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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學應考能力大提升
典型例題
例1 是等差數(shù)列的前n項和,已知的等比中項為,的等差中項為1,求數(shù)列的通項.
解:由已知得, 即 ,
解得或 或
經(jīng)驗證 或 均滿足題意,即為所求.
例2 設f(x)=(a≠0),令a1=1,an+1=f(an),又bn=an·an+1,n∈N*.
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)求數(shù)列{bn}的前n項和.
解:(1)證明:an+1=f(an)==,
∴=+,即-=.
∴是首項為1,公差為的等差數(shù)列.
(2)由(1)知是等差數(shù)列,
∴=1+(n-1).整理得an=.
(3
2、)bn=an·an+1=·=a2.
設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,
則Tn=a2
=a2=a2·=.
∴數(shù)列{bn}的前n項和為.
創(chuàng)新題型
1.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)設bn=.證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
2.已知數(shù)列{an}中,a1=5,且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)是否存在實數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.
3.已知等差數(shù)列{an}的首項為a,公差為b,
3、且不等式log2(ax2-3x+6)>2的解集為{x|x<1或x>b}.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和公式Sn;
(2)求數(shù)列的前n項和Tn.
參考答案
1.【解析】 (1)證明:由已知an+1=2an+2n得
bn+1===+1=bn+1.
又b1=a1=1,
因此{bn}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.
(2)由(1)知=n,
即an=n·2n-1,
Sn=1+2·21+3·22+…+n·2n-1,
兩邊同乘以2得2Sn=2+2·22+…+n·2n,
兩式相減得Sn=-1-21-22-…-
4、2n-1+n·2n
=-(2n-1)+n·2n
=(n-1)2n+1.
2【解析】 (1)∵a1=5,
∴a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33.
(2)方法一:假設存在實數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列,
設bn=,由{bn}為等差數(shù)列,則有2b2=b1+b3,
∴2×=+,
∴=+.
解得λ=-1.
事實上,bn+1-bn=-
=[(an+1-2an)+1]=[(2n+1-1)+1]=1.
綜上可知,存在實數(shù)λ=-1,使得數(shù)列為等差數(shù)列.
方法二:假設存在實數(shù)λ,使得為等差數(shù)列.
設bn=,由{bn}為等差數(shù)列,
則有2bn+1=bn+bn+2(n
5、∈N*).
∴2×=+.
∴λ=4an+1-4an-an+2
=2(an+1-2an)-(an+2-2an+1)
=2(2n+1-1)-(2n+2-1)=-1.
綜上可知,存在實數(shù)λ=-1,使得數(shù)列為等差數(shù)列.
3.【解析】 (1)∵不等式log2(ax2-3x+6)>2可轉(zhuǎn)化為ax2-3x+2>0,
所給條件表明:ax2-3x+2>0的解集為{x|x<1或x>b},根據(jù)不等式解集的性質(zhì)可知:
方程ax2-3x+2=0的兩根為x1=1,x2=b.
利用根與系數(shù)的關系不難得出a=1,b=2.
由此知an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n2.