遼寧省沈陽市2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)暑假作業(yè) 第二部分 不等式(2)

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1、不等式2 在約束條件下,求目標(biāo)函數(shù)的最值問題,通常會(huì)轉(zhuǎn)化為求直線在軸上截距、平面上兩點(diǎn)距離、直線斜率、區(qū)域面積等幾何量的取值范圍問題,此類問題突出體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 1.已知變量滿足約束條件,則的最大值為( ) 3. 若滿足約束條件,則的最小值為 。 5.某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50計(jì),投入資金不超過54萬元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表 年產(chǎn)量/畝 年種植成本/畝 每噸售價(jià) 黃瓜 4噸 1.2萬元 0.55萬元

2、韭菜 6噸 0.9萬元 0.3萬元 為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入 總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位:畝)分別為( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 10. 設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是,平面區(qū)域是與關(guān)于直線對(duì)稱,對(duì)于中的任意一點(diǎn)A與中的任意一點(diǎn)B, 的最小值等于( ) A. B.4 C. D.2 11.設(shè)不等式組,表示平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是 A

3、 B C D 12. 若實(shí)數(shù)x、y滿足則的取值范圍是 ( ) A.(0,1) B. C.(1,+) D. 14.設(shè)平面點(diǎn)集,則所表示的平面圖形的面積為 A B C D 15.在平面直角坐標(biāo)系,已知平面區(qū)域且,則平面區(qū)域的面積為 ( ) A. B. C. D. 16. 若為不等式組表示的平面區(qū)域,則當(dāng)從-2連續(xù)變化到1時(shí),動(dòng)直線掃過中的那部分區(qū)域的面積為

4、. 17. 若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分,則的值是 (A) (B) (C) (D) 高 18.若,且當(dāng)時(shí),恒有,則以,b為坐標(biāo)點(diǎn)所形成的平面區(qū)域的面積等于__________. 19.在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組(為常數(shù))所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2,則的值為 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3

5、 不等式2 1、選 【解析】約束條件對(duì)應(yīng)內(nèi)的區(qū)域(含邊界),其中 畫出可行域,結(jié)合圖形和z的幾何意義易得 3、答案: 【解析】利用不等式組,作出可行域,可知區(qū)域表示的為三角形,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)最大,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)最小為.] 5、選B;【解析】本題考查線性規(guī)劃知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,同時(shí)考查了數(shù)學(xué)建模的思想方法以及實(shí)踐能力. 設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x、y畝,總利潤為z萬元, 則目標(biāo)函數(shù)為 . 線性約束條件為? 即 作出不等式組表示的可行域, 易求得點(diǎn). 平移直線,可知當(dāng)直線,經(jīng)過點(diǎn), 即時(shí) z取得最大值,且(萬元

6、). 故選B. 點(diǎn)評(píng):解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟可歸納為: (1)審題——仔細(xì)閱讀,明確有哪些限制條件,目標(biāo)函數(shù)是什么? (2)轉(zhuǎn)化——設(shè)元.寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù); (3)求解——關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關(guān)系; (4)作答——就應(yīng)用題提出的問題作出回答. 10、選B ;【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃以及兩個(gè)圖形間最小距離的求解、基本公式(點(diǎn)到直線的距離公式等)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。 【解析】由題意知,所求的的最小值,即為區(qū)域中的點(diǎn)到直線的距離的最小值的兩倍,畫出已知不等式表示的平面區(qū)域,如圖所示,可看出點(diǎn)(1,1)到直線的距離

7、最小,故的最小值為,所以選B。 評(píng)注:在線性約束條件下,求分別在關(guān)于一直線對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的兩點(diǎn)距離的最值問題,通常轉(zhuǎn)化為求其中一點(diǎn)(x,y)到對(duì)稱軸的距離的的最值問題。結(jié)合圖形易知,可行域的頂點(diǎn)及可行域邊界線上的點(diǎn)是求距離最值的關(guān)鍵點(diǎn). 11、選D;【解析】題目中表示的區(qū)域?yàn)檎叫危鐖D所示,而動(dòng)點(diǎn)M可 以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分, 因此 ,故選D. 12、選C;【解析】如圖,陰影部分為不等式所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,表示平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)之間連線的斜率,由圖易知,,選C. 評(píng)注:在線性約束條件下,對(duì)于形如的目標(biāo)函數(shù)的取值問題,通常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)、之間

8、連線斜率的取值. 結(jié)合圖形易知,可行域的頂點(diǎn)是求解斜率取值問題的關(guān)鍵點(diǎn). 在本題中,要合理運(yùn)用極限思想,判定的最小值無限趨近于1. 14、選;【解析】由對(duì)稱性:圍成的面積與圍成的面積相等,得:所表示的平面圖形的面積為圍成的面積既 15、選B;【解析】令,則,代入集合A,易得,其所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部分,則平面區(qū)域的面積為×2×1=1,∴選B. 評(píng)注:本題涉及雙重約束條件,解題的關(guān)鍵是采用換元的思想去尋求平面區(qū)域所對(duì)應(yīng)的約束條件,從而準(zhǔn)確畫出相應(yīng)的平面區(qū)域. 16、答案;【解析】如圖,陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域, 其中: . 當(dāng)從-2連續(xù)變化到1時(shí),動(dòng)直線掃過的

9、平面區(qū)域即為與之間的平面區(qū)域,則動(dòng)直線掃過中的那部分平面區(qū)域的面積即為四邊形的面積,由圖易知,其面積為:. 評(píng)注:本題所求平面區(qū)域即為題設(shè)平面區(qū)域A與動(dòng)直線在從-2連續(xù)變化到1時(shí)掃過的平面區(qū)域之間的公共區(qū)域,理解題意,準(zhǔn)確畫圖是解題的關(guān)鍵. A x D y C O y=kx+ 17、選A; 【解析】不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分△ABC由得A(1,1),又B(0,4),C(0,) ∴△ABC=,設(shè)與的交點(diǎn)為D, 則由知,∴, ∴,選A. 18、答案1;【解析】如圖,陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域, 要使得恒有成立,只須平面區(qū)域頂點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式,易得所

10、以所形成的平面區(qū)域的面積等于1. 評(píng)注:本題是線性規(guī)劃背景下的不等式恒成立問題,只須考慮可行域的頂點(diǎn)即可. 作為該試卷客觀題的最后一題,熟悉的題面有效避免了學(xué)生恐懼心理的產(chǎn)生,但這并不等于降低了對(duì)數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想方法的考查,真可謂簡約而不簡單. 19、選D;【解析】 作出不等式組所圍成的平面區(qū)域. 如圖所示,由題意可知,公共區(qū)域的面積為2;∴|AC|=4,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,4)代入得a=3,故選D. 點(diǎn)評(píng):該題在作可行域時(shí),若能抓住直線方程中含有參數(shù)a這個(gè)特征,迅速與“直線系”產(chǎn)生聯(lián)系,就會(huì)明確可變形為的形式,則此直線必過定點(diǎn)(0,1);此時(shí)可行域的“大致”情況就可以限定,再借助于題中的其它條件,就可輕松獲解.

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