高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 三 相似三角形的判定及性質(zhì)教材梳理素材 新人教A版選修4-1（通用）

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1、三 相似三角形的判定及性質(zhì) 庖丁巧解牛 知識(shí)·巧學(xué) 一、三角形相似的預(yù)備定理 在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)相似三角形的知識(shí)，其定義是如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么稱這兩個(gè)三角形相似.對(duì)于三角形相似，其中對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù)).利用上一節(jié)所學(xué)的平行線分線段成比例定理，可得預(yù)備定理:平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形和原三角形相似.其原理如下:如圖1-3-2，△ABC中，DE∥BC，則由平行線分線段成比例定理，有，而由DE∥BC，易得∠D=∠B,∠E=∠C，又∠A是公共角，所以△ABC與△ADE具備相似的條件，即△ABC中，若DE∥BC，則

2、△ABC∽△ADE. 圖1-3-2 二、相似三角形的判定方法 判定兩個(gè)三角形相似的方法有: (1)定義法，即對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的三角形是相似三角形.當(dāng)然有了判定定理后，就不用定義判定了，這是因?yàn)槎x中的條件太多，實(shí)際上并不需要. (2)平行法，即平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.這就是預(yù)備定理.最常用的是判定定理，即①判定定理1:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；②判定定理2:兩邊對(duì)應(yīng)成比例、夾角相等,兩三角形相似；③判定定理3:三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似. 方法點(diǎn)撥 在這些判定方法中，應(yīng)用最多的是判定定理1，即兩角對(duì)應(yīng)相等，

3、兩三角形相似.因?yàn)樗臈l件最容易尋求，實(shí)際證明當(dāng)中，要特別注意兩個(gè)三角形的公共角.在連續(xù)兩次證明相似時(shí)，在第二次使用判定定理2的情況較多. 辨析比較 對(duì)于直角三角形相似的判定，除以上方法外，還有其他特殊的方法: (1)如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似； (2)如果一個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜邊與另外一個(gè)直角三角形的直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似； (3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似. 在證明直角三角形相似時(shí)，要特別注意直角這一隱含條件的利用. 三、相似三角形的性質(zhì) 如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的形狀相同，只在大

4、小上有所區(qū)別，這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)元素之間有很重要的關(guān)系，分別是:(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(3)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比；(4)相似三角形的面積比等于相似比的平方；(5)相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方.利用這些關(guān)系，可以進(jìn)行各種各樣的求值和證明. 問(wèn)題·探究 問(wèn)題 在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)全等三角形，兩個(gè)全等三角形的大小、形狀是完全一樣的，相似三角形是形狀相同但大小不一樣的三角形，顯然，當(dāng)兩個(gè)相似三角形的相似比為1的時(shí)候，相似三角形就成了全等三角形，那么，這兩

5、者之間有哪些聯(lián)系和差別呢？ 思路:鑒于相似三角形和全等三角形的類似點(diǎn)，在學(xué)習(xí)相似三角形的性質(zhì)時(shí)，可以類比全等三角形的性質(zhì)來(lái)研究. 探究:用表格的形式對(duì)兩者作比較: 全等三角形 相似三角形 1 對(duì)應(yīng)邊相等 對(duì)應(yīng)邊成比例 2 對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)角相等 3 對(duì)應(yīng)中線相等 對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比 4 對(duì)應(yīng)角平分線相等 對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比 5 對(duì)應(yīng)高相等 對(duì)應(yīng)高的比等于相似比 6 周長(zhǎng)相等 周長(zhǎng)比等于相似比 7 面積相等 面積比等于相似比的平方 從兩者的對(duì)比中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)相似三角形的相似比為1時(shí)，二者完全相同，所以我們研究相似三角

6、形的性質(zhì)的時(shí)候，切記從相似比入手即可，涉及到線段的比均等于相似比，只有面積的比是相似比的平方. 典題·熱題 例1如圖1-3-3，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，AE⊥AD交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是（ ） 圖1-3-3 A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC 思路分析：本題考查相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定方法，用排除法結(jié)合條件易選出正確選項(xiàng). 答案：C 深化升華 判定三角形相似，首先考慮兩角對(duì)應(yīng)相等，特別是當(dāng)圖

7、形中只有角的關(guān)系時(shí)，常常通過(guò)角的轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)角的相等關(guān)系，還應(yīng)該多注意公共角這一隱含條件的使用. 例2如圖1-3-4所示，已知D是△ABC中AB邊上的一點(diǎn)，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE=1，S△EFC=4，則四邊形BFED的面積等于（ ） 圖1-3-4 A.2 B.4 C.5 D.9 思路分析：由題易得△ADE∽△EFC，S△ADE∶S△EFC=1∶4， ∴AE∶EC＝1∶2，AE∶AC＝1∶3. ∴S△ADE∶S△ABC=1∶9.∴SBFED=5. 答案：C

8、 例3如圖1-3-5，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線，試?yán)萌切蜗嗨频年P(guān)系說(shuō)明AD2=DC·AC. 圖1-3-5 思路分析：有一個(gè)角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分線， ∴∠CBD=36°，則可推出△ABC∽△BCD，進(jìn)而由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例推出線段之間的比例關(guān)系. 證明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°. ∴AD=BD=BC，且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB=CD∶BC. ∴BC2=AB·CD.∴AD2=AC·CD. 深化升華 (1)有

9、兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，這是判斷兩個(gè)三角形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等的角的位置，可以確定哪些邊是對(duì)應(yīng)邊.(2)要說(shuō)明線段的乘積式ab=cd或平方式a2=bc，一般都是先證明比例式或，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式. 例4如圖1-3-6，已知在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且AD=AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F. 圖1-3-6 (1)求證:△ABC∽△FCD； (2)若S△FCD=5，BC＝10，求DE的長(zhǎng). 思路分析：第(1)問(wèn),∵AD=AC，∴∠ACB=∠CDF.又D是BC中點(diǎn)，ED⊥BC， ∴∠B=∠ECD.∴△AB

10、C∽△FCD. 第(2)問(wèn)利用相似三角形的性質(zhì)，作AM⊥BC于M，易知S△ABC=4S△FCD. ∴S△ABC=20，AM=4.又∵AM∥ED，∴，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及中點(diǎn)，可以求出DE.也可運(yùn)用△ABC∽△FCD，由相似比為2，證出F是AD的中點(diǎn)，通過(guò)“兩三角形等底等高，則面積相等”，求出S△ABC=20. (1)證明：∵DE⊥BC，D是BC中點(diǎn)，∴EB=EC.∴∠B=∠1. 又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB.∴△ABC∽△FCD. (2)解法一：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M. ∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴ 2=4. 又∵S△FCD=5，∴S△ABC=20.

11、∵S△ABC=BC·AM，BC=10，∴20=×10×AM.∴AM=4. 又∵DE∥AM，∴. ∵DM=DC=，BM=BD＋DM，BD=BC=5， ∴∴DE=. 解法二：作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H. 圖1-3-7 ∵S△FCD=DC·FH，又∵S△FCD=5，DC=BC=5， ∴5=×5×FH.∴FH=2. 過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，∵△ABC∽△FCD， ∴=.∴AM=4. 又∵FH∥AM，∴==. ∴點(diǎn)H是DM的中點(diǎn). 又∵FH∥DE，∴. ∵HC=HM＋MC=，∴.∴DE=. 例5如圖1-3-8，小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直

12、到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影長(zhǎng)是2 m. 圖1-3-8 (1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么? (2)求古塔的高度. 思路分析：由題意,知△ABC與△ADE相似，這是因?yàn)閮蓚€(gè)三角形均為直角三角形，并且這兩個(gè)三角形有一個(gè)公共角，由判定定理可得相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例，可以獲得塔高. 解：(1)△ABC∽△ADE.理由如下： ∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°. ∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)得△ABC∽△ADE,∴. ∵AC＝2 m，AE＝2＋18＝20

13、(m)，BC＝1.6 m. ∴.∴DE=16. 答:古塔的高度為16 m. 例6一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖1-3-9(1)、(2)所示.那么哪位同學(xué)的加工方法符合要求？說(shuō)說(shuō)你的理由(加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留). (1) (2) 圖1-3-9 思路分析：兩個(gè)圖形中均有相似三角形，圖(1)中，即，可得正方形的邊長(zhǎng)，圖(2)中可運(yùn)用相似比等于對(duì)應(yīng)高的比列出等式，進(jìn)而求出正方形的邊長(zhǎng). 解

14、： 由AB=1.5米，S△ABC=1.5平方米，得BC=2米. 如圖1-3-9(1)，若設(shè)甲加工的桌面邊長(zhǎng)為x米，由DE∥AB，推出Rt△CDE∽R(shí)t△CBA，可求出x=米. 如圖1-3-9(2)，過(guò)點(diǎn)B作Rt△ABC斜邊上的高BH，交DE于P，交AC于H. 由AB=1.5米，BC=2米，S△ABC=1.5平方米，得AC=2.5米，BH=1.2米. 設(shè)乙加工的桌面邊長(zhǎng)為y米， ∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽R(shí)t△BAC. ∴,即.解之，得y=,即x>y,x2>y2, ∴甲同學(xué)的加工方法符合要求. 深化升華 在三角形中有平行于一邊的直線時(shí)，通常考慮三角形相似，利用比值獲得線段的長(zhǎng)或三角形的面積.