高中數(shù)學(xué) 第一章 相似三角形的判定及有關(guān)性 第三節(jié) 相似三角形的判定及性質(zhì)小結(jié)素材 新人教A版選修4-1（通用）

《高中數(shù)學(xué) 第一章 相似三角形的判定及有關(guān)性 第三節(jié) 相似三角形的判定及性質(zhì)小結(jié)素材 新人教A版選修4-1（通用）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 相似三角形的判定及有關(guān)性 第三節(jié) 相似三角形的判定及性質(zhì)小結(jié)素材 新人教A版選修4-1（通用）（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié) 相似三角形的判定及性質(zhì) 本講小結(jié) 1．平行線等分線段定理 (1)定理的內(nèi)容：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條與這組平行線相交的直線上截得的線段也相等． 推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點且與另一邊平行的直線必平分第三邊． 推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點且與底邊平行的直線必平分另一腰． (2)中位線定理． 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半． 梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半． 兩定理即為推論1、推論2的逆定理． 2．平行線分線段成比例定理 (1)定理的內(nèi)容：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段

2、成比例． 推論1：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊的直線(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例． 推論2：用平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截三角形，所得的三角形三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例． 推論1的逆定理：如果一條直線截三角形兩邊或兩邊的延長線所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊． (2)三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例． 3．相似三角形的判定 (1)相似三角形的有關(guān)概念． 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．對應(yīng)邊的比例稱為相似比或相似系數(shù)． (2)預(yù)備定理． 定理1：平行

3、于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似． 利用本定理可以證明相似三角形的判定定理． (3)相似三角形判定定理． 判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，即：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似． 判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．即：兩對應(yīng)邊成比例且夾角相等，兩三角形相似． 判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，即：三邊對應(yīng)成比

4、例，兩三角形相似． (4)直角三角形相似的判定定理． 定理1：如果兩個直角三角形有一個銳角相等，那么它們相似． 定理2：如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似． 定理3：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似． 4．相似三角形的性質(zhì) 性質(zhì)定理1：相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例． 性質(zhì)定理2：相似三角形對應(yīng)邊上的高、中線、對應(yīng)角平分線和它們的周長的比都等于相似比． 性質(zhì)定理3：相似三角形的面積比等于相似比的平方． 性質(zhì)定理4：相似三角形外接圓或內(nèi)切圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓或內(nèi)切圓的面積

5、比等于相似比的平方． 5．直角三角形的射影定理 (1)射影的概念． 從一點向一條直線作垂線，垂足稱為這點在這條直線上的正射影，簡稱射影． 一般地，一個點集(如線段或其他幾何圖形)中所有的點在某條直線上的射影集合，稱為這個點集在這條直線上的射影．如一條線段在一條直線上的射影就是線段的兩個端點在這條直線上的射影間的線段． (2)銳角三角函數(shù)定義． sin α＝， cos α＝， tan α＝. (3)直角三角形射影定理和逆定理． 直角三角形射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項．兩條直角邊分別是它們在斜邊上的射影與斜邊的比例中項． 逆

6、定理：如果一個三角形一邊上的高是另兩邊在 這條邊上的射影的比例中項，那么這個三角形是直角三角形． 勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方． (4)任意三角形射影定理：平面三角中，設(shè)一個三角形的三邊分別為a、b、c，它們所對的三內(nèi)角分別為A、B、C，則有： a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝acos B＋bcos A. 6．相似三角形的判定定理的選擇 (1)已知有一角相等時，可選擇判定定理1與判定定理2. (2)已知有兩邊對應(yīng)成比例時，可選擇判定定理2與判定定理3. (3)判定直角三角形相似時，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法來判定，如不能，再考慮用判定一般三角形相似的方法來判定． 7．相似三角形性質(zhì)的作用 (1)可用來證明線段成比例、角相等． (2)可間接證明線段相等． (3)為計算線段長度及角的大小創(chuàng)造條件． (4)可計算周長、特征線段的長等．