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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學應考能力大提升
典型例題
例1 寫出下列函數(shù)作圖過程,然后畫出下列函數(shù)圖像的草圖.
(1) (2) (3) (4)
【解析】(1) 先作出函數(shù)的圖像,再把函數(shù)的圖像向右平移一個單位得到函數(shù)的圖像,最后把函數(shù)的圖像向上平移2個單位得到函數(shù)的圖像。
(2) 然后作出函數(shù)的圖像。
(3)首先作出函數(shù)的圖像,再把函數(shù)的圖像軸上方保持不變,把軸下方的圖像對稱地翻折到軸上方,即得函數(shù)的圖像。
(4)首先作出函數(shù)的圖像,然后把的圖像軸右邊的保持不變,去掉軸左邊的圖像,再把軸右邊的圖像對稱地翻折到軸左邊,即得函數(shù)的圖像,最后把函數(shù)的圖像向左
2、平移一個單位,得到函數(shù)的圖像。
例2 直線與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點,求實數(shù)的取值范圍。
【解析】在同一直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖像,如圖所示,當直線介于AB和CD之間時,直線和函數(shù)的圖像有兩個不同的交點。由于直線CD和半圓相切,所以
因為點,所以 所以實數(shù)的取值范圍為
創(chuàng)新題型
1、已知函數(shù),是否存在實數(shù),使得的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點?
2、已知函數(shù)
(1)若有零點,求的取值范圍;
(2)確定的取值范圍,使得函數(shù)有兩個不同的零點。
3、
答案
1.【解析】函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點,即函數(shù)
的圖象與軸的正半軸有且只有三個不同的交點。
當時,是增函數(shù);
當時,是減函數(shù);
當時,是增函數(shù);
當或時,
當充分接近0時,當充分大時,
要使的圖象與軸正半軸有三個不同的交點,必須且只須
即
所以存在實數(shù),使得函數(shù)與的圖象有且只有三個不同的交點,的取值范圍為
2.【解析】。 (1)方法一 ∵g(x)=x+≥2=2e,
等號成立的條件是x=e. 故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需m≥2e,則g(x)=m就有實根.
方法二 作出g(x)=x+的圖象如圖:
4、
可知若使g(x)=m有實根,則只需m≥2e.
方法三 解方程由g(x)=m,得x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根,故等價于,故m≥2e.
(2)若g(x)-f(x)=0有兩個相異的實根,即g(x)=f(x)中函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點,作出g(x)=x+ (x>0)的圖象.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1
=-(x-e)2+m-1+e2.
其對稱軸為x=e,開口向下,最大值為m-1+e2.
故當m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1時,
g(x)與f(x)有兩個交點,
即g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.
∴m的取值范圍是(-e2+2e+1,+∞).