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1、【命中考心】2020高考數(shù)學(xué)必考點之——圓的方程 1
例1 圓上到直線的距離為1的點有幾個？
分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數(shù)計算中尋找解答．
解法一：圓的圓心為，半徑．
設(shè)圓心到直線的距離為，則．
如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意．
又．
∴與直線平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意．
∴符合題意的點共有3個．
解法二：符合題意的點是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點．
設(shè)所求直線為，則，
∴，即，或，也即
，或．
設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則
，．
∴與相切，與圓有
2、一個公共點；與圓相交，與圓有兩個公共點．即符合題意的點共3個．
說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：
設(shè)圓心到直線的距離為，則．
∴圓到距離為1的點有兩個．
顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1．
到一條直線的距離等于定值的點，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點．求直線與圓的公共點個數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷．
典型例題三
例3 求過兩點、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點與圓的關(guān)系．
3、
分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點與圓的位置關(guān)系，只須看點與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點在圓外；若距離等于半徑，則點在圓上；若距離小于半徑，則點在圓內(nèi)．
解法一：（待定系數(shù)法）
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
∵圓心在上，故．
∴圓的方程為．
又∵該圓過、兩點．
∴
解之得：，．
所以所求圓的方程為．
解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）
因為圓過、兩點，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因為，故的斜率為1，又的中點為，故的垂直平分線的方程為：即．
又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為
∴半徑．
故所求圓的方程為．
又點到圓心的
4、距離為
．
∴點在圓外．
說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點與圓的位置關(guān)系，若將點換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？
典型例題四
例4 圓上到直線的距離為的點共有（ ）．
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個點到直線的距離等于，所以選C．
典型例題五
例5 過點作直線，當(dāng)斜率為何值時，直線與圓有公共點，如圖所示．
分析：觀察動畫演示，分析思路．
P
E
5、
O
y
x
解：設(shè)直線的方程為
即
根據(jù)有
整理得
解得
．
典型例題二
例6 已知圓，求過點與圓相切的切線．
解：∵點不在圓上，
∴切線的直線方程可設(shè)為
根據(jù)
∴
解得
所以
即
因為過圓外一點作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為．
說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉的解．
本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）．還可以運用，求出切點坐標(biāo)、的值來解決，此時沒有漏解．
2020高考數(shù)學(xué)必考點 圓的方程1
