高中數(shù)學(xué) 第三講 圓錐曲線性質(zhì)的探討 三 平面與圓錐面的截線教材梳理素材 新人教A版選修4-1（通用）

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1、三 平面與圓錐面的截線 庖丁巧解牛 知識(shí)·巧學(xué) 在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于O點(diǎn),其夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l′為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸l交角為β（π與l平行，記β＝0），則： （1）β=，平面π與圓錐的交線為圓； （2）β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓； （3）β＝α，平面π與圓錐的交線為拋物線； （4）β＜α，平面π與圓錐的交線為雙曲線. 圖3-3-2 問(wèn)題·探究 問(wèn)題 橢圓為封閉圖形，雙曲線、拋物線為不封閉圖形，其圖形不一樣，但它們都可以用平面截對(duì)頂圓錐面得到，它們都滿足曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù)，即離

2、心率e，定義上的統(tǒng)一，必然也蘊(yùn)含著圖形統(tǒng)一，應(yīng)該如何解釋這種現(xiàn)象呢？ 思路:三條圓錐曲線都為封閉圖形，其形狀都為橢圓，所以，圓錐曲線在圖形上依然存在著統(tǒng)一.探究:我們知道，橢圓時(shí)離心率e越大，橢圓越扁；雙曲線時(shí)離心率e越大，雙曲線開(kāi)口越大.隨著e的增大，橢圓越變?cè)奖?，但左半部分開(kāi)口越來(lái)越大，左頂點(diǎn)離l越來(lái)越近，而右頂點(diǎn)離F點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)；當(dāng)e趨近于1時(shí)，左頂點(diǎn)趨近于F與l間的中點(diǎn)，而右頂點(diǎn)趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處；當(dāng)e=1時(shí)，我們可以大膽地認(rèn)為右頂點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí)曲線變?yōu)閽佄锞€；當(dāng)e＞1時(shí)，開(kāi)口越來(lái)越大，右頂點(diǎn)超過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)處并開(kāi)始返回，此時(shí)曲線變?yōu)殡p曲線兩支，或認(rèn)為雙曲線兩支無(wú)限延伸交于無(wú)窮遠(yuǎn)處，如圖3-3

3、-3. 圖3-3-3 于是我們可以猜想：三條圓錐曲線都為封閉圖形，其形狀都為橢圓，所以，圓錐曲線在圖形上依然存在著統(tǒng)一,這是一種無(wú)限的思想. 因?yàn)轫旤c(diǎn)（曲線與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）如A1是圓錐曲線上的點(diǎn)，所以滿足=e，當(dāng)e→1時(shí)，A1向中點(diǎn)靠近；當(dāng)e=1時(shí)，A1位于中點(diǎn)；當(dāng)e→＋∞時(shí)，A1向N靠近.這里A1只是的內(nèi)分點(diǎn)，其實(shí)滿足=e還有一個(gè)外分點(diǎn)，即另一頂點(diǎn)A2，滿足=－e.當(dāng)e<1時(shí)，圓錐曲線為橢圓，所以它的外分點(diǎn)A2位于NF的延長(zhǎng)線上；當(dāng)e→1時(shí)，A2離F點(diǎn)越遠(yuǎn)；當(dāng)e=1時(shí)，外分點(diǎn)不存在，或者我們就可以理解為A2位于無(wú)窮遠(yuǎn)處，所以拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)；當(dāng)e>1時(shí)，圓錐曲線為雙曲線，外分

4、點(diǎn)A2位于NF的反向延長(zhǎng)線上；e→＋∞時(shí)，A2從左側(cè)向N靠近. 這也揭示了為什么橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)，及它們之間的區(qū)別，你可以由此進(jìn)一步理解圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一性. 典題·熱題 例利用Dandelin雙球（這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部，一個(gè)位于平面π的上方，一個(gè)位于平面的下方，并且與平面π及圓錐均相切）,證明β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓. 圖3-3-4 思路分析：點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比小于1. 證法一：利用橢圓第一定義，證明FA＋AE=BA＋AC=定值，詳見(jiàn)課本. 證法二：①上面一個(gè)Dandelin球與圓錐面的交線為一個(gè)圓，并與圓錐的底面平行， 記這個(gè)圓所在平面為π′；②如果平面π與平面π′的交線為m，在圖中橢圓上任取一點(diǎn)A，該Dandelin球與平面π的切點(diǎn)為F，則點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比是（小于1）.（稱(chēng)點(diǎn)F為這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)，直線m為橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)為離心率e） 深化升華 利用②可以證明截線為拋物線、雙曲線的情況，以離心率的范圍為準(zhǔn).