貴州省貴陽(yáng)市高中數(shù)學(xué) 第二章 統(tǒng)計(jì)同步練習(xí)3 新人教版必修3（通用）

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1、平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù) 　　這里說(shuō)的“三數(shù)”是指平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)．要描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，最重要也是最常見(jiàn)的方法就是用這“三數(shù)”來(lái)說(shuō)明．學(xué)習(xí)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題： 　　一、正確理解平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的概念 　　1．平均數(shù)　平均數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)的平均水平的特征數(shù)，反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變化都會(huì)引起平均數(shù)的變化． 　　２．眾數(shù)　在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)有時(shí)不唯一．眾數(shù)著眼于對(duì)各數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)的考察，這就告訴我們?cè)谇笠唤M數(shù)據(jù)的眾數(shù)時(shí)，既不需要排列，又不需要計(jì)算，只要

2、能找出樣本中出現(xiàn)次數(shù)最多的那一個(gè)（或幾個(gè)）數(shù)據(jù)就可以了．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，它的眾數(shù)也就是我們所要關(guān)心的一種集中趨勢(shì)． 　?。常形粩?shù)　中位數(shù)就是將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處在最中間的一個(gè)數(shù)（或處在最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）．一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的． 　　二、注意區(qū)別平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)三者之間的關(guān)系 　　平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量，但它們描述的角度和適用的范圍又不盡相同．在具體問(wèn)題中采用哪種量來(lái)描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，那得看數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和我們要關(guān)注的問(wèn)題． 　　三、能正確選用平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題 　　由于平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是

3、描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量，所以利用平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)可以來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題．下面舉幾例說(shuō)明． 　　例1　李大伯承包了一個(gè)果園，種植了100棵櫻桃樹(shù)，今年已進(jìn)入收獲期．收獲時(shí)，從中任選并采摘了10棵樹(shù)的櫻桃，分別稱得每棵樹(shù)所產(chǎn)櫻桃的質(zhì)量如下表： 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 質(zhì)量（千克） 14 21 27 17 18 20 19 23 19 22 　　據(jù)調(diào)查，市場(chǎng)上今年櫻桃的批發(fā)價(jià)格為每千克15元．用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)今年此果園櫻桃的總產(chǎn)量與按批發(fā)價(jià)格銷售櫻桃所得的總收入分別約為（　?。? 　　A．200千克，3000元

4、　 B．1900千克，28500元 　　C．2000千克，30000元 D．1850千克，27750元 　　簡(jiǎn)析：依題意此果園平均每棵樹(shù)所產(chǎn)櫻桃的質(zhì)量是（千克），所以100棵樹(shù)所產(chǎn)櫻桃的的質(zhì)量是（千克），又批發(fā)價(jià)格為每千克15元，所以2000千克的櫻桃所得的總收入為（元），故應(yīng)選C． 　　例2?。兾魇。榱肆私饽嘲鄬W(xué)生每周做家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間，某綜合實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該班50名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，有關(guān)數(shù)據(jù)如下表： 每周做家務(wù)的時(shí)間（小時(shí)） 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 人數(shù)（人） 2 2 6 8 12 13 4 3 　　根據(jù)上表中的數(shù)

5、據(jù)，回答下列問(wèn)題： 　?。?）該班學(xué)生每周做家務(wù)勞動(dòng)的平均時(shí)間是多少小時(shí)？ 　?。?）這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是多少? 　?。?）請(qǐng)你根據(jù)（1）、（2）的結(jié)果，用一句話談?wù)勛约旱母惺埽? 　　簡(jiǎn)析：（1）該班學(xué)生每周做家務(wù)勞動(dòng)的平均時(shí)間為（小時(shí)），即該班學(xué)生每周做家務(wù)勞動(dòng)的平均時(shí)間為2.44小時(shí)．（2）由表中的數(shù)據(jù)我們可以發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2.5（小時(shí)），眾數(shù)是3（小時(shí)）．（3）只要敘述內(nèi)容與上述數(shù)據(jù)有關(guān)或與做家務(wù)勞動(dòng)有關(guān)，并且態(tài)度積極即可． 極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差 極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來(lái)研究一組數(shù)據(jù)的離散程度的，反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍或波動(dòng)大小的量. 一、 極差 一組數(shù)據(jù)

6、中最大值與最小值的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差，即極差=最大值-最小值.極差能夠反映數(shù)據(jù)的變化范圍，實(shí)際生活中我們經(jīng)常用到極差.如一支足球隊(duì)隊(duì)員中的最大年齡與最小年齡的差，一個(gè)公司成員中最高收入與最低收入的差等都是極差的例子.極差是最簡(jiǎn)單的一種度量數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的量，它受極端值的影響較大. 二、方差 方差是反映一組數(shù)據(jù)的整體波動(dòng)大小的特征的量.它是指一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，它反映的是一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況.方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小. 求一組數(shù)據(jù)的方差可以簡(jiǎn)記先求平均，再求差，然后平方，最后求平均數(shù).一組數(shù)據(jù)x1、x2、x3、…、xn的平均

7、數(shù)為，則該組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為： . 三、標(biāo)準(zhǔn)差 在計(jì)算方差的過(guò)程中，可以看出方差的數(shù)量單位與原數(shù)據(jù)的單位不一致，在實(shí)際的應(yīng)用時(shí)常常將求出的方差再開(kāi)平方，此時(shí)得到量為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差. 即標(biāo)準(zhǔn)差=. 四、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系 方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的量，常用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小.兩組數(shù)據(jù)中極差大的那一組并不一定方差也大.在實(shí)際問(wèn)題中有時(shí)用到標(biāo)準(zhǔn)差，是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差的單位和原數(shù)據(jù)的單位一致，且能緩解方差過(guò)大或過(guò)小的現(xiàn)象. 5．典型例析 例1 從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測(cè)得它們的株高如下：（單位：cm） 甲： 21 42 39 14

8、 19 22 37 41 40 25 乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44 (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)分別求甲、乙兩種玉米的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差. (2)哪種玉米的苗長(zhǎng)得高些; (3)哪種玉米的苗長(zhǎng)得齊. 分析：本題既是一道和極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算有關(guān)的問(wèn)題，又是利用方差解決實(shí)際問(wèn)題的一道題目.要求極差，只要用數(shù)據(jù)中最大值減去最小值，求到差值即可.利用方差的計(jì)算公式可以求到方差，將方差開(kāi)平方就得標(biāo)準(zhǔn)差. 解： 甲的極差： 42-14=28(cm)； 乙的極差：44-16=28(cm). 甲的平均值: 乙的平均值:

9、 甲的方差: , 乙的方差: （2）因?yàn)榧追N玉米的平均高度小于乙種玉米的平均高度，所以一種玉米的苗長(zhǎng)的高. （3）因?yàn)椋约追N玉米的苗長(zhǎng)得整齊. 例2 市體校準(zhǔn)備挑選一名跳高運(yùn)動(dòng)員參加全市中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，對(duì)跳高運(yùn)動(dòng)隊(duì)的甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了8次選拔比賽.他們的成績(jī)（單位：m）如下： 甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67 乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75 (1)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的跳高平均成績(jī)分別是多少？ (2)哪位運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更為穩(wěn)定？ (

10、3)若預(yù)測(cè)，跳過(guò)1.65m就很可能獲得冠軍，該校為了獲得冠軍，可能選哪位運(yùn)動(dòng)員參賽？若預(yù)測(cè)跳過(guò)1.70m才能得冠軍呢？ 解析：本題是一道數(shù)據(jù)分析有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,主要考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計(jì)算方法及處理數(shù)據(jù)的能力.根據(jù)平均數(shù)及方差的計(jì)算公式可得 （1）==1.69(m), ==1.68（m）. (2)=0.0006(m2), =0.0035(m2), 因?yàn)?所以甲穩(wěn)定. （3）可能選甲參加，因?yàn)榧?次成績(jī)都跳過(guò)1.65m而乙有3次低于1.65m; 可能選乙參加，因?yàn)榧變H3次超過(guò)1.70m. 三類概率問(wèn)題的求解策略 對(duì)于一個(gè)概率題，我們首先要弄清它屬于哪一類型的概

11、率，因?yàn)椴煌念愋托枰扇〔煌愋偷母怕使胶颓蠼夥椒ǎ黄浯?，要審清題意，注意問(wèn)題中的關(guān)鍵語(yǔ)句，因?yàn)檫@些關(guān)鍵語(yǔ)句往往蘊(yùn)含著解題的思路和方法。 下面略舉數(shù)例談?wù)剮追N概率應(yīng)用題的解題技巧和策略。 一、可能性事件概率的求解策略 對(duì)于可能性事件的概率問(wèn)題，除了要用到排列、組合的知識(shí)來(lái)解決外，還要用到排列、組合的解題思路和方法，同時(shí)，在利用概率的古典定義來(lái)求可能性事件的概率時(shí)，應(yīng)注意按下列步驟進(jìn)行：求出基本事件的總個(gè)數(shù)n;②求出事件A中包含的基本事件的個(gè)數(shù)m;③求出事件A的概率，即 例1 甲、乙兩名學(xué)生參加某次英語(yǔ)知識(shí)競(jìng)賽，該競(jìng)賽共有15道不同的題，其中聽(tīng)力題10個(gè)，判斷題5個(gè)，甲乙兩名學(xué)生依

12、次各抽一題。分別求下列問(wèn)題的概率： （1）甲抽到聽(tīng)力題，乙抽到判斷題；（2）甲乙兩名學(xué)生至少有一人抽到聽(tīng)力題。 解析 甲、乙依次抽一題的結(jié)果有（個(gè)） （1）甲抽到聽(tīng)力題、乙抽到判斷結(jié)果有（個(gè)），故所求概率為； （2）（用間接法）甲、乙兩名學(xué)生都抽不到聽(tīng)力題的結(jié)果有，其概率為，從而甲乙兩名學(xué)生至少有一人抽到聽(tīng)力題的概率為。 二、互斥事件概率的求解策略 對(duì)于互斥事件的概率問(wèn)題，通常按下列步驟進(jìn)行：①確定眾事件彼此互斥；②眾事件中有一個(gè)發(fā)生；先求出眾事件分別發(fā)生的概率，然后再求其和。 對(duì)于某些復(fù)雜的互斥事件的概率問(wèn)題，一般應(yīng)考慮兩種方法：一是“直接法”，將所求事件的概率化成一些彼此互

13、斥的事件的概率的和；二是用“間接法”，即先求出此事件的對(duì)立事件的概率，再用求出結(jié)果。 例2 從12雙不同顏色的鞋中任取10只，求至少有一雙配對(duì)的概率。 解析 直接法 記“取出10只鞋中恰好有1雙、2雙、3雙、4雙、5雙配對(duì)的概率分別為、、、、 則至少有一雙配對(duì)的概率為 間接法 設(shè)至少有一雙配對(duì)的概率為P（A），則為所抽的10只鞋都不配對(duì)的概率，即，所以 三、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的求解策略 對(duì)于相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率問(wèn)題，其求解的一般步驟是：①確定眾事件是相互獨(dú)立的；②確定眾事件會(huì)同時(shí)發(fā)生；③先求每個(gè)事件發(fā)生的概率，再求它們的積。 例3 在我軍的一場(chǎng)模擬空戰(zhàn)演習(xí)

14、中，我軍甲、乙、丙三名飛行員向同一假想敵機(jī)炮擊，已知甲乙丙三名飛行員擊中敵機(jī)的概率分別為0.4、0.5和0.7。 （1）求敵機(jī)被擊中的概率； （2）若一名飛行員擊中，敵機(jī)墜毀的概率是0.2，若兩名飛行員擊中，敵機(jī)墜毀的概率是0.6，若三名飛行員擊中，則敵機(jī)必然墜毀，求敵機(jī)墜毀的概率。 解析 （1）設(shè)P（A）、P（B）、P（C）分別表示甲、乙、丙三名飛行員擊中敵機(jī)的概率，則三名飛行員同時(shí)沒(méi)有擊中敵機(jī)的概率為，故敵機(jī)被擊中的概率為。 （2）設(shè)一名飛行員擊中，兩名飛行員擊中、三名飛行員擊中敵機(jī)的事件分別為、、則 概率的計(jì)算方法 一、公式法 利用公式就可以計(jì)算隨機(jī)事件的概率

15、，這里，，如果A為不確定事件，那么0＜＜1． 例1．中國(guó)體育彩票每100萬(wàn)張一組，每張2元，設(shè)特等獎(jiǎng)1名，獎(jiǎng)金30萬(wàn)元；一等獎(jiǎng)10名，各獎(jiǎng)5萬(wàn)元；二等獎(jiǎng)10名，各獎(jiǎng)1萬(wàn)元；三等獎(jiǎng)100名，各獎(jiǎng)100元；四等獎(jiǎng)1000名，各獎(jiǎng)20元；五等獎(jiǎng)10萬(wàn)名，各獎(jiǎng)2元．小王花2元買了1張彩票，那么他獲獎(jiǎng)的概率是多少？他得特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、四等獎(jiǎng)、五等獎(jiǎng)的概率分別是多少？ 解：一組體育彩票等分成100萬(wàn)份，其中特等獎(jiǎng)1份，一等獎(jiǎng)是10份，二等獎(jiǎng)是10份，三等獎(jiǎng)100份，四等獎(jiǎng)是1000份，五等獎(jiǎng)是10萬(wàn)份，因此對(duì)于小王來(lái)說(shuō)，有 ． ； ； ； ； ； ． 二、列表法 例2

16、．如果每組3張牌，它們的牌面數(shù)字分別是1，2，3，那么從每組牌中各摸出一張牌，兩張牌的牌面數(shù)字和為幾的概率最大？?jī)蓮埮频呐泼鏀?shù)字和等于4的概率是多少？ 第一張牌的牌面數(shù)字 解：利用列表法： 第二張牌的牌面數(shù)字 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 列表中兩次出現(xiàn)1，2，3點(diǎn)的可能性相同，因而共有9中可能，而牌面數(shù)字和等于4的情況有（1，3），（2，2），（3，1），3中可能，所以牌面數(shù)字和等于4的概率等于，即． 三、樹(shù)狀圖法 如上題的另一中解法，就

17、利用用樹(shù)狀圖法來(lái)解： （5） （4） 開(kāi)始 2 1 3 3 （2） （3） （3） （4） （5） （6） 1 2 2 2 3 （4） 1 1 3 總共9種情況，每種情況發(fā)生的可能性相同，而兩張牌的牌面數(shù)字和等于4的情況出現(xiàn)得最多，共3次，因此牌面數(shù)字和等于4的概率最大，概率為等于，即． 例3．求：連續(xù)擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)一正一反的概率． 解：本題采用樹(shù)狀圖分析法： 正 反 反 正 開(kāi)始 反 正 （正，正） （正，反） （反，正） （反，反） 由樹(shù)狀圖知共有4種可

18、能，出現(xiàn)“一正一反”的有兩種，概率為，即． 本題也可采用列表法來(lái)解： 第2次 第1次 正 反 正 （正，反） （反，正） 反 （正，反） （反，反） 由表知共有4種可能，出現(xiàn)“一正一反”共2次，概率為，即． 四、面積法 幾何概型的概率的求解方法往往與面積的計(jì)算相結(jié)合 A B C D 例4．如圖，矩形花園ABCD，AB為4米，BC為6米，小鳥(niǎo)任意落下，則小鳥(niǎo)落在陰影區(qū)的概率是多少？ 解：矩形面積為：4×6＝24（米）， 陰影部分面積為：（米）， ． 練習(xí)： 1．袋中裝有3個(gè)紅球，1個(gè)白球，除顏色外完全相同． （1）用實(shí)驗(yàn)的方法估計(jì)，從袋中

19、隨機(jī)摸出一球，是白球的概率． （2）計(jì)算從袋中隨機(jī)摸出一球，是白球的概率是多少？ （3）實(shí)驗(yàn)估計(jì)結(jié)果與理論概率一致嗎？為什么？你認(rèn)為要得到較為準(zhǔn)確的估計(jì)值，應(yīng)注意哪些問(wèn)題？ 2．在摸牌游戲中，每組有三張牌，第一組牌面數(shù)字分別是2，3，4，第二組牌面數(shù)字分別是3，4，5，從每組牌中各摸出一張牌，兩張牌的牌面數(shù)字和為幾的概率最大？是多少？ 3．三張除數(shù)字完全相同的紙牌，數(shù)字為1，2，3，每次抽取一張為一次實(shí)驗(yàn)，多少次實(shí)驗(yàn)后匯總下表： 摸牌次數(shù) 20 50 100 200 300 400 500 奇數(shù) 9 28 75 172 195 176 310 奇數(shù)頻率

20、 45％ 75％ 62％ （1）將表格補(bǔ)充完整； （2）觀察上面的表格，你估計(jì)出現(xiàn)奇數(shù)的概率為多少？ （3）通過(guò)對(duì)表格的仔細(xì)觀察，你有什么想法和感悟？ 4．一張有重要情報(bào)的紙片，被隨意藏在下面涂有黑、灰、白三種顏色的圖形中． （1）藏在那種顏色的區(qū)域的概率最大？ （2）藏在哪兩種顏色區(qū)域內(nèi)的概率相同？ （3）分別計(jì)算藏在三種顏色區(qū)域內(nèi)的概率？ 5．下表左攔是五個(gè)裝有一些彩色小球的口袋， 右欄是五個(gè)愿望，請(qǐng)為每一愿望找一個(gè)口袋， 使這一愿望最有希望實(shí)現(xiàn)． 口袋 愿望 A袋中裝著1個(gè)紅球、19個(gè)白球 ①想取出一個(gè)黃球 B袋中裝著20個(gè)紅球 ②想

21、取出一個(gè)綠球 C袋中裝著10個(gè)紅球、10個(gè)綠球 ③想取出一個(gè)白球 D袋中裝著18個(gè)紅球、1個(gè)黃球、1個(gè)白球 ④想取出一個(gè)紅球 E袋中裝著10個(gè)紅球、6個(gè)白球、4個(gè)綠球 ⑤想同時(shí)取出一個(gè)白球和一個(gè)綠球 6．如圖3，有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻轉(zhuǎn)盤A，B，轉(zhuǎn)盤A被均勻地分成4等分，每份分別標(biāo)上1、2、3、4四個(gè)數(shù)字；轉(zhuǎn)盤Ｂ被均勻地分成6等分，每份分別標(biāo)上1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)字，有人為甲、乙兩人設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲，其規(guī)則如下： （1）同時(shí)自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A與B； （2）轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個(gè)數(shù)字（如果指針恰好指在分格線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一數(shù)字為止），用所指的兩個(gè)數(shù)作乘

22、積，如果得到的積是偶數(shù)，那么甲勝；如果得到的積是奇數(shù)，那么乙勝（如轉(zhuǎn)盤A指針指向3，轉(zhuǎn)盤B指針指向5，3×5＝15，按規(guī)則乙勝）． 6 4 1 5 3 2 圖3 4 3 2 1 你認(rèn)為這樣的規(guī)則是否公平？請(qǐng)說(shuō)明理由； 例析概率問(wèn)題與各章知識(shí)的精彩交匯 一、 概率問(wèn)題與函數(shù)知識(shí)的交匯 例1：多項(xiàng)飛碟是奧運(yùn)會(huì)的競(jìng)賽項(xiàng)目，它是由拋靶機(jī)把碟靶（射擊的目標(biāo)）在一定范圍內(nèi)從不同的方向飛出，每拋出一個(gè)碟靶，就允許運(yùn)動(dòng)員射擊兩次.一運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)，每一次射擊命中碟靶的概率P與運(yùn)動(dòng)員離碟靶的距離S（米）成反比，現(xiàn)有一碟靶拋出后S（米）

23、與飛行時(shí)間t（秒）滿足S=15（t+1），（0≤t≤4）.假設(shè)運(yùn)動(dòng)員在碟靶飛出后0.5秒進(jìn)行第一次射擊，且命中的概率為0.8，如果他發(fā)現(xiàn)沒(méi)有命中，則通過(guò)迅速調(diào)整，在第一次射擊后經(jīng)過(guò)0.5秒進(jìn)行第二次射擊，求他命中此碟靶的概率？ [解析]：設(shè)P=（K為非0常數(shù)），則P= 當(dāng)t=0.5秒時(shí)，P1=0.8 ,代入上式得K=18 ， ∴P= ∴當(dāng)t=1秒時(shí)，P2=0.6 因此 P= P1+（1- P1）×P2=0.8+（1-0.8）×0.6=0.92 二、 概率問(wèn)題與向量、數(shù)列知識(shí)的交匯 例2：從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)M，按向量a=(0,1)移動(dòng)的概率為2/3，按向量b=（0，2）

24、移動(dòng)的概率為1/3，設(shè)M可到達(dá)點(diǎn)（0，n）的概率為Pn (1)求P1和P2的值；（2）求證：=;(3)求的表達(dá)式。 [解析]：（1）P1= ，P2=（）2+= （2）證明：M到達(dá)點(diǎn)（0，n+2）有兩種情況：①?gòu)狞c(diǎn)（0，n+1）按向量a=（0，1）移動(dòng)；②從點(diǎn)（0，n）按向量b=（0，2）移動(dòng). ∴+ ∴= （3）數(shù)列{}是以P2-P1為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列. = (P2-P1)(-)n-1=(-)n-1=(-)n+1, ∴=(-)n, 又∵=（）+（）+…+(P2-P1) =(-)n+(-)n-1+…+(-)2=()[1- (-)

25、n-1] ∴+()[1- (-)n-1]= (-)n 三、 概率問(wèn)題與平面幾何知識(shí)的交匯 例3：兩人相約在7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一個(gè)人20分鐘方可離去. 試求這兩人能會(huì)面的概率？ [解析]：（如圖）這是幾何概型問(wèn)題. 以X、Y分別表示兩人到達(dá)時(shí)刻，建立直角坐標(biāo)系如圖： 則0≤X≤60， 0≤Y≤60。兩人能會(huì)面的充要條件是|X-Y|≤20 ∴P= 四、 概率問(wèn)題與立體幾何知識(shí)的交匯 例4：質(zhì)地均勻的三個(gè)幾何體A、B、C. A是硬幣，正面涂紅色，反面涂黃色；B是正四面體涂了紅黃藍(lán)白四色，每面一色；C是正方體，每面涂一色，涂有紅黃藍(lán)三色，每種顏色兩個(gè)面，

26、在水平地面上依次投A、B、C各一次，幾何體與地面接觸的面的顏色稱為“保留色”。 （1） 求A、B、C的“保留色”相同的概率； （2） 求A、B、C的“保留色”恰為兩個(gè)紅色的概率； （3） 求A、B、C的“保留色”互不相同的概率； [解析]：（1`）∵當(dāng)A、B、C的“保留色”相同可分為同紅或同黃， ∴ P1== （2）∵“恰為兩個(gè)紅色”有三種情況，即A、B同紅色；B、C同紅色；A、C同紅色 ∴P2== （3）解法（一）按先投A，再投C，最后投B的順序可得P3== 解法（二）按先投A，再投B，最后投C的順序則需分兩類，當(dāng)B投得的“保留色”

27、為白色時(shí)，則此時(shí)三者的“保留色”互不相同的概率是= ； 當(dāng)B投得的“保留色”不為白色時(shí)，則此時(shí)三者的“保留色”互不相同的概率是=， ∴A、B、C的“保留色”互不相同的概率P3=+= 解法（三）反面解之，P3=1- P1-2P2 - （其中為B、C同藍(lán)色的概率） 由上觀之，對(duì)概率知識(shí)的學(xué)習(xí)，尤其是高三總復(fù)習(xí)階段，如果能打破知識(shí)條塊系統(tǒng)的限制，串點(diǎn)成線，尋找合適的知識(shí)載體，精心選編復(fù)習(xí)內(nèi)容，在知識(shí)的交匯點(diǎn)，方法的多樣性，思維的靈活性能力的綜合性上討論問(wèn)題，將有利于提高學(xué)習(xí)效益. 附相關(guān)練習(xí)及答案： 1、從集合｛0，1，2，3，5，7，11｝中任取3個(gè)元素分別作為方程Ax+By+C

28、=0中的A、B、C。所得直線恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的概率是 。 2、將一個(gè)各個(gè)面上均涂有紅顏色的正方體鋸成64個(gè)同樣大小的小正方體。 (1)從這些小正方體中任取1個(gè)，其中恰好有奇數(shù)個(gè)面涂有紅顏色的概率是多少？ (2)從這些小正方體中任取2個(gè)，至少有一個(gè)小正方體的某個(gè)面或某幾個(gè)面涂有紅顏色的概率是多少？ 3.、在某物理實(shí)驗(yàn)中，有兩粒子a，b分別位于同一直線上A、B兩點(diǎn)處(如圖所示)，|AB|＝2，且它們每隔1秒必向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位，如果a粒子向左移動(dòng)的概率為，b粒子向左移動(dòng)的概率為. (1)求2秒后，a粒子在點(diǎn)A處的概率； (2)求2秒后，a，b兩粒子同

29、時(shí)在點(diǎn)B處的概率. 　4．袋里裝有35個(gè)球，每個(gè)球上都標(biāo)有從1到35的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼n的球重（克）．這些球以等可能性（不受重量的影響）從袋里取出． （1）如果任意取出一球，試求其重量大于號(hào)碼數(shù)的概率； （2）如果同時(shí)任意取出二球，試求它們重量相同的概率． 5．某超市為擴(kuò)大銷售調(diào)查進(jìn)入該超市顧客的人數(shù)，經(jīng)觀察，在一段時(shí)間內(nèi)，進(jìn)入超市為n個(gè)人的概率為p (n)滿足關(guān)系 （1） 求一個(gè)顧客也沒(méi)有的概率p（0）；（2）求一段時(shí)間進(jìn)入該超市顧客的期望值。 1答 ，2答、(1) (2)， 3答. (1) ×+×=.(2) ×=. 4．解（1）由不等式得n＞15，n＜3，由題意知

30、n＝1，2，或n＝16，17，…，35．于是所求概率為?。?）設(shè)第n號(hào)與第m號(hào)的兩個(gè)球的重量相等，其中n＜m，則有，所以，因?yàn)閚≠m，所以n＋m＝15，（n，m）＝（1，14），（2，13），…（7，8），但從35個(gè)球中任取兩個(gè)的方法數(shù)為，故，所求概率為 巧求概率 　　一、注意每次實(shí)驗(yàn)的步數(shù)，有放回與無(wú)放回 　　例1　袋中有1個(gè)白球，2個(gè)黃球，問(wèn) 　　（1）從中一次性地隨機(jī)摸出2個(gè)球，都是黃球的概率是多少？ 　?。?）先從中摸出一球，再?gòu)氖Ｏ碌那蛑忻鲆磺?，兩次都是黃球的概率是多少？ 　?。?）先從中摸出一球，將它放回口袋中后，再摸一次，兩次都是黃球的概率是多少？ 　　解析：（1

31、）從袋中一次性地摸出2個(gè)球，作為一次實(shí)驗(yàn)，此實(shí)驗(yàn)就此一步，從袋中一次性地摸出2個(gè)球的結(jié)果總數(shù)為3，都是黃球的結(jié)果數(shù)為1，所以概率為． 　?。?）先從中摸出一球，再?gòu)氖Ｏ碌那蛑忻鲆磺?，作為一次?shí)驗(yàn)，此實(shí)驗(yàn)分為兩步，第一步為：從袋中摸出一球，第二步為：再?gòu)氖Ｏ碌那蛑忻鲆磺颍? 　　法一：畫(huà)樹(shù)狀圖． 　　由樹(shù)狀圖可看出，總結(jié)果數(shù)為6，兩次都是黃球的結(jié)果數(shù)為2，所以兩次都是黃球的概率為． 　　法二：第一步從袋中摸出一個(gè)黃球的概率為，當(dāng)?shù)谝徊矫隽它S球時(shí)，剩下的兩個(gè)球?yàn)?個(gè)白球，1個(gè)黃球，所以此時(shí)第二步再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)球中摸出一個(gè)黃球的概率為．即在第一步的概率中，第二步又有的概率，所以兩次都

32、是黃球的概率為兩步概率的乘積． 　?。?）先從中摸出一球，將它放回口袋中后，再摸一次，作為一次實(shí)驗(yàn)，此實(shí)驗(yàn)分為兩步，第一步為：從袋中摸出一球，第二步為將摸出的球放回袋中，使袋中始終保持三個(gè)球，再?gòu)闹忻鲆磺颍? 　　法一：因?yàn)槊看蚊蚨际菑娜齻€(gè)球中摸出一個(gè)，所以每次摸黃球的概率都為，二次都摸到黃球的概率為． 　　法二：每次摸球的結(jié)果都是3，對(duì)于第一次的每個(gè)結(jié)果，第二次都有3個(gè)結(jié)果與之對(duì)應(yīng)，所以兩次摸球的結(jié)果總數(shù)為兩次結(jié)果的乘積，每次摸黃球的結(jié)果數(shù)都為2，所以兩次都摸到黃球的結(jié)果數(shù)為，概率為． 　　法三：列表格． 　　法四：畫(huà)樹(shù)狀圖． 　　小結(jié)：由（1）、（2）比較可以看出，無(wú)放回地

33、兩次都摸黃球的概率與一次性地摸兩個(gè)黃球的概率是一樣的． 　　求概率的方法有多種，其中樹(shù)狀圖和表格的方法，思路清晰，各種情況一目了然，但相對(duì)來(lái)說(shuō)較麻煩，而（3）中的法一、法二相對(duì)較簡(jiǎn)單，歸納如下：如果一次實(shí)驗(yàn)分兩步進(jìn)行，第一步的等可能結(jié)果數(shù)為m，第二步的等可能結(jié)果數(shù)為n，則總等可能結(jié)果數(shù)為各步結(jié)果數(shù)的乘積mn．第一步事件A的發(fā)生的概率為P（A），第二步事件B發(fā)生的概率為P（B），則事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率為各步概率乘積P（A）P（B）． 　　二、注意找出所有符合要求的情況 　　例2　用下圖所示的轉(zhuǎn)盤進(jìn)行配紫色（紅色與藍(lán)色配成）游戲：其中A轉(zhuǎn)盤藍(lán)色部分占整個(gè)轉(zhuǎn)盤的．求游戲者獲勝的概率？ 　　解析：配成紫色的情況為（紅，藍(lán)），（藍(lán)，紅），括號(hào)里兩種顏色分別表示轉(zhuǎn)盤A、B的指針?biāo)傅念伾? 　　對(duì)于情況（紅，藍(lán)），轉(zhuǎn)盤A指向紅色的概率為，轉(zhuǎn)盤B指向藍(lán)色的概率為，所以情況（紅，藍(lán)）的概率為． 　　同理情況（藍(lán)，紅）的概率為． 　　所以配成紫色的概率為． 　　本題也可用表格或樹(shù)狀圖來(lái)解． 　　小結(jié)：本題中符合要求的情況為兩種，這兩種情況不可能同時(shí)發(fā)生，它們的概率之和就是所求概率．