2020高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)集錦 排列組合和概率

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1、排列組合和概率 【兩年真題重溫】 【2020新課標(biāo)全國(guó)】有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為( )． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意可知播種了1000粒，沒(méi)有發(fā)芽的種子數(shù)服從二項(xiàng)分布，即,而，則.應(yīng)選B. 【2020年高考課標(biāo)全國(guó)文】設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算由曲線y＝f(x)及直線x＝0，x＝1，y＝0所圍

2、成部分的面積S.先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè))區(qū)間[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N個(gè)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再數(shù)出其中滿(mǎn)足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的點(diǎn)數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方法可得S的近似值為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】由0≤f(x)≤1可知曲線y＝f(x)與直線x＝0，x＝1，y＝0圍成了一個(gè)曲邊梯形．又產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)對(duì)在如圖所示的正方形內(nèi)，正方形的面積為1，共有N對(duì)數(shù)，即有N個(gè)點(diǎn)，且滿(mǎn)足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的有N1個(gè)點(diǎn)，即在函數(shù)f(x)圖象上及下方有N1個(gè)點(diǎn)，所以由幾何概型的概率公式得：曲線y

3、＝f(x)與x＝0，x＝1，y＝0圍成的面積為×1＝ 命題意圖：本題主要考查二項(xiàng)分布的期望以及隨機(jī)變量的性質(zhì)，考查解決應(yīng)用問(wèn)題的能力. 【命題意圖猜想】 1. 2020年高考題主要考查等可能事件的概率、相互獨(dú)立事件的概率、互斥事件的概率．基礎(chǔ)題目，難度較低，分清事件是什么事件是解題的關(guān)鍵；2020年理科高考題考查二項(xiàng)分布，也是基礎(chǔ)題，清晰二項(xiàng)分布的分辨能力和公式是解題的關(guān)鍵.；2020年文科高考題同教材P140的例4相類(lèi)似，試題從表面來(lái)看難度較大，考生感到無(wú)從下手，其實(shí)很簡(jiǎn)單，面積比就等于點(diǎn)數(shù)比．通過(guò)這兩年的試題分析我們可以看出：本熱點(diǎn)的排列組合和概率問(wèn)題往往結(jié)合在一起考查，且以概率

4、問(wèn)題為主，單純考查排列組合較少，試題難度不大，為中低檔題。 2.排列與組合問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)內(nèi)容之一．從近幾年的高考試題統(tǒng)計(jì)分析來(lái)看，對(duì)排列與組合知識(shí)的考查均以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，題型為選擇題、填空題，題量多是一道，分值為4～5分，屬于中檔題．內(nèi)容以考查排列、組合的基礎(chǔ)知識(shí)為主．題目難度與課本習(xí)題難度相當(dāng)，但也有個(gè)別題目難度較大，重點(diǎn)考查分析、解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法．預(yù)測(cè)2020年高考，排列、組合及排列與組合的綜合應(yīng)用仍是高考的重點(diǎn)，同時(shí)應(yīng)注意排列、組合與概率、分布列等知識(shí)的結(jié)合，重點(diǎn)考查學(xué)生的運(yùn)算能力與邏輯推理能力． 3.猜想：在2020年的高考題很可能考查單純排列組

5、合問(wèn)題，而概率問(wèn)題放在解答題中涉及，試題難度不大，理科難度稍微比文科難度要大一些，命題方向?yàn)橐苑诸?lèi)思想為主。 【最新考綱解讀】 【回歸課本整合】 1.排列數(shù)中、組合數(shù)中. (1)排列數(shù)公式 ；。 (2)組合數(shù)公式 ；規(guī)定，. (3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：①；②；③；④；⑤；⑥. 2.解排列組合問(wèn)題的依據(jù)是：分類(lèi)相加（每類(lèi)方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是相互獨(dú)立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事），分步相乘（一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的），有序排列，無(wú)序組合．

6、3.解排列組合問(wèn)題的方法有： （1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。 （2）間接法（對(duì)有限制條件的問(wèn)題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉） （3）相鄰問(wèn)題捆綁法（把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。 9、獨(dú)立事件：（事件A、B的發(fā)生相互獨(dú)立，互不影響）P(A?B)＝P(A) ? P(B) .提醒：（1）如果事件A、B獨(dú)立，那么事件A與、與及事件與也都是獨(dú)立事件；（2）如果事件A、

7、B相互獨(dú)立，那么事件A、B至少有一個(gè)不發(fā)生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互獨(dú)立，那么事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生的概率是1－P（）＝1－P()P(). 10、獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)：事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生了次的概率(是二項(xiàng)展開(kāi)式的第k+1項(xiàng))，其中為在一次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率. 提醒：（1）探求一個(gè)事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是分清事件的性質(zhì).在求解過(guò)程中常應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分解(分類(lèi)或分步)轉(zhuǎn)化思想處理，把所求的事件：轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識(shí))；轉(zhuǎn)化為若干個(gè)互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率；利用對(duì)立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件同

8、時(shí)發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件.（2）事件互斥是事件獨(dú)立的必要非充分條件，反之，事件對(duì)立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問(wèn)題的解題規(guī)范：①先設(shè)事件A=“…”， B=“…”；②列式計(jì)算；③作答. 11.古典概型： 滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱(chēng)為古典概型： (1)有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的不同的基本事件只有有限個(gè)； (2)等可能性：每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的． 古典概型中事件的概率計(jì)算如果一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，隨機(jī)事件A包含了其中m個(gè)等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝. 12．幾何概型

9、 區(qū)域A為區(qū)域Ω的一個(gè)子區(qū)域，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件的區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無(wú)關(guān)，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型．幾何概型的概率P(A)＝，其中μA表示構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)．μΩ表示試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)． 13、解決概率問(wèn)題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”： ① 求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì) 即所給的問(wèn)題歸結(jié)為四類(lèi)事件中的某一種. 第二步，判斷事件的運(yùn)算 即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件. 第三步，運(yùn)用公式求解 第四步，答，即給提出的問(wèn)題有一個(gè)明確的答復(fù).

10、 3.解排列、組合的綜合應(yīng)用問(wèn)題，要按照“先選后排”的原則進(jìn)行，即一般是先將符合要求的元素取出(組合)，再對(duì)取出的元素進(jìn)行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、圖形分析法．要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題探索分類(lèi)、分步的技巧，做到層次清楚，條理分明． 4.事件A的概率的計(jì)算方法，關(guān)鍵要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.因此必須解決以下三個(gè)方面的問(wèn)題：第一，本試驗(yàn)是否是等可能的；第二，本試驗(yàn)的基本事件數(shù)有多少個(gè)；第三，事件A是什么？它包含的基本事件有多少．回答好這三個(gè)方面的問(wèn)題，解題才不會(huì)出錯(cuò)． 5．幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)：一是無(wú)限性，即在一次試驗(yàn)中，基本事件的個(gè)數(shù)可以是無(wú)限的；二是等可

11、能性，即每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的．因此，用幾何概型求解的概率問(wèn)題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”．即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積(體積、長(zhǎng)度)”與“試驗(yàn)的基本事件所占的總面積(總體積、長(zhǎng)度)”之比來(lái)表示． 【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】 1．切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類(lèi)還是需要分步進(jìn)行．分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏．對(duì)于復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題，可以分類(lèi)、分步綜合應(yīng)用． 2．解決排列、組合問(wèn)題可遵循“先組合后排列”的原則，區(qū)分排列、組合問(wèn)題主要是判斷“有序”和“無(wú)序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無(wú)序，關(guān)鍵是在計(jì)算中體現(xiàn)“有序”和“無(wú)序”．

12、 3．要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合，盡可能使寫(xiě)出的排列或組合與計(jì)算的排列數(shù)相符，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這樣既可以加深對(duì)問(wèn)題的理解，檢驗(yàn)算法的正確與否，又可以對(duì)排列數(shù)或組合數(shù)較小的問(wèn)題的解決起到事半功倍的效果． 4.幾何概型求解時(shí)應(yīng)注意： (1)對(duì)于一個(gè)具體問(wèn)題能否應(yīng)用幾何概型概率公式計(jì)算事件的概率，關(guān)鍵在于能否將問(wèn)題幾何化；也可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況，選取合適的參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上，將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個(gè)可度量區(qū)域． (2)由概率的幾何定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞應(yīng)理解為對(duì)應(yīng)于每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大

13、小僅與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無(wú)關(guān)． 5.如果題設(shè)條件比較復(fù)雜，且備選答案數(shù)字較小，可考慮利用窮舉法求解；如果試題難度較大并和其它知識(shí)聯(lián)系到一起，感覺(jué)不易求解，一般不要花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間，可通過(guò)排除法模糊確定，一般可考慮去掉數(shù)字最大和最小的答案. 【新題預(yù)測(cè)演練】 1.【山東省萊蕪市2020屆高三上學(xué)期期末檢測(cè)】 如圖，在一花壇A，B，C，D四個(gè)區(qū)域種花，現(xiàn)有4種不同的花供選種， 要求在每塊里種1種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為 A.48 B.60 C.72 D.84 【答案】 D 【解

14、析】當(dāng)A與C 同色時(shí)有4×3×3=36種不同的涂法， 當(dāng)A與C 不同色時(shí)有4×3×2×2=48種不同的涂法，∴共有36+48=84. 2.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二)】 一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)白球與2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中任意取出一個(gè)球，取出后不放回，然后再?gòu)拇腥我馊〕鲆粋€(gè)球，求第一次為白球第二次為黑球的概率為 A． B． C． D． 3.【保定市2020學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試】 已知點(diǎn)滿(mǎn)足，集合，在集合中任取一點(diǎn)，則恰好取到點(diǎn)的概率為 A、 B、 C、 D、1 【答案】B 【解析點(diǎn)所在正方形的面積為2，集合所表

15、示的圓的面積為，所以所求概率為. 4.【2020年高中畢業(yè)年級(jí)第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)理】 如圖所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形AOBC內(nèi)，曲線和曲線圍成一個(gè)葉形圖（陰影部分），向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)（該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的），則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是 A． B. C. D. 【答案】D 【解析】 5.【湖北省孝感市2020學(xué)年度高中三年級(jí)第一次統(tǒng)一考試】 如圖所示，在AB間有四個(gè)焊接點(diǎn),若焊接點(diǎn)脫落，則導(dǎo)致電路不通.今發(fā)現(xiàn)A、B之間電路不通,則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有（）種. A.9 B. 11 C. 13 D. 15 【

16、答案】 C 【解析】按照脫落的個(gè)數(shù)多少進(jìn)行分類(lèi).若脫落1個(gè)，則有（1）（4）共2種；若脫落2個(gè)，有（1、4）（2、3）（1,2）（1,3）（4,2）（4,3）共6種；若脫落3個(gè)，有（1,2,3）（1,2,4）（2,3,4）（1,3,4）共4種；若脫落4個(gè)，有（1,2,3,4）共1種.綜上共有2+6+4+1=13種. 6.【浙江省2020年高三調(diào)研理科數(shù)學(xué)測(cè)試卷】 袋中共有8個(gè)球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)白球、3個(gè)黑球．若從袋中任取3個(gè)球，則所取3個(gè) 球中至多有1個(gè)紅球的概率是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D

17、 【解析】 明確公式中表示為“從8個(gè)球取3個(gè)球，”的各種情形，表示“至多有1個(gè)紅球”的各種情形。解題的關(guān)鍵是將“至多有1個(gè)紅球”分為“有一個(gè)紅球”和“沒(méi)有紅球”兩類(lèi). 7.[廣東省深圳市福田區(qū)2020屆數(shù)學(xué)科(理)試題詳細(xì)解析] 在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，的值介于0到之間的概率為( ). A. B. C. D.w.w.w..c.o.m 【答案】A 【解析】:在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,即時(shí),要使的值介于0到之間,需使或，區(qū)間長(zhǎng)度為，由幾何概型知的值介于0到之間的概率為.故選A. w.w.w..c.o.m 8.【河北省唐山市2020

18、屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)】 五名志愿者去四個(gè)不同的社區(qū)參加創(chuàng)建文明城市的公益活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少一人，且甲、乙不能分在同一個(gè)社區(qū)，則不同的分配方法有（ ） A. 240種B. 216種C. 120種D.72種 【答案】B 【解析】五名志愿者分成四組，每組至少一人且甲乙不在同一組共有種，再把四組安排到四個(gè)社區(qū)，共有. 9.【河北省正定中學(xué)2020學(xué)年度高三月考（數(shù)學(xué)理）】 如圖，設(shè)是圖中邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域，是內(nèi)函數(shù)圖象下方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū) 域．向中隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入中的概率為 （ ） A． B． C．

19、 D． 【答案】C 【解析】陰影=,. 10.【山西省2020屆高三第二次四校聯(lián)考】 某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正反的概率都是，構(gòu)造數(shù)列，使得 ，記．則的概率為 A. B. C. D. 12.【福州市2020屆第一學(xué)期期末高三質(zhì)檢】 在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為，由題意有，得，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為． 13.（20

20、20屆河北正定中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考）小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活 動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此 點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書(shū)，則小波周末不在家看書(shū)的概率為 【答案】A 【解析】 14.【唐山市2020學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末考試】 在具有5個(gè)行政區(qū)域的地圖（如圖）上，給這5個(gè)區(qū)域著色共使用了4種不同的 顏色，相鄰區(qū)域不使用同一顏色，則有 種不同的著色方法。 【答案】 48 【解析】依題意，一共使用了4種不同的顏色，因5塊區(qū)域，故必有2塊顏色相同.分成2類(lèi)：若1,5塊顏色相同，則若

21、2,4顏色相同，同理也有24種，故共有48種不同的著色方法. 15.【2020年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試】 某校要從2名男生和4名女生中選出4人擔(dān)任某游泳賽事的志愿者工作，則在選出的志愿者中，男、女生都有的概率為 .（結(jié)果有數(shù)值表示） 【答案】 【解析】根據(jù)限制條件進(jìn)行分類(lèi)“1男3女”“2男2女”兩類(lèi)情況，然后利用公式進(jìn)行求解。若“1男3女”則有“2男2女”有故 16.（2020屆山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)第一次診斷考試）已知函數(shù)若都是在區(qū)間[0,4]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，則的概率為_(kāi)______ 17.（2020屆無(wú)錫一中高三第一學(xué)期期初試卷）從一副沒(méi)有大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃8”，事件B為“抽得為黑桃”，則事件“A＋B”的概率值是_____________（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）．