高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3講 函數(shù)的奇偶性及周期性

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1、第3講 函數(shù)的奇偶性及周期性 1.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則f(6)的值為( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)=-f(0). 又f(x)為R上的奇函數(shù),∴f(0)=0. ∴f(6)=0. 2.函數(shù)sinR),若f(a)=2,則f(-a)的值為( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 設(shè)

2、sinx,很明顯g(x)是一個(gè)奇函數(shù). ∴f(x)=g(x)+1. ∵f(a)=g(a)+1=2, ∴g(a)=1. ∴g(-a)=-1.∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并滿足f(x+2)=當(dāng)時(shí),f(x)=x-2,則f(6.5)等于…… ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【解析】 由f(x得f(x那么f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5). 因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),得f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而時(shí),f(x)=x-2, 所以

3、f(1.5)=-0.5. 綜上,知f(6.5)=-0.5. 4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=1-?jiǎng)t不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 當(dāng)x>0時(shí)故此時(shí)f(x)<的解集為. 當(dāng)x<0時(shí),-x>0,∴f(. 又∵f(x)為R上的奇函數(shù), ∴f(-x)=-f(x). ∴.∴. ∴即. ∴x<-1. ∴不等式的解集是. 5.設(shè)g(x)是定義在R上、以1為周期的函數(shù).若函數(shù)f(x)=x+g(x)在區(qū)間[0,1]上的值域?yàn)閇-2,5],則f(x)在區(qū)間[0,3]上的值域?yàn)?/p>

4、 . 【答案】 [-2,7] 1.對于定義在R上的任一奇函數(shù)f(x),均有( ) A.f(x B. C.f(x)f(-x)>0 D.f(x)-f(-x)>0 【答案】 A 【解析】 ∵f(-x)=-f(x), ∴f(x)f(. 2.(2020山東濟(jì)南月考)已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( ) ①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x. A.①③ B.②③ C.①④ D.②

5、④ 【答案】 D 【解析】 由奇函數(shù)的定義驗(yàn)證可知②④正確. 3.在R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且f(x)=f(2-x),若f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),則f(x)( ) A.在區(qū)間[-2,-1]上是增函數(shù),在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù) B.在區(qū)間[-2,-1]上是增函數(shù),在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù) C.在區(qū)間[-2,-1]上是減函數(shù),在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù) D.在區(qū)間[-2,-1]上是減函數(shù),在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù) 【答案】 B 【解析】 由f(x)=f(2-x)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,作出函數(shù)的簡圖如下.

6、4.f(x)是定義在R上以3為周期的奇函數(shù),且f(2)=0,則方程f(x)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.7 【答案】 D 【解析】 ∵f(x)是定義在R上以3為周期的奇函數(shù), ∴f(5)=f(2)=0,f(-1)=f(2)=0, 則-f(1)=0,即f(1)=0;f(4)=f(1)=0. 又f(0)=0,∴f(3)=f(0)=0,f(1.5)=f(-1.5)=-f(1.5). ∴f(1.5)=0,則f(4.5)=f(1.5)=0,因此在區(qū)間(0,6)上,f(1)=f(1.5)=f(2)=f(3)=f(4)=

7、f(4.5)=f(5)=0,解的個(gè)數(shù)的最小值為7. 5.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則( ) A.f(-25)0, ∴f(x)在[-2,0]上也是增函數(shù),且f(x)<0. 又時(shí),f(x

8、)=-f(x-4)>0,且f(x)為減函數(shù), 同理f(x)在[4,6]上為減函數(shù)且f(x)<0.如圖. ∵f(-25)=f(-1)<0,f(11)=f(3)>0,f(80)=f(0)=0, ∴f(-25)f(2) B.f(-1)

9、). 又f(x)在上為單調(diào)增函數(shù), ∴f(3)>f(2),即f(-1)>f(2). 7.已知函數(shù)3是偶函數(shù),則m= . 【答案】 -2 【解析】 本題考查了函數(shù)的奇偶性.f(x)為偶函數(shù),則m+2=0,m=-2. 8.函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù),且x>0時(shí)則當(dāng)x<0時(shí),f(x)= . 【答案】 【解析】 ∵f(x)為奇函數(shù),x>0時(shí) ∴當(dāng)x<0時(shí),-x>0, f(x)=-f(-x 即x<0時(shí). 9.若函數(shù)f(x)=log是奇函數(shù),則a= . 【答案】 【

10、解析】 ∵f(x)是奇函數(shù),∴f(0)=0,即log|a|)=0. 則|a|=1,且因此. 10.已知f(x)與g(x)都是定義在R上的奇函數(shù),若F(x)=af(x)+(x)+2,且F(-2)=5,則F(2)= . 【答案】 -1 【解析】 ∵f(x)與g(x)都是定義在R上的奇函數(shù), ∴f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x). ∴F(2)+F(-2)=af(2)+(2)+2+af(-2)+(-2)+2=af(2)+(2)+2-af(2)-(2)+2=4. 又F(-2)=5,∴F(2)=4-F(-2)=4-5=-1. 11.已

11、知函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù). (1)求實(shí)數(shù)m的值; (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解】 (1)設(shè)x<0,則-x>0, 所以f(-x)=. 又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x). 于是x<0時(shí) 所以m=2. (2)要使f(x)在[-1,a-2]上單調(diào)遞增, 結(jié)合f(x)的圖象知 所以故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]. 12.已知函數(shù). (1)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由; (2)若f(1)=2,試判斷f(x)在上的單調(diào)性. 【解】 (1)當(dāng)a=0時(shí)x),函數(shù)f(x)是偶函數(shù).

12、 當(dāng)時(shí)常數(shù)R), 取得f(-1); f(-1)-f ∴. ∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). (2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,這時(shí). 任取且. 則 . 由于且 ∴. ∴. 故f(x)在上是單調(diào)遞增函數(shù). 13.函數(shù)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且. (1)確定函數(shù)f(x)的解析式; (2)用定義證明f(x)在(-1,1)上是增函數(shù); (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0. 【解】 (1)依題意得 即 ∴. (2)證明:任取 . ∵ ∴. 又

13、 ∴. ∴. ∴f(x)在(-1,1)上是增函數(shù). (3)f(t-1)<-f(t)=f(-t). ∵f(x)在(-1,1)上是增函數(shù), ∴-10時(shí),f(x)>1. (1)求證:g(x)=f(x)-1為奇函數(shù); (2)求證:f(x)是R上的增函數(shù); (3)若f(4)=5,解不等式. 【解】 (1)證明:定義在R上的函數(shù)f(x)對任意的R,都有成立, 令則f(0+0)=f(0)f(0)=1. 令 則f(x-x)=f(x)+f(-x)-1, ∴[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0. ∴g(x)=f(x)-1為奇函數(shù). (2)證明:由(1)知,g(x)=f(x)-1為奇函數(shù), ∴f(-x)-1=-[f(x)-1]. 任取R,且則 ∵ ∴. ∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1, ∴. ∴. ∴f(x)是R上的增函數(shù). (3)∵且f(4)=5, ∴f(4)=f(2). 由不等式得f(2), 由(2)知,f(x)是R上的增函數(shù), ∴.∴. ∴. ∴不等式的解集為.