【備戰(zhàn)】2020高考數(shù)學(xué) 應(yīng)考能力大提升2.2

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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學(xué)應(yīng)考能力大提升 典型例題 例1 已知函數(shù)f(x)=x3-x2++。證明:存在x0∈(0,),使f(x0)=x0. 【解析】證明:令g(x)=f(x)-x. ∵g(0)=,g()=f()-=-, ∴g(0)·g()<0. 又函數(shù)g(x)在[0,]上連續(xù), 所以存在x0∈(0,),使g(x0)=0. 即f(x0)=x0. 例2 已知函數(shù)f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍,并求出該零點(diǎn). 【解析】∵f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn), 即方程(2x)2+m·2x+1=0僅有一個(gè)實(shí)根. 設(shè)2x=t(t>0),則t2+mt+

2、1=0. 當(dāng)Δ=0,即m2-4=0, ∴m=-2時(shí),t=1;m=2時(shí),t=-1不合題意,舍去, ∴2x=1,x=0符合題意. 當(dāng)Δ>0,即m>2或m<-2時(shí), t2+mt+1=0有一正一負(fù)根, 即t1t2<0,這與t1t2>0矛盾. ∴這種情況不可能. 綜上可知:m=-2時(shí),f(x)有唯一零點(diǎn),該零點(diǎn)為=0. 創(chuàng)新題型 1、若函數(shù)f(x)=ax3-bx+4,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)有極值-. (1)求函數(shù)的解析式; (2)若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍。] 2、已知函數(shù) (I

3、)求在區(qū)間上的最大值 (II)是否存在實(shí)數(shù)使得的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由。 3、設(shè)函數(shù) (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍; (3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍。 參考答案 1.【解析】由題意可知f′(x)=3ax2-b, (1)于是 故所求的解析式為f(x)=x3-4x+4. (2)由(1)可知f′(x)=x2-4=(x

4、-2)(x+2), 令f′(x)=0,得x=2,或x=-2. 當(dāng)x變化時(shí)f′(x)、f(x)的變化情況如下表所示: X (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 因此,當(dāng)x=-2時(shí),f(x)有極大值; 當(dāng)x=2時(shí),f(x)有極小值-. 所以函數(shù)的大致圖象如圖.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是-<k<. 綜上, (II)函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn),即函數(shù) 的圖象與軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。 當(dāng)時(shí),是增函數(shù); 當(dāng)時(shí),是減函數(shù); 當(dāng)時(shí),是增函數(shù); 當(dāng)或時(shí), 當(dāng)充分接近0時(shí),當(dāng)充分大時(shí), 要使的圖象與軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),必須且只須   即 所以存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn),的取值范圍為 3.【解析】因?yàn)? (1)令 或x>0,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-2,-1)和(0,+∞); 令 的單調(diào)減區(qū)間(-1,0)和(-∞,-2)。 (2)令(舍),由(1)知,f(x)連續(xù), 因此可得:f(x)e2-2

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