)D)D內(nèi)有定義，內(nèi)有定義， 是是D D的內(nèi)點或邊界點且的內(nèi)點或邊界點且 . .如果如果則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x,y)f(x,y)在點在點 連續(xù)連續(xù). . 若函數(shù)f(x,y)在點 不連續(xù)，則稱 為函數(shù)f(x,y)的間短點. 函數(shù)0PD0000lim ( , )(,)xxyy

7、f x yf xy0P222222,0( , )0,xyxyxyf x yxy=0000(,)P xy000(,)P xy000(,)P xy返 回下一頁上一頁當(dāng)x0,y0時的極限不存在，所以點(0,0)是該函數(shù)的一個間斷點. 函數(shù)在圓周 上沒有定義，所以該圓周上各點都是間斷點，是一條曲線. 性質(zhì)性質(zhì)1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在有界閉區(qū)在有界閉區(qū)域域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上一定有最大值和上一定有最大值和最小值最小值. . 在D上至少有一點 及一點 ，使得 為最大值而 為最小值，即對于一切PD，有221sin1zxy221xy1P2P1()

8、f P2()f P返 回下一頁上一頁 性質(zhì)性質(zhì)2(2(介值定理介值定理) ) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元上的多元函數(shù)，如果在函數(shù)，如果在D D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在在D D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。 如果是函數(shù)在D上的最小值m和最大值M之間的一個數(shù)，則在D上至少有一點Q，使得f(Q)=. *性質(zhì)性質(zhì)3(3(一致連續(xù)性定理一致連續(xù)性定理) ) 在有界閉區(qū)域上在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)必定在的多元連續(xù)函數(shù)必定在D D上一致連續(xù)上一致連續(xù). . 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，那么對于任意給定的正

9、數(shù)，總存在正數(shù)，使得對于D上的21()( )()f Pf Pf P返 回下一頁上一頁任意二點 ，只要當(dāng) 時，都有成立. 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. . 由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點 處的極限，而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點函數(shù)值，即12()()f Pf P0P00lim( )()PPf Pf P例題12,P P12P P返 回上一頁一.偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法二.高階偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)習(xí)題返 回一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的某的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)一鄰域內(nèi)有定義

10、，當(dāng)y y固定在固定在 而而x x固定在固定在 處處有增量有增量x x 時，相應(yīng)地函數(shù)有增量時，相應(yīng)地函數(shù)有增量如果如果 （1 1）存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù) 在點在點 處對處對x x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) ，記作，記作( , )zf x y00(,)xy0y0 x0000(,)(,)f xx yf xy00000(,)(,)limxf xx yf xyx ( , )zf x y00(,)xy返 回下一頁例如，極限(1)可以表示為 (2)類似地,函數(shù)函數(shù) 在點在點 對對y y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)定義為數(shù)定義為 0000000,0,()xx xxx xx xy yy yy yzfzfx y

11、xx或0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx ( , )zf x y00(,)xy返 回下一頁上一頁 (3)記作記作 如果函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x、y函數(shù),它就稱為函數(shù) 對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作00000(,)(,)limxf xx yf xyy 0000000,0,()xx xxx xx xy yy yy yzfzfx yxx或( , )zf x y( , )zf x y返 回下一頁上一頁 類似的，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作 求 時只要把y暫時看作常量對x求導(dǎo)數(shù)；求 時只要把暫x時

12、看作常量對y求導(dǎo)數(shù).,( ,)xxzfzfx yxx或,( ,)yyzfzfx yyy或fxfy例題返 回下一頁上一頁 圖 8-6xyz0 x0yO0MxTyT0(, )zf xy0( ,)zf x y返 回下一頁上一頁二、高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么在D內(nèi) 都是x,y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對變量求導(dǎo)次序的 不同下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：222( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y ( , ),( , )xyzzfx yfx yxy( , )( , )xyfx yfx y、2

13、22( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y 返 回下一頁上一頁 二元函數(shù)z=f(x,y)在點 的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義. 設(shè) 為曲面z=f(x,y)上的一點,過 作平面 ，截此曲面得一曲線，此曲線在平面 上的方程為 ,則導(dǎo)數(shù) ，即偏導(dǎo)數(shù) ,就是這曲線在點 處的切線 對x軸的斜率(見圖8-6).同樣偏導(dǎo)數(shù) 的幾何意義是曲面被平面 所截得的曲線在點 處的切線 對y軸的斜率.00(,)xy00000(,(,)Mxyf xy0M0yy0yy0( ,)zf x y00( ,)df x yxxdx00(,)xfxy0M0 xM T00(,)yfxy0 xx0M0 xM T返

14、回下一頁上一頁其中第二、第三兩個偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).同樣可得三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)的兩個二階混合偏的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 及及 在在D D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等. .222( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y 222( , ),( , )yxyyzzzzfx yfx yxyy xyyy 2zy x 2zx y 例題例題返 回上一頁第三節(jié)第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用習(xí)題下一

15、頁返 回第三節(jié)第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用 二元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)另一個自變量固定時，因變量相對于該自變量的變化率.上面兩式的左端分別叫做二元函數(shù)對x和對y的偏增量，而右端分別叫做二元函數(shù)對x和對y的偏微分. 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè) 為這鄰域內(nèi)的任意一(, )( , )( , )xf xx yf x yfx yx( ,)( , )( , )yf x yyf x yfx yy(,)P xx yy下一頁上一頁返 回點，則稱這兩點的函數(shù)值之差為函數(shù)在點P對應(yīng)于自變量增量x、y的全增量，記作z，即 定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z=

16、f(x,y)在點在點(x,y)(x,y)的全增的全增量量 (1)(1)可表示為可表示為(,)( , )f xx yyf x y (,)( , )zf xx yyf x y (,)( , )zf xx yyf x y ( )zA xB yo 下一頁上一頁返 回其中其中A A、B B不依賴于不依賴于xx、yy而僅與而僅與x,yx,y有關(guān)，有關(guān)， ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點在點(x,y)(x,y)可微分，而可微分，而 稱為函數(shù)稱為函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點在點(x,y)(x,y)全微分，記作全微分，記作dz,dz,即即 (2) (2) 如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各

17、點處都可微分，那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分. 下面討論函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微分的條件. 定理定理1(1(必要條件必要條件) ) 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點在點22()()xy A xB y dzA xB y 下一頁上一頁返 回(x,y)(x,y)可微分，則該函數(shù)在點可微分，則該函數(shù)在點(x,y)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 必定存在，且函數(shù)必定存在，且函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點在點(x,y)(x,y)的全微的全微分為分為 (3)(3) 證 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)可微分.于是對于點P的某個鄰域內(nèi)的任意點 ，(2)式總成立.特別當(dāng)

18、時(2)式也應(yīng)成立，這時 ，所以(2)式成為zxzyzzdzxyxy (,)P xx yyx 0y 下一頁上一頁返 回上式兩邊各除以 ，再令 而極限，就得從而，偏導(dǎo)數(shù) 存在，而且等于A.同樣可證 =B.所以三式成立.證畢.(, )( , )()f xx yf x yAxx x0 x 0(, )( , )limxf xx yf x yAx zxzy下一頁上一頁返 回 定理定理2(2(充分條件充分條件) ) 如果如果z=f(x,y)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 在在(x,y)(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分. . 證 因為我們只限于討論在某一區(qū)域內(nèi)有定義的函數(shù)(對于偏

19、導(dǎo)數(shù)也如此)，所以假定偏導(dǎo)數(shù)在點P(x,y)連續(xù)，就含有偏導(dǎo)數(shù)在該點的某一鄰域內(nèi)必然存在的意思.設(shè)點 為這鄰域內(nèi)任意一點，考察函數(shù)的全增量zzxy、(,)xx yy(,)( , )zf xx yyf x y (,)( ,)f xx yyf x yy下一頁上一頁返 回在第一個方括號內(nèi)的表達式，由于y+y不變，因而可以看作是x的一元函數(shù) 的增量.于是應(yīng)用拉格郎日中值定理，得到 又依假設(shè)， 在點 連續(xù)，所以上式可寫為(,)( ,)f xx yyf x yy( ,)( , )f x yyf x y( ,)f x yy(,)( ,)f xx yyf x yy11(,)01xfxx yyx()( , )x

20、fx y( , )x y下一頁上一頁返 回 (4)其中 為x、y的函數(shù)，且當(dāng)時， . 同理可證第二個方括號內(nèi)的表達式可寫為 (5)其中 為y的函數(shù)，且當(dāng) 時， . 由(4)、(5)兩式可見，在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的假定下，全增量z可以表示為(,)( ,)f xx yyf x yy1( , )xfx yxx 10,0 xy 102( ,)( , )( , )yf x yyf x yfx yyy 20y 20下一頁上一頁返 回 容易看出它就是隨著 即 而趨于零的. 這就證明了z=f(x,y)在點P(x,y)是可微分的.12( , )( , )xyzfx yxfx yyxy 1212xy 0,0 xy 0例題

21、上一頁返 回第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則返 回下一頁習(xí)題第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù) 及及 都在點都在點t t可導(dǎo)，函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)z=f(u,v)在對應(yīng)點在對應(yīng)點(u,v)(u,v)具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則符合函數(shù)導(dǎo)數(shù)，則符合函數(shù) 在在t t可導(dǎo)，切可導(dǎo)，切其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算：其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算： (1)(1) 證 設(shè)t獲得增量t，這時 、 的對應(yīng)增量為u 、v,由此，函數(shù)z=f(u,v)( )ut( )vt( ),( )zfttdzz duz dudtu dtv dt( )ut

22、( )vt下一頁上一頁返 回相應(yīng)的獲得增量z.根據(jù)規(guī)定，函數(shù)z=f(u,v)在點(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是由第三節(jié)公式(6)有這里，當(dāng) 時， . 將上式兩邊各除以t，得因為當(dāng) ，時 ， ，12zzzuvuvuv 0,0uv 120,012zzuzvuvtutvttt 0t 0,0uv udutdt下一頁上一頁返 回 ，所以 這就證明符合函數(shù) 在點t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用公式(1)計算.證畢. 全微分形式不變?nèi)⒎中问讲蛔?設(shè)函數(shù)z=f(u.v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分vdvtdt0limxzz duz dvtu dtv dt( ),( )zftt下一頁上一頁返 回如果u、v又是x、y的函數(shù)

23、、 且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 的全微分為zzdzdudvuv( , )ux y( , )vx y( , ),( , )zfx yx yzzdzdxdyxy下一頁上一頁返 回其中 及 發(fā)分別由公式(4)及(5)給出.把公式(4)及(5)中的 及 帶如上式，得zxzyzxzxzyzuzvzuzvdzdxdyuxv xuyv y zuuzvvdxdydxdyuxyvxyzzdudvuv下一頁上一頁返 回由此可見，無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性.上一頁返 回一.一個方程的情形二.方程組的情形第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求

24、導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式返 回習(xí)題一、一個方程的情況 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ， ，則方程，則方程 在點在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單質(zhì)來年許具的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單質(zhì)來年許具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) , ,它滿足條件它滿足條件 ，并有，并有 （1 1）( , )F x y00(,)P xy00(,)0F xy00(,)0yF xy00(,)0F xy00(,)xy( )yf x00()yf xxyFdydxF 返 回下一頁 公式推導(dǎo)： 將方程 所確定的函數(shù) 代入，得恒等式其左端

25、可以看作是x的一個復(fù)合函數(shù)，求這個函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得 由于 ，且 ，所以存在 的00(,)0F xy( )yf x( ,( )0F x f x0FF dyxy dxyF00(,)0yF xy00(,)xy返 回下一頁上一頁一個鄰域，在這個鄰域內(nèi) ，于是得 如果 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式(1)的兩端看作x的復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)而再求一次導(dǎo)，即得0yF xyFdydxF ( , )F x y22xxyyFFd ydydxxFyFdx返 回下一頁上一頁 隱函數(shù)存在定理可以判定由方程所確定的二元函數(shù) 的存在，以及這個函數(shù)的性質(zhì)。隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)

26、設(shè)函數(shù) 在點在點 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，22xxyyxxxyyyyxxyyyF FF FF FF FFFFF2232xxyxyxyyyxyF FF F FF FF( , , )0F x y z ( , )zf x y( , , )0F x y z 000( ,)P x y z返 回下一頁上一頁且且 ，則方程，則方程 在點在點 的某一鄰域內(nèi)恒能的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)數(shù) ，它滿足條件，它滿足條件 ，并，并有有 (2)將公式(2)做如下的推導(dǎo)，由于 將上式兩端分別對x和y求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函

27、數(shù)求導(dǎo) 000000(,)0,(,)0 xF xyzF xyz( , , )0F x y z 000(,)x y z( , )zf x y000(,)zf xy,yxzzFFzzxFyF ( , ,( , )0F x y f x y返 回下一頁上一頁法則得因為 連續(xù)，且 ，所以存在點 的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi) ，于是得0,0 xzyzzzFFFFxyzF000(,)0zF xyz000(,)xyz0zF ,yxzzFFzzxFyF 返 回下一頁上一頁二、方程組的情況 考慮方程組 (5)在四個變量中，一般只能有兩個變量獨立化，因此方程組(5)就有可能確定兩個二元函數(shù).這種情形下我們可以由函數(shù)F、

28、G的性質(zhì)來斷定方程組(5)所確定的兩個二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì).( , , , )0( , , , )0F x y u vG x y u v返 回下一頁上一頁 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理3 3 設(shè)設(shè) 以及以及 在點在點 的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 、 ，且，且 偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式 ( (或稱雅可比或稱雅可比(Jacobi(Jacobi) )行列式行列式) )：( , , , )F x y u v( , , , )G x y u v0000(,)P xy u v0000(,)0F xy u v0000

29、(,)0G xy u v(,)( , )FFF GuvJGGu vuv返 回下一頁上一頁在點在點 不等于零，則方程組不等于零，則方程組 、 在點在點 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ， ，它們滿足條件，它們滿足條件 ， ，并有，并有0000(,)P xy u v0000(,)0F xy u v0000(,)0G xy u v0000(,)xy u v( , )uu x y( , )vv x y000(,)uu xy000(,)vv xy1(,)( , )xvxvuvuvFFGGuF GFFxJx uGG 返

30、回下一頁上一頁 (6)1(,)( , )uxuxuvuvFFGGuF GFFxJu xGG 1(,)( , )yvyvuvuvFFGGuF GFFyJy vGG 返 回下一頁上一頁 下面僅就公式(6)做如下推導(dǎo). 由于1( ,)( , )uyuyuvuvFFGGuF GFFyJu yGG , , ( , ), ( , )0F x y u x y v x y, , ( , ), ( , )0G x y u x y v x y返 回下一頁上一頁將恒等式兩邊分別對x求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得這是關(guān)于 的線性方程組，由假設(shè)可知在點 的一個鄰域，系數(shù)行列式00 xuvxuvuvFFFxxuvGGGxx

31、,uvxx0000(,)P xy u v0uvuvFFJGG返 回下一頁上一頁從而可解出 ，得 同理，可得 ,uvxx1( ,)1( ,),( , )( , )uF GvF GxJx vxJu x 1( ,)1( ,),( , )( , )uF GvF GyJy vyJu y 返 回上一頁一.空間曲線的切線與法平面二.曲面的切平面與法線第六節(jié)第六節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用返 回習(xí)題一、空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程 (1)這里假定(1)式的三個函數(shù)都可導(dǎo). 在曲線上取對應(yīng)與 的一點及對應(yīng)于 的鄰近一點 .根據(jù)解析幾何，曲線的割線 的方程是 ( ),( ),( )

32、xtytzt0tt000(,)M xyz0ttt000(,)M xx yy zzMM000 xxyyzzxyz返 回下一頁當(dāng) 沿著趨于 ，時割線 的極限位置 就是曲線在點 處的切線(圖8-7).用t除上式的各分母，得 令 (這t0)， 通過對上式取極限，即得 圖 8-7 曲線在點 處的切線方程MMMMTMzMMMM000 xxyyzzxyztttzxyMTM O返 回下一頁上一頁 這里當(dāng)要假定 都不能為零. 切線的方向向量稱為曲線的切向量.向量就是曲線通過在點 處的一個切向量. 點通過 而與切線垂直的平面稱為曲線在000000( )( )( )xxyyzztttz000( )( )( )ttt

33、、000( ),( ),( )TtttMM返 回下一頁上一頁點 處的法平面，它是通過點 而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為zM000(,)M xyz000000( )()( )()( )()0txxtyytzz返 回下一頁上一頁二、曲面的切平面與法線 我們先討論由隱式給出曲面方程的情形，然后把顯式給出的曲面方程z=f(x,y)作為它的特殊情形. 設(shè)曲面由方程(9)給出， 是曲面上的一點，并設(shè)函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零.在曲線上，通過點M引一條曲線(圖8-8)，假定曲線的參數(shù)方程為z( , , )0F x y z 000(,)M xyz( , , )F x y z返 回下一頁上

34、一頁程為 (10) 對應(yīng)于點 且 ， ， 不全為 零，則由(2)式可得這 曲線的切線方程為 圖 8-8 ( ),( ),( )xtytztzzxyOMTn0tt000(,)M xyz0( )t0( )t0( )t000000( )( )( )xxyyzzttt返 回下一頁上一頁 引入向量 則表示(10)在點M處的切向量 z000000000(,),(,),(,)xyzF xyzF xyzF xyz0000000(,)( )(,)( )xyF xyztF xyzt000(,)( )0zF xyzt0( ),( ),( )Tttt返 回下一頁上一頁與向量n垂直.因為曲線(10)是曲面上通過點M的任

35、意一條曲線，它們在點M的切線都與同一個向量n垂直，所以曲面上通過點M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上.這個平面稱為曲面在點M的切平面.這切平面的方程是 (12) 通過點 而垂直于切平面(12)的直線稱為曲面在該點的法線.法線方程是z00000000(,)()(,)()xyF xyzxxF xyzyy0000(,)()0zF xyzzz000(,)M xyz返 回下一頁上一頁 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.向量就是曲面在點M處的一個法向量.z000000000000()()()(,)(,)(,)xyzxxyyzzF xyzF xyzF xyz000000000(,),(,),(

36、,)xyzF xyzF xyzF xyz返 回上一頁一.方向?qū)?shù)二.梯度第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度返 回習(xí)題第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 一、方向?qū)?shù) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在P(x,y)的某一鄰域U(P)內(nèi)有定義.自點P引射線.設(shè)x軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 ，并設(shè) 為 上的另一點(圖8-9)且 .我們考慮函數(shù)的增量 與 兩點間的距離 的比值 .當(dāng) 沿著 趨于 時，如果這個比的極限存在，則稱這極ll(,)P xx yyl( )PU P(,)( , )f xx yyf x yPP、22()()xy PlP返 回下一頁 限為函數(shù)f(x,y)在點P沿 方向 的方向?qū)?shù)，記 作 ，即 圖 8-

37、9lyOxyPxPlfl0(,)( , )limff xx yyf x yl返 回下一頁上一頁 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點在點P(x,y)P(x,y)是可微是可微分的，那么函數(shù)在該點沿任一方向的導(dǎo)數(shù)都存分的，那么函數(shù)在該點沿任一方向的導(dǎo)數(shù)都存在且有在且有其中其中 為為x x軸到方向軸到方向 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角. . 證證 根據(jù)函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)是可微分的假定，函數(shù)的增量可以表達為cossinffflxyl(,)( , )( )fff xx yyf x yxyoxy 返 回下一頁上一頁兩邊各除以 ，得到所以 (,)( , )f xx yyf x y

38、( )fxfyoxy ( )cossinffoxy返 回下一頁上一頁這就證明了方向?qū)?shù)存在且其值為0(,)( , )limf xx yyf x ycossinffxycossinffflxy返 回下一頁上一頁 對于三元函數(shù)u=f(x,y,z)來說，它在空間一點P(x,y,z)沿著 (設(shè)方向 的方向為)的方向?qū)?shù)，同樣可以定義為其中 ， 同樣可以證明，如果函數(shù)在所考慮的點處可微分，那么函數(shù)在該點沿著方向 的方向?qū)?shù)ll、 、0(,)( , , )limff xx yy zzf x y zl222()()()xyz cos ,x cos,cos .yz l返 回下一頁上一頁為coscoscosff

39、fflxyz返 回下一頁上一頁二、梯度 在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點P(x,y)D，都可以定出一個向量這向量稱為函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度，記作 ，即ffijxygrad ( , )f x ygrad ( , )fff x yijxy返 回下一頁上一頁 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值. 由梯度的定義可知，梯度的模為 一般來說二元函數(shù)z=f(x,y)在幾何上表示一個曲面，這曲面被平面z=c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為22grad ( , )fff x

40、yxy返 回下一頁上一頁 這條曲線 在xOy面 的投影是一條平面曲 線 (圖8-10)，它 在xOy平面直角坐標(biāo) 系中的方程為 圖 8-10( , )zf x yzcyOxgrad ( , )f x y1( , )f x yc( , )f x yc2( , )f x yc*LL*L( , )f x yc返 回下一頁上一頁對于曲線 上的一切點，已給函數(shù)的函數(shù)值都是c，所以我們稱平面曲線 為函數(shù)z=f(x,y)的等高線. 由于等高線f(x,y)=c上任一點P(x,y)處的法線斜率為所以梯度*L11xyxyfdyffdxf *Lffijxy返 回下一頁上一頁為等高線上點P處的法向量.因此我們可得梯度

41、與等高線的下述關(guān)系：函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度方向與過點P的等高線f(x,y)=c在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù).這個法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向. 對于三元函數(shù)來說，函數(shù)u=f(x,y,z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對每一點 ，都可定出一個向量( , , )P x y zG返 回下一頁上一頁這向量稱為函數(shù)u=f(x,y,z)在點P(x,y,z)的梯度，將它記作 ，即 如果我們引進曲面fffijkxyzgrad ( , , )f x y zgrad ( , )ffff x yij

42、kxyz( , , )f x y zc返 回下一頁上一頁為函數(shù)u=f(x,y,z)的等量面的概念，則可得函數(shù)u=f(x,y,z)在點P(x,y,z)的梯度的方向與過點P的等量面f(x,y,z)=c在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù).返 回上一頁一.多元函數(shù)的極值及最大值、最小值二.條件極值第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法返 回習(xí)題第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法 一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的的某個鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于某個鄰域內(nèi)有定義，對于該

43、鄰域內(nèi)異于 的點的點 ：如果都適合不等式：如果都適合不等式則稱函數(shù)在點則稱函數(shù)在點 有有極大值極大值 ；如；如果都適合不等式果都適合不等式( , )zf x y00(,)xy00(,)xy( , )x y00( , )(,)f x yf xy00(,)xy00(,)f xy返 回下一頁則稱函數(shù)在點則稱函數(shù)在點 有有極小值極小值 . .極大極大值、極小值統(tǒng)稱為值、極小值統(tǒng)稱為極值極值. .使函數(shù)取得極值的點稱使函數(shù)取得極值的點稱為為極值點極值點. . 以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念，可推廣到n 元函數(shù).設(shè)n元函數(shù) 在點 的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)有異于 的任何點 都不適合不等式 00( ,

44、 )(,)f x yf xy00(,)xy00(,)f xy( )uf P0P0PP返 回下一頁上一頁則稱函數(shù) 在點 有極大值(極小值) . 定理定理1(1(必要條件必要條件) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在點點 具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點 處有極處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： 證證 不妨設(shè) 在點 處有極大值.依極大值的定義，在 的某鄰00( )()( ( )()f Pf Pf Pf P( )f P0P0()f P( , )zf x y00(,)xy00(,)xy0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy( , )zf x y00(,)xy00(,)

45、xy返 回下一頁上一頁域內(nèi)異于 的點 都適合不等式特殊地，該鄰域內(nèi)取 而 的點，也應(yīng)合適不等式這表明一元函數(shù) 在 處取得極大值，因而必有 ( , )x y00(,)xy00( , )(,)f x yf xy0yy0 xx000( ,)(,)f x yf xy0( ,)f x y0 xx00(,)0 xfxy返 回下一頁上一頁類似地可證 如果三元函數(shù) 在點 具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在點 具有極值的必要條件為 定理定理2(2(充分條件充分條件) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在00(,)0yfxy( , , )uf x y z000(,)xyz000(,)xyz000000000(,)0,(,)0,(,)0 xyz

46、fxyzfxyzfxyz( , )zf x y返 回下一頁上一頁點點 的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有 一階及二階一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 ， ，令，令則則 在在 處是否取得極值的條件如處是否取得極值的條件如下：下： (1) (1) 時具有極值，且當(dāng)時具有極值，且當(dāng) 時有極大值，當(dāng)時有極大值，當(dāng) 時有極小值；時有極小值； (2) (2) 時沒有極值；時沒有極值； (3) (3) 時可能有極值，也可能沒時可能有極值，也可能沒00(,)xy00(,)0 xfxy00(,)0yfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC( , )f x y00(

47、,)xy20ACB0A0A20ACB20ACB返 回下一頁上一頁有極值，還需另作討論有極值，還需另作討論. . 二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 的極值的求法敘述如下： 第一步 解方程組求得一切實數(shù)解，即可求得一切駐點. 第二步 對于每一個駐點 ，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 和 . 第三步 定出 的符號，按定理2的( , )zf x y( , )0,( , )0 xyfx yfx y00(,)xyAB、C2ACB返 回下一頁上一頁結(jié)論判定 是否是極值、是極大值還是極小值.0( ,)f x y返 回下一頁上一頁二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 上面所討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量，除了限制在函數(shù)的定義域以外，并無其他

48、條件，所以有時候稱為無條件極值.但在實際問題中，有時會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問題. 例如，求表面積為 而體積為最大的長方體的體積問題.設(shè)長方體的三棱的長為 還必須滿足附加條件 .象這種對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.2a, ,x y z22()xyyzxza返 回下一頁上一頁 對于有些實際問題，可以把條件極值化為無條件極值，然后利用第一目中的方法加以解決.例如上述問題，可由條件 ，將z表示成x,y的函數(shù)再把它代入 中，于是問題就化為求222()axyzxyVxyz22()xyyzxza2222()xyaxyVxy返 回下一頁上一頁的無條件極值. 但在很多情形下，將條件極值化

49、為無條件極值并不這樣簡單.我們另有一種直接尋求條件極值的方法，可以不必先把問題化到無條件極值的問題. 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù) 在附加條件 下的可能極值點，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其中 為某一常數(shù).求其對x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，( , )zf x y( , )0 x y( , )( , )( , )F x yf x yx y返 回下一頁上一頁并使之為零，然后與方程 聯(lián)立起來：由這方程組解出 及 ，則其中 就是函數(shù) 在附加條件 下的可能極值點的坐標(biāo). ( , )0 x y( , )( , )0( , )( , )0( , )0 xxyyfx yx yfx yx yx y( , )f x y(

50、 , )0 x y, x y, x y返 回下一頁上一頁第八章結(jié)束第八章結(jié)束上一頁返 回總習(xí)題總習(xí)題 八八1.在“充分”、“必要”和“充分”三者中選擇一個正 確的填入下列空格內(nèi)： （1） 在點 可微分是 在該點連續(xù)的 充分 條件. 在點連續(xù)是 在該點可微分的 必要 條件. （2） 在點 的偏導(dǎo)數(shù) 及 存在是 在該點可微分的 必要 ( ,)f x y下一頁返 回( ,)x y( ,)f x y( ,)f x y( ,)x y( ,)f x y( ,)zf x y( ,)x yzxzy( ,)f x y條件. 在點 可微分是函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù) 及 存在的 充分 條件. （3） 的偏導(dǎo)數(shù) 及 在點

51、存在且連續(xù)是 在該點可微分的 充分 條件. （4）函數(shù) 的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個二階下一頁返 回( ,)zf x y( ,)x yzxzy上一頁( ,)zf x yzxzy( ,)x y( , )f x y( ,)zf x y2zx y 2zy x 混合偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等的 充分 條件.2.求函數(shù) 的定義 域，并求 .3.證明極限 不存在.下一頁返 回上一頁120lim( ,)xyf x y2224( ,)ln(1)xyf x yxy22400limxyxyxy題解題解4.設(shè)求 及 .5.求下列函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)：下一頁返 回上一頁2222222,0( ,)0,0 x

52、 yxyxyf x yxy( ,)xfx y( ,)yfx y2(1)ln()zxy(2)yzx題解題解題解6.求函數(shù) 當(dāng) 時的全增量和全微分.7.設(shè) 證明： 在點(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微分. 下一頁返 回上一頁2222223/222,0()( ,)0,0 x yxyxyf x yxy 0.03y2,1,0.01,xyx22xyzxy( ,)f x y題解題解8.設(shè) ，而 都是可微函數(shù)，求 .9.設(shè) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而求 .10.設(shè) ，其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求 . 下一頁返 回上一頁,uvwdudt( ),( )xtytyux( , ,)zf u v w,zzz( , ,)

53、,yzf u x yuxe2zx y 題解題解題解11.設(shè) 試求 和 .12.求螺旋線在點 處的切線及法平面方程.13.在曲面 上求一點，使這點處的法線垂直于平面 ，并寫出這法線的方程.下一頁返 回上一頁cos ,sin ,.uuxev yev zuvzxzycos,sin,xayazb( ,0,0)azxy290 xyz題解題解題解14.設(shè)x軸正向到方向 的轉(zhuǎn)角為 ，求函數(shù)在點(1,1)沿方向 的方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角 ，使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值，(2)最小值，(3)等于0.15.求函數(shù) 在橢球面上點 處沿外法線方向的方向?qū)?shù).下一頁返 回上一頁l22( ,)f x yxxyyl222uxy

54、z2221xyzabc0000(,)Mxyz題解題解16.求平面 和柱面的交線上與xOy平面距離最短的點.17.在第一卦限內(nèi)做橢球面的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小.求著切平面的切點，并求此最小體積.返 回上一頁221xy1345xyz2221xyzabc題解題解解：解：求定義域 需滿足即 需滿足下一頁返 回( , )x y222224010ln(1)0 xyxyxy( , )x y22222401011xyxyxy( , )x yD而 是D的一個內(nèi)點.返 回2224( , )ln(1)xyf x yxy222( , ) 40,01Dx yxyxy上一頁1,0212012

55、lim( , ),032ln4xyf x yf解：解： 設(shè)當(dāng) 時， 沿 的方向趨近于零顯然，該極限隨k的 不同而改變.返 回0 x y22242420000limlimxxyyxykxxyxk x12ykx242400lim(1)1xykxkkxk解：解：當(dāng)當(dāng) , ,顯然顯然 . .當(dāng)當(dāng) , ,下一頁返 回(, )( , )( , )limxxf xx yf x yfx yx 220 xy0 xf 220 xyxyxyxyxxyxxfxx2222220)()(lim下一頁返 回2222222220()()()lim()()xxxyxyxy xxyxxyxyx 2222222222220()()

56、()()lim()()xxxxxxyxyy xyxxxxyxy 2223)(2yxxy上一頁同理同理當(dāng)當(dāng) , ,顯然顯然 . .當(dāng)當(dāng) , ,返 回220 xy220 xy0yf 222222)()(yxyxxfy上一頁解：解：返 回21xZxy22yxyZy22)(1yxZxx222()xyyxyZZxy222222)(22)(22)(2yxyxyxyyyxZyy解：解：返 回1yxZyxxxZyyln2) 1(yxxxyyZ11lnyyxyyxZZxyxx2)(ln xxZyyy解：解：全增量返 回) 1 , 2()03. 1 ,01. 2(ffZ3203. 101. 203. 101. 2

57、222222322222)()()2()(yxyxyyxxxyyxyZx2222322222)()()2()(yxxyxyxxyyyxxZy下一頁返 回上一頁22210 010 030 03xxyxyydzZ.Z.證明: 顯然 時, 有返 回下一頁(0 0)0f，, 022( ,)( ,)x yx yxy22222332222221 ()04()()x yxyxyxy返 回下一頁21212241)(41yx處處連連續(xù)續(xù)在在)0 , 0(),(yxf000lim)0 , 0()0 ,0(lim00 xxfxfxx又又0)0 , 0(xf0)0 , 0(yf同理：同理：上一頁返 回下一頁上一頁(0

58、,0)即在處，偏導(dǎo)存在即在處，偏導(dǎo)存在yfxfZyx)0 , 0()0 , 0(而而0)0 , 0()0 ,0(fyxf232222)(yxyx222002200)(limlimyxyxyxZyxyx又：又：返 回若令若令 沿沿 方向趨近于方向趨近于0 xkyy22242222220000limlim()(1)xxyy k xxykxxykx 則則222(1)kk上一頁解解: 返 回xydudxdyuudtdtdt)( ln)( 1txxtyxyy解解: 返 回vwvwzvwZZZZ uwuwzuwZZZZuuvzuvZZZZ 解解: 返 回yuxuxZufffefxx2( )yyyyuuuu

59、yxuxyZe ffxefefxefx y uyxyxuyuyyuuyfeffxefefxe 2解解: 返 回cos ,sinyuxev yevxyarctgvyxu),ln(2122ZZuZvxuxvx222222()1 ( )yxxvuyxyx下一頁 返 回上一頁2222yxuyvyxxueuuvv)sincos(uevvvuyZ)sincos(同理：同理：解解: 返 回sin ,cos ,xayaZb 0)0 , 0 ,(對應(yīng)的對應(yīng)的而點而點 a, 0baT 0byaZax切線方程為切線方程為0bZay法平面方程為：法平面方程為：解解: 返 回00000(,), 1Zxyxyzyxn設(shè)曲

60、面上這點為設(shè)曲面上這點為113100 xy由題意得：由題意得：33, 1000Zxy133113) 3 , 1, 3(Zyx法線方程為：法線方程為：這點為這點為解解: 返 回cossinlfffxysin)2(cos)2(xyyx)4cos(2sincos11），（fl即：即：24時，有最大值時，有最大值（1）當(dāng)（1）當(dāng)245時，有最小值時，有最小值（2）當(dāng)（2）當(dāng)時，值為0時，值為04 47 7（3）當(dāng)（3）當(dāng)解解: 返 回( , , )(coscoscos )x y zxyzuuuun)cos2cos2cos2000zyx)2,2,2(),(,1222222222czbyaxFFFnczb

61、yaxFzyx則則令令下一頁 返 回下一頁)2,2,2(202020),(000czbyaxnzyx則則420420420204204204202022cosczbyaxaxczbyaxax4204204202042042042020cos,cosczbyaxazczbyaxay上一頁 返 回420420420220220220),(222000czbyaxczbyaxnuzyx上一頁解解: 返 回221xy由由題題意意得得，就就是是要要在在的的條條件件下下有有最最小小值值使使)431 (5yxZ得得：令令0)1 ()431 (522fffyxyxfyx由由010245023522yxyx下一

62、頁 返 回上一頁最短點最短點與面與面為為xoyZyx)1235,53,54(123553,54,2425解解: 返 回下一頁000000000222(,)222()()()()()()0 xyzxyzxxyyzzabc設(shè)切點,則切平面方程為設(shè)切點,則切平面方程為), 0 , 0);0 , 0);0 , 0 ,0)()()(020202020020020zcybxazzazyybyxxax（：則與三點坐標(biāo)軸交點為則與三點坐標(biāo)軸交點為即即上一頁 返 回下一頁2220001,6a b cUx y z即為最小值即為最小值則有則有, ,設(shè)設(shè)令令0)1 (61000202020000222ffffczby

63、axzyxcbafzyx上一頁 返 回下一頁102161021610181220220220202200022220220002222022000222czbyaxczzyxcbabyyzxcbaaxxzycba上一頁 返 回abccbaabcczbyax3),3,3,3(343,3,3,3000極值為極值為所求點為所求點為解得：解得：上一頁習(xí)習(xí) 題題 8-18-11.已知函數(shù) 試 求 .2.試證函數(shù) 滿足關(guān)系式.3.以知函數(shù) ，試求 .22( , )tanxf x yxyxyy(,)f tx ty(,)( , )( , )( , )( , )F xy uvF x uF x vF y uF y

64、 v( , )lnlnF x yxy下一頁返 回( , , )wu vf u v wuw(,)f xy xy xy4.求下列各函數(shù)的定義域：下一頁返 回2(1)ln(21)zyx上一頁11(2)zxyxy(3)zxy22(4)ln()1xzyxxy5.求下列各極限：下一頁返 回222222221(5)(0)zRxyzxyzrRr上一頁22(6)arccoszzxy22011(1)limxyxyxy2210ln()(2)limyxyxexy6.證明下列極限不存在：下一頁返 回上一頁20sin()(5)limxyxyy2210ln()(2)limyxyxexy0024(3)limxyxyxy222

65、222001 cos()(6)lim()x yxyxyxy e00(1)limxyxyxy2222200(2)lim()xyx yx yxy7.函數(shù) 在何處是間斷的？8.證明 .2222yxzyx上一頁返 回2210lim0 xyxyxy例例1 1 圓柱體的體積 和它的底半徑 、高 之間具有關(guān)系這里，當(dāng) 、 在集合 內(nèi)取定一對值 時， 的對應(yīng)值就隨之確定.例例2 2 一定量的理想氣體的壓強 、體積 和絕對溫度 之間具有關(guān)系Vrh2Vr hrh( , )0,0r h rh( , )r hVpVTRTpV下一頁返 回其中 為常數(shù).這里，當(dāng) 、 在集合 內(nèi)取定一對值 時，的值就隨之確定.例例3 3

66、設(shè) 是電阻 并聯(lián)后的總電阻，由電學(xué)知道，它們之間具有關(guān)系這里，當(dāng) 在集合 內(nèi)取定一對值 時， 的對應(yīng)值就隨之確定.VTp12RR、R( , )0,0V T VT( , )V TR1212R RRRR12RR、1212(,)0,0R RRR12()RR、R上一頁返 回例例4 4 設(shè)求證證證 因為可見，對任給 ，取 則當(dāng)2222221( , )()sin(0)f x yxyxyxy00lim( , )0 xyf x y222222222211()sin0sinxyxyxyxyxy0下一頁返 回時，總有成立，所以220(0)(0)xy22221()sin0 xyxy00lim( , )0 xyf x y下一頁上一頁返 回例例5 5 求解 這里 在區(qū)域 和區(qū)域 內(nèi)都有定義， 同時為 及 的邊界點.但無論在 內(nèi)還是在 內(nèi)考慮，下列運算都是正確的：1( , )0Dx y x0(0,2)P1D02sin()limxyxyxsin()( , )xyf x yx2( , )0Dx y x2D1D2D0022sin()sin()limlimlim1 22xxyyyxyxyyxx上一頁返 回例例6 6 求