高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 一 平行線等分線段定理教材梳理素材 新人教A版選修4-1（通用）

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1、一 平行線等分線段定理 庖丁巧解牛 知識(shí)·巧學(xué) 一、平行線等分線段定理 1.平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么這組平行線在其他直線上截得的線段也相等.用符號(hào)語言表述是:已知a∥b∥c，直線m、n分別與a、b、c交于點(diǎn)A、B、C和A′、B′、C′(如圖1-1-2)，如果AB=BC，那么A′B′=B′C′. 圖1-1-2 圖1-1-3 2.對于定理的證明，如圖1-1-3所示，分m∥n和m不平行于n兩種情況證明.當(dāng)m∥n時(shí)，直接運(yùn)用平行四邊形加以證明；當(dāng)m不平行于n時(shí)，利用輔

2、助線構(gòu)造相似三角形，進(jìn)而得到關(guān)系式. 3.定理的條件是a、b、c互相平行，構(gòu)成一組平行線，m與n可以平行，也可以相交，但它們必須與已知的平行線a、b、c相交，即被平行線a、b、c所截.平行線的條數(shù)還可以更多. 方法點(diǎn)撥 定理圖形的變式:對于3條平行線截兩條直線的圖形，要注意以下變化(如圖1-1-4):如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根據(jù)定理就可以直接得到其他直線上的線段相等.也就是說，直線DE的位置變化不影響定理的結(jié)論. 圖1-1-4 4.定理的作用：利用本定理可將一線段分成n等分，也可以證明線段相等或轉(zhuǎn)移線段的位置. 圖1-1-5 誤區(qū)警示 平行線等分線段定理的

3、逆命題是:如果一組直線截另一組直線成相等的線段，那么這組直線平行.這一命題是錯(cuò)誤的，如圖1-1-5. 二、平行線等分線段定理的推論 1.平行線等分線段定理的推論有兩個(gè)，其中一個(gè)是經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)，與另一邊平行的直線必平分第三邊；另一個(gè)是經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，與底邊平行的直線必平分另一腰. 2.兩個(gè)推論的證明如下: 推論1:如圖1-1-6(1)，在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′,交AC′于B′點(diǎn)，求證:B′是AC′的中點(diǎn). 證明:如圖1-1-6(2)，過A作BB′與CC′的平行線，∵a∥b∥c，AB=BC， ∴由平行線等分線段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中點(diǎn)

4、. 圖1-1–6 推論2:如圖1-1-7(1)，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，AB=BC，BB′∥CC′， 圖1-1-7 求證:B′是A′C′的中點(diǎn). 證明:∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′，BB′∥CC′，∴AA′∥BB′∥CC′. 又∵AB=BC， ∴由平行線等分線段定理，有A′B′=B′C′，即B′是A′C′的中點(diǎn). 問題·探究 問題1 平行線等分線段定理與它的兩個(gè)推論之間有著密切的聯(lián)系，那么如何理解這種聯(lián)系？ 思路:只要將平行線等分線段定理的圖形中的直線只留下交點(diǎn)之間的部分，即可產(chǎn)生兩個(gè)推論的圖形，或者將兩個(gè)推論中的線段延長成為直線，也可變成平

5、行線等分線段定理的圖形. 探究:平行線等分線段定理與它的兩個(gè)推論之間的關(guān)系可以直觀地表示如圖1-1-8: 圖1-1-8 問題2 三角形中位線是三角形中的重要線段，它的性質(zhì)可以為許多問題的證明和求解提供依據(jù)，在幾何中有著舉足輕重的地位，那么如何證明三角形中位線定理呢？ 思路:連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，這里要明確三角形的中位線和三角形的中線不同(如圖1-1-9).三角形中位線定理的內(nèi)容是:三角形中位線平行于第三邊，并且等于它的一半. 圖1-1-9 探究:證明:如圖1-1-9，DE是中位線，E是AC的中點(diǎn)， 過點(diǎn)D作DE′∥BC，則E′也是AC的中點(diǎn)，所以E與

6、E′重合，DE′與DE重合. 所以DE∥BC. 同理，過點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于F，則BF=FC. 因?yàn)镈E∥FC，DF∥EC，所以四邊形DFCE是平行四邊形. 所以DE=FC. 又因?yàn)镕C=BC，所以DE=BC. 上述過程中，DE′與DE重合是定理證明的關(guān)鍵一步，本推理過程中應(yīng)用了同一法思想. 該定理的證明，關(guān)鍵在于添加輔助線，如圖1-1-10所示的幾種輔助線代表幾種不同的證法. （1）(1)延長中位線DE到F,使EF=DE. （2）(2)延長中位線DE到F,使EF=DE得ADCF. (3)作CF∥AB與DE的延長線交于點(diǎn)F. 圖1-1-10 三角形中位

7、線定理是三角形的一個(gè)重要的性質(zhì)定理，其特點(diǎn)是:同一題設(shè)，兩個(gè)結(jié)論.一個(gè)結(jié)論是表明位置關(guān)系的，另一個(gè)結(jié)論是表明數(shù)量關(guān)系的，在應(yīng)用時(shí)不一定同時(shí)需要兩個(gè)關(guān)系，有時(shí)需要平行關(guān)系，有時(shí)要求倍分關(guān)系，可由具體情況按需選用.事實(shí)上，平行線等分線段定理的推論1:經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線平分第三邊，即三角形中位線判定定理. 問題3 梯形中位線是梯形中的重要線段，它的性質(zhì)可以為許多問題的證明和求解提供依據(jù)，在幾何中有著舉足輕重的地位，那么如何證明梯形中位線定理呢？梯形中位線定理與三角形中位線定理有什么內(nèi)在聯(lián)系？ 思路:梯形中位線的定義是：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線.這里要強(qiáng)調(diào)梯形中位線

8、是連結(jié)兩腰中點(diǎn)的線段，而不是連結(jié)兩底中點(diǎn)的線段.梯形中位線定理的內(nèi)容是:梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.該定理證明的關(guān)鍵是如何添加輔助線，把梯形中位線轉(zhuǎn)化成三角形的中位線. 探究:設(shè)法把梯形中位線轉(zhuǎn)化為三角形中位線. 圖1-1-11 如圖1-1-11，欲使MN成為某一個(gè)三角形的中位線，則梯形的一腰一定是三角形的一邊，而三角形的另一邊一定過梯形另一腰的中點(diǎn).梯形的一個(gè)底應(yīng)在三角形的第三邊上，若連結(jié)AN并延長交BC的延長線于E(梯形的這種輔助線也經(jīng)常用到)，就能得到這樣的△ABE.這時(shí)只要證明AN=EN，AD=EC，問題就解決了. 關(guān)于梯形中位線與三角形中位線的一致性:

9、由梯形中位線公式MN=(BC＋AD)，可知當(dāng)AD退縮為一點(diǎn)時(shí),其長度為零,則公式變?yōu)镸N=BC.這就是三角形的中位線公式,這體現(xiàn)了梯形中位線和三角形中位線的聯(lián)系和一致性，反映了它們之間的辯證關(guān)系. 平行線等分線段定理的推論2“過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰”，即梯形中位線.或說成“過梯形一腰的中點(diǎn)與底邊平行的直線為梯形的中位線”，利用它可以判定某一線段為梯形中位線. 典題·熱題 例1如圖11-1-2，已知在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F.求證:BF=CF. 圖1-1-12 思路分析：根據(jù)D是AC的中點(diǎn)，利用平行，得到E是AB

10、的中點(diǎn)，再利用平行即可得到F是BC的中點(diǎn). 證明：在△ABC中，∵D是AC的中點(diǎn)，DE∥BC， ∴E是AB的中點(diǎn)(經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊). 又∵EF∥AC交BC于F，∴F是BC的中點(diǎn)，即BF=FC. 深化升華 在三角形中，只要給了一邊的中點(diǎn)和平行線，根據(jù)平行線等分線段定理的推論2，就可得出平行線與另一邊的交點(diǎn)即是中點(diǎn).本題也可以利用平行四邊形和全等形來證明，但會(huì)顯得麻煩. 例2求證:在直角梯形中，兩個(gè)直角頂點(diǎn)到對腰中點(diǎn)的距離相等. 如圖11-1-3，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)ED、EC.求證:ED=EC.

11、 圖1-1-13 思路分析：在梯形中，若已知一腰的中點(diǎn)，一般過這點(diǎn)作底邊的平行線即可得到另一腰的中點(diǎn).所以由E是AB邊的中點(diǎn)，作EF∥BC交DC于F，即可得EF⊥DC，從而利用線段中垂線的性質(zhì)得到結(jié)論. 證明：過E點(diǎn)作EF∥BC交DC于F. ∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC. ∵E是AB的中點(diǎn)，∴F是DC的中點(diǎn)(經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰). ∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°. ∴EF⊥DC于F.又F是DC中點(diǎn)， ∴EF是DC的垂直平分線. ∴ED=EC(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等). 方法歸納 證明不在同一直線上

12、的兩條線段相等，可以根據(jù)等腰三角形的兩腰相等，或者根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等來證明. 例3在ABCD中，E和F分別是BC和AD邊的中點(diǎn)，BF和DE分別交AC于P、Q兩點(diǎn)，求證:AP=PQ=QC. 圖1-1-14 思路分析：在△ADQ中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，只要證明FP∥DQ，即可由推論1得AP=PQ；同理在△CPB中，根據(jù)E是BC的中點(diǎn)，EQ∥BP，由推論1得CQ=PQ，由此得到結(jié)論. 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是BC、AD邊上的中點(diǎn)， ∴四邊形BEDF是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形). ∵在△ADQ中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)P∥DQ， ∴

13、P是AQ的中點(diǎn).∴AP=PQ. 在△CPB中，E是BC的中點(diǎn)，EQ∥BP. ∴Q是CP的中點(diǎn).∴CQ=PQ. ∴AP=PQ=QC. 深化升華 本題兩次利用了E、F是中點(diǎn)的條件，在利用平行線等分線段定理或推論時(shí)要把平行和中點(diǎn)兩個(gè)條件擺齊. 例4已知在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求證:AF=BF. 圖1-1-15 思路分析：一般情況下，幾何圖形應(yīng)具有對稱的內(nèi)在美，當(dāng)感覺到圖形有些缺點(diǎn)時(shí)，就要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，使其完善.本題中，AE⊥CE于E，恰在三角形內(nèi)部，而Rt△AEC又不好用,所以延長AE使它與BC相交就勢在必行了. 證明：延長AE交

14、BC于M.∵CD是∠ACB的平分線，AE⊥CE于E, ∴在△AEC與△MEC中,EC=CE, ∠AEC=∠MEC=90°，∠ACD=∠MCD. ∴△AEC≌△MEC.∴AE=ME. ∴E是AM的中點(diǎn).又在△ABM中FE∥BC, ∴點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn).∴AF=BF. 方法歸納 作輔助線的常用方法有延長某線段與另外的線段相交，連結(jié)兩點(diǎn)，過一點(diǎn)作另外一條線段的平行線，過一點(diǎn)作另外一條線段的垂線等. 例5如圖11-1-6,以梯形ABCD的對角線AC及腰AD為鄰邊作ACED，DC的延長線交BE于F,求證:EF=BF. 圖1-1-16 思路分析：在△EAB中，OF∥AB.要說明EF

15、=BF，只要說明O是AE的中點(diǎn)，而O是平行四邊形對角線的交點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分性質(zhì)，可以知道O是AE的中點(diǎn)，于是問題得證. 證明：連結(jié)AE交DC于O,∵四邊形ACED是平行四邊形, ∴O是AE的中點(diǎn)(平行四邊形對角線互相平分). ∵四邊形ABCD是梯形,∴DC∥AB. 在△EAB中，OF∥AB,又O是AE的中點(diǎn)， ∴F是EB的中點(diǎn).∴EF=BF. 深化升華 證題時(shí)，當(dāng)一個(gè)條件有幾個(gè)結(jié)論時(shí),要選擇與其有關(guān)聯(lián)的結(jié)論.本題可延長EC，在梯形ABCD內(nèi)構(gòu)造平行四邊形，或以AB、BE、AD的延長線為邊構(gòu)造梯形也可以得證. 例6如圖1-1-17，ABCD中，對角線AC、BD相交于O，OE∥AB交BC于E，AD＝12，求BE的長. 圖1-1-17 思路分析：首先由平行四邊形的性質(zhì)得到O是AC的中點(diǎn)，利用平行得E是BC的中點(diǎn)，于是BE應(yīng)等于BC的一半，BC的長度可以由AD獲得. 解：∵ABCD是平行四邊形， ∴OA＝OC，BC＝AD. ∵AB∥DC，OE∥AB，∴DC∥OE∥AB. 又∵AD＝12，∴BE＝EC＝BC＝AD＝6.