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1、函數與方程 合作與討論
1．課本上說“若f（a）·f（b）＜0，則在區(qū)間（a，b）內，方程f（x）＝0至少有一個實數解”，指出了方程解的存在性，并不能判斷具體有多少個實數解，應怎樣理解這句話？
我們知道，f（a）·f（b）＜0，說明f（a）與f（b）異號，也就是說，點（a，f（a））與（b，f（b））一個在x軸上方，一個在x軸下方．由于函數f（x）的圖象是一條連續(xù)曲線，則f（x）的圖象至少與x軸有一個交點，且交點必在（a，b）內，否則只能出現下圖的情況，而這顯然不是函數圖象了．
判斷方程f（x）＝0是否存在實數解的關鍵是能否找到兩端函數值相反的區(qū)間．一個這樣的區(qū)間至少包含
2、方程的一個解．（如左下圖）
如果知道f（x）在（a，b）內是單調函數，且f（a）f（b）＜0，則方程f（x）＝0在（a，b）內只有一個解．反之，如果方程f（x）＝0，在（a，b）內有解，并不意味著就有f（a）·f（b）＜0（如右上圖）．如果f（x）＝0在（a，b）內有且只有一個解，則必有f（a）·f（b）＜0．一般地，方程f（x）＝0在（a，b）內有奇數個解，則f（a）f（b）＜0；如果有偶數個解，則f（a）f（b）＞0．但要注意，方程f（x）＝0如果在（a，b）內只有一個解，雖然有f（a）·f（b）＜0，但f（x）并不一定單調，如下圖所示．
如果能找到兩端函數值反號的n個
3、區(qū)間（互不相交公共端點除外），則方程就至少包含n個解．
2．怎樣利用函數增長速度差異的思想，判斷形如f（x）＝g（x）的方程是否有解以及解的個數？
以方程2x＝x3為例，設f（x）＝2x，g（x）＝x3，在同一坐標系內作出f（x）和g（x）的圖象（如下圖）．由于f（x）和g（x）都是增函數，但增長的速度不一致，
f（1）＝2＞1＝g（1）；
f（2）＝22＜23＝g（2）．
所以方程f（x）＝g（x）在（1，2）內必有一解．又
f（10）＝210＝1024＞1000＝g（10），
所以在（2，10）內方程f（x）＝g（x）必然還有一解．
事實
4、上，設h（x）＝f（x）－g（x），則
h（1）＞0，h（2）＜0，h（10）＞0，
所以方程h（x）＝0在（1，2）和（2，1O）內各至少有一根．
3．課本例4給出了用二分法求滿足一定精度要求的實數解問題，從一個兩端函數值反號的區(qū)間開始，應用二分法逐步縮小方程實數根所在的區(qū)間，共二分了10次．那么能否在解題之前就能估出所要二分的次數呢？
課本例4中，反復二分得到一系列有根區(qū)間：
?。踑，b］＝［0，2］，
?。踑1，b1］＝［0，1］，
?。踑2，b2］＝［0.5，1］，
?。踑10，b10］＝［0.7421875，0.744140625］．
精
5、度要求精確到0.01，共二分了10次．|b10－a10|≤0.005．
一般地，設允許誤差，二分了n次得到的有根區(qū)間［an，bn］符合精度要求，即方程f（x）＝0的根x*與近似解必然滿足．
只要有根區(qū)間（an＋1，bn＋1）的長度小于，那么結果xn關于允許誤差將能“準確”地滿足方程f（x）＝0．
由于，由，得，解得．
例如，課本例4，k＝2，a＝0，b＝2，解得n＝8，只要二分8次（課本表中第9次）即可達到精度要求：
．
再如本書例4，k＝2，a＝1，b＝1.5，解得n＝6．只要二分6次，即可達到精度要求．
4．有一些方程存在重根．例如x2－2x＋1＝0有重根x＝1，方程（x－2）2（x＋1）＝0有重根x＝2，但二分法為什么不能求出重根呢？
事實上，是因為對于包含重根的區(qū)間往往兩端的函數值并不反號，例如方程x2－2x＋1＝0，設f（x）＝x2－2x＋1，對于任何區(qū)間（a，b），都不可能得到f（a）·f（b）＜0，（見左下圖）．對于方程（x－2）2（x＋1）＝0，函數g（x）＝（x－2）2（x＋1）在含2的小區(qū)間（a，b）內也不可能得到g（a）·g（b）＜0．（見下下圖）
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