（新課標）2020高考數(shù)學大一輪復習 第11章 第5節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入課時作業(yè) 理

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1、課時作業(yè)(七十五)　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 一、選擇題 1．(2020·新課標全國Ⅰ)＝(　　) A．1＋i B．1－i　　 C．－1＋i D．－1－i 答案：D 解析：＝·(1＋i)＝(1＋i)＝－1－i，故應選D. 2．(2020·濟寧模擬)已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z＝(1－i)·(－i)，是z的共軛復數(shù)，則的虛部為(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 答案：A 解析：z＝＋i2－3i－i＝－4i， ∴＝4i，虛部為4. 故應選A. 3．復數(shù)z滿足(z－i)(2－i)＝5，則z＝(　　) A．－2－2i B．－2＋2i C．2－2i D．2＋2i 答

2、案：D 解析：由題意知，z＝＋i＝＋i＝2＋2i. 故應選D. 4．下面是關于復數(shù)z＝的四個命題： p1：|z|＝2；　　p2：z2＝2i； p3：z的共軛復數(shù)為1＋i；　　p4：z的虛部為－1. 其中的真命題為(　　) A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4 答案：C 解析：∵z＝＝－1－i， ∴|z|＝，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共軛復數(shù)為－1＋i，z的虛部為－1，綜上可知p2，p4是真命題． 故應選C. 5．在復平面內，復數(shù)z＝cos 3＋isin 3(i是虛數(shù)單位)對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限

3、 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：因為<3<π ， 所以cos 3<0，sin 3>0， 故點(cos 3，sin 3)在第二象限，即復數(shù)z＝cos 3＋isin 3對應的點位于第二象限． 故應選B. 6．若復數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為(　　) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 答案：A 解析：因為z＝＝＝＝3＋5i，故應選A. 7．若i為虛數(shù)單位，圖中復平面內點Z表示復數(shù)z，則表示復數(shù)的點是(　　) A．E B．F C．G D．H 答案：D 解析：依題意，得z＝3＋i，＝＝＝＝2－i，該復數(shù)

4、對應的點的坐標是(2，－1)，由圖知為點H. 故應選D. 8．(2020·山東)復數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝(　　) A．25 B． C．5 D． 答案：C 解析：∵z＝＝＝＝＝－4－3i， ∴|z|＝＝5，故應選C. 9．(2020·青島質檢)設i是虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為(　　) A．2 B．－2 C．－ D． 答案：A 解析：∵＝＝＋i， ∴＝0，≠0， ∴a＝2. 故應選A. 10．對于任意的兩個數(shù)對(a，b)和(c，d)，定義運算(a，b)*(c，d)＝ad－bc，若(1，－1)*(z，zi)＝1－i，則復數(shù)z為(　　) A．2

5、＋i B．2－i C．1 D．－i 答案：D 解析：由已知條件所給出的定義，得 (1，－1)*(z，zi)＝zi＋z＝1－i， 解得z＝＝－i， 故應選D. 二、填空題 11．已知復數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________. 答案： 解析：＝＝2＋i，所以|z|＝. 12．若＝a＋bi(a，b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝________. 答案：3 解析：由＝＝＝a＋bi，得a＝，b＝， 解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3. 13．已知復數(shù)z＝1－i，則＝________. 答案：－2i 解析：＝＝z－1－ ＝(－i)－＝－i－＝－2i.

6、 14．(2020·濟南模擬)若復數(shù)z滿足z－1＝cos θ＋isin θ，則|z|的最大值為________． 答案：2 解析：∵z－1＝cos θ＋isin θ， ∴z＝(1＋cos θ)＋isin θ， ∴|z|＝＝ ≤＝2. 15．在復平面內，復數(shù)1＋i與－1＋3i分別對應向量和，其中O為坐標原點，則||＝________. 答案：2 解析：由題意知＝(1,1)，＝(－1,3)， 故||＝＝2. 16．已知復數(shù)2＋i與復數(shù)在復平面內對應的點分別是A與B，則∠AOB＝________. 答案：24 解析：點A的坐標為(3，a)，則||≥3，又＝λ，則O，P，A三

7、點共線，||||＝72，則||＝，設OP與x軸夾角為θ，則OP在x軸上的投影長度為||cos θ＝||＝≤24，即線段OP在x軸上的投影長度的最大值為24. 三、解答題 17．已知關于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有實數(shù)根b. (1)求實數(shù)a，b的值； (2)若復數(shù)滿足|－a－bi|－2|z|＝0，求z為何值時，|z|有最小值，并求出|z|的最小值． 解：(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的實根， ∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0， ∴解得a＝b＝3. (2)設z＝s＋ti(s，t∈R)，其對應點為Z(s，t)， 由|－3－3

8、i|＝2|z|， 得(s－3)2＋(t＋3)2＝4(s2＋t2)， 即(s＋1)2＋(t－1)2＝8， ∴點Z的軌跡是以O1(－1,1)為圓心，2為半徑的圓，如圖所示， 當點Z在OO1的連線上時，|z|有最大值或最小值． ∵|OO1|＝，半徑r＝2， ∴當z＝1－i時，|z|有最小值且|z|min＝. 18．已知z是復數(shù)，z＋2i，均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復數(shù)(z＋ai)2在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍． 解：設z＝x＋yi(x，y∈R)， ∴z＋2i＝x＋(y＋2)i， 由題意得y＝－2， ∵＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i. 由題意得x＝4，∴z＝4－2i. ∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i， 由于(z＋ai)2在復平面上對應的點在第一象限， ∴解得2