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1、第五十講 古典概型與幾何概型
班級(jí)________ 姓名________ 考號(hào)________ 日期________ 得分________
一、選擇題:(本大題共6小題,每小題6分,共36分,將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).)
1.一對(duì)年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲,讓孩子把分別寫有“One”,“World”,“One”,“Dream”的四張卡片隨機(jī)排成一行,若卡片按從左到右的順序排成“One World One Dream”,則孩子會(huì)得到父母的獎(jiǎng)勵(lì),那么孩子受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:試驗(yàn)包含的基本事件的個(gè)數(shù)為12個(gè),故排
2、對(duì)的概率為,選A.
答案:A
2.在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn),則△PBC的面積大于的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:如圖,當(dāng)BM=BA時(shí),△MBC的面積為,而當(dāng)P在M、A之間運(yùn)動(dòng)時(shí),△PBC的面積大于,而MA=AB,則△PBC的面積大于的概率P==.故選C.
答案:C
3.有四個(gè)游戲盤,將它們水平放穩(wěn)后,在上面扔一顆小玻璃球,若小球落在陰影部分,則可中獎(jiǎng),小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì),應(yīng)選擇的游戲盤是( )
解析:各選項(xiàng)中獎(jiǎng)的概率依次為,,,,故選A.
答案:A
4.在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球,這些小球除標(biāo)注
3、數(shù)字外完全相同,現(xiàn)從中隨機(jī)取2個(gè)小球,則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:隨機(jī)從袋子中取2個(gè)小球的基本事件為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共有10種,其中數(shù)字之和為3或6的有(1,2),(1,5),(2,4),∴數(shù)字之和為3或6的概率是P=.
答案:D
5.如圖所示,在邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域.在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為,則陰影區(qū)域的面積為( )
A. B.
C. D.
解析:
4、正方形的面積為4,由=,知陰影區(qū)域的面積為,選B.
答案:B
6.4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張,則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:從4張卡片中隨機(jī)取2張共有6種取法,取得2張卡片上數(shù)字之和為奇數(shù)即{1,2},{1,4},{3,2},{3,4}四種,故其概率為=.故選C.
答案:C
二、填空題:(本大題共4小題,每小題6分,共24分,把正確答案填在題后的橫線上.)
7.甲、乙兩人玩數(shù)字游戲,先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字記為a,再由乙猜甲剛才想的數(shù)字,把乙想的數(shù)字記為b,且a、b∈{1,2,3,4,5
5、,6},若|a-b|≤1,則稱“甲乙心有靈犀”,現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲,得出他們“心有靈犀”的概率為_(kāi)_______.
解析:數(shù)字a,b的所有取法有62=36種,滿足|a-b|≤1的取法有16種,所以其概率為P==.
答案:
8.設(shè)D是半徑為R的圓周上的一定點(diǎn),在圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)C,連接CD得一弦,若A表示“所得弦的長(zhǎng)大于圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”,則P(A)=________.
解析:如圖所示,△DPQ為圓內(nèi)接正三角形,當(dāng)C點(diǎn)位于劣弧上時(shí),弦DC>PD,
∴P(A)=.
答案:
9.任取一個(gè)三位正整數(shù)n,則對(duì)數(shù)log2n是一個(gè)正整數(shù)的概率是________.
解析:∵26
6、=64,27=128,28=256,29=512,210=1024,
∴滿足條件的正整數(shù)只有27,28,29三個(gè),
∴所求的概率是P==.
答案:
10.已知函數(shù)f(x)=2ax2-bx+1,若a是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù),則此函數(shù)在[1,+∞)上遞增的概率為_(kāi)_______.
解析:令t=ax2-bx+1,函數(shù)f(x)在[1,+∞)上遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法,則t=ax2-bx+1須在[1,+∞)上遞增,
∴-≤1,即2a≥b.
由題意得
畫出圖示得陰影部分面積.
∴概率為P==.
答案:
三、解答題:(本大題共3
7、小題,11、12題13分,13題14分,寫出證明過(guò)程或推演步驟.)
11.漢字是世界上最古老的文字之一,字形結(jié)構(gòu)體現(xiàn)著人類追求均衡對(duì)稱、和諧穩(wěn)定的天性.如圖,三個(gè)漢字可以看成是軸對(duì)稱圖形.
(1)請(qǐng)?jiān)賹懗?個(gè)可看成軸對(duì)稱圖形的漢字;
(2)小敏和小慧利用“土”“口”“木”三個(gè)漢字設(shè)計(jì)一個(gè)游戲,規(guī)則如下:將這三個(gè)漢字分別寫在背面都相同的三張卡片上,背面朝上,洗勻后抽出一張,放回洗勻后再抽出一張,若兩次抽出的漢字能構(gòu)成上下結(jié)構(gòu)的漢字(如“土”“土”構(gòu)成“圭”)則小敏獲勝,否則小慧獲勝.你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)φl(shuí)有利?請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法進(jìn)行分析,并寫出構(gòu)成的漢字進(jìn)行說(shuō)明.
解:(1)如:田
8、、日等;
(2)這個(gè)游戲?qū)π』塾欣?
每次游戲時(shí),所有可能出現(xiàn)的如果如下(列表):
第二張卡片
第一張卡片
土
口
木
土
(土,土)
(土,口)
(土,木)
口
(口,土)
(口,口)
(口,木)
木
(木,土)
(木,口)
(木,木)
總共有9種結(jié)果,且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同,其中能組成上下結(jié)構(gòu)的漢字的結(jié)果有4種:(土,土)“圭”,(口,口)“呂”,(木,口)“杏”或“呆”,(口,木)“呆”或“杏”.所以小敏獲勝的概率為,小慧獲勝的概率為.所以這個(gè)游戲?qū)π』塾欣?
12.設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是
9、從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率;
(2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
解:記事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”,
當(dāng)a≥0,b≥0時(shí),方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的充要條件為a≥b.
(1)基本事件共有12個(gè):(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值.
事件A中包含9個(gè)基本事件,事件A發(fā)生的
10、概率為
P(A)==.
(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?
{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.
構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?
{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},
所以所求的概率為
P(A)==.
13.已知集合A={x|-1≤x≤0},集合B={x|ax+b·2x-1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}.
(1)若a,b∈N,求A∩B≠?的概率;
(2)若a,b∈R,求A∩B=?的概率.
解:(1)因?yàn)閍,b∈N,(a,b)可取(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共9組.
令函數(shù)f(x)=ax+b
11、·2x-1,x∈[-1,0],
則f′(x)=a+bln2·2x.
因?yàn)閍∈[0,2],b∈[1,3],所以f′(x)>0,
即f(x)在[-1,0]上是單調(diào)遞增函數(shù).
f(x)在[-1,0]上的最小值為-a+-1.
要使A∩B≠?,只需-a+-1<0,即2a-b+2>0.
所以(a,b)只能取(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共7組.
所以A∩B≠?的概率為.
(2)因?yàn)閍∈[0,2],b∈[1,3],所以(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的正方形(如圖),面積為4.
由(1)可知,要使A∩B=?;
只需f(x)min=-a+-1≥0?2a-b+2≤0,所以滿足A∩B=?的(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域是圖中的陰影部分.
所以S陰影=×1×=,
所以A∩B=?的概率為P==.