2020高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)集中營 熱點(diǎn)21 函數(shù)大題 新課標(biāo)

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1、 【兩年真題重溫】 【2020新課標(biāo)全國理，21】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為． (Ⅰ) 求，的值； (Ⅱ) 如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍． 故當(dāng)時(shí)，，可得，與題設(shè)矛盾． （iii）設(shè)，此時(shí)，而，故當(dāng)時(shí)，，得，與題設(shè)矛盾．綜合得，的取值范圍為． 【評注】本題的困難是第二問的不等式問題，通過作差f(x)－＝＋－－后，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q把其變換為，其目的就是為了分01故:當(dāng)時(shí)，，可得； （I）時(shí)，，. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)遞增. 【命題意圖猜想】 從近幾年的高考試題來看，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題已成為炙手可熱的考點(diǎn)，既有小題，也有解答

2、題，小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，解答題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，或方程、不等式的綜合應(yīng)用．預(yù)測2020年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值為主要考向． 【回歸課本整合】 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當(dāng)自變量在處有增量時(shí)，則函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時(shí)，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即. 注意：在定義式中，設(shè)，則，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成 . 6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且 或 7.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

3、函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù),該區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間；若，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，該區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間. 2.利用導(dǎo)數(shù)研究多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟: 求;確定在內(nèi)符號; 若在上恒成立，則在上是增函數(shù)；若在上恒成立，則在上是減函數(shù) 注意：在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值； 函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的． 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件． 函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一

4、個(gè)，也可能沒有一個(gè). 10.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟: 由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最大值與最小值的步驟如下： 求在內(nèi)的極值； 將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值p 【方法技巧提煉】 y－y=f,再根據(jù)題意求出切點(diǎn). 例1 已知曲線C：，則經(jīng)過點(diǎn)的曲線C的切線方程是 . 解析：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）的直線與曲線C相切于點(diǎn)，則由， 得在點(diǎn)處的斜率， 有在點(diǎn)處的切線的方程為. 又因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)P（1，2）均在曲線C上， 有，消去得， 解得

5、或，于是或， 所以所求切線方程為或. 點(diǎn)評：此題常見的錯解：由，得， 所以所求的切線方程為，即. 錯因是此處所求的切線只說經(jīng)過P點(diǎn)，而沒說P點(diǎn)一定是切點(diǎn)，于是切線的斜率與不一定相等.比如（如圖）當(dāng)時(shí)，正弦曲線在點(diǎn)P處的切線只有一條：；而經(jīng)過點(diǎn)P的切線卻有兩條：與. 【名師點(diǎn)評】　本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值及單調(diào)性問題，考生失誤在于：一是求導(dǎo)后不會因式分解成積的形式，二是由(*)式確定a的范圍不會或忽略分類討論． 3.利用導(dǎo)數(shù)，如何解決函數(shù)與不等式大題 在高考題的大題中，每年都要設(shè)計(jì)一道函數(shù)大題. 在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況，基本的題目類型是研究在

6、一個(gè)區(qū)間上恒成立的不等式(實(shí)際上就是證明這個(gè)不等式)，研究不等式在一個(gè)區(qū)間上成立時(shí)不等式的某個(gè)參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個(gè)區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)等，這些問題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識已經(jīng)無能為力，就需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行解決．使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點(diǎn)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實(shí)根的個(gè)數(shù)．因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的引入，為函數(shù)問題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚，但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時(shí)，往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結(jié)合點(diǎn)，不清楚解決技巧.解題技巧總結(jié)

7、如下 （1） 當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，，在 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在處取得極大值. 由于所以，解得即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)恒成立.綜上，所求的值為1. (Ⅱ) 等價(jià)于 下面證明這個(gè)不等式成立. 由(Ⅰ)可知.則 【點(diǎn)評】第一問利用分類討論思想，關(guān)鍵在于對的討論；借助第一問的結(jié)論，為第二問證明不等式提供服務(wù)，通過恒成立，得到不等式，是解決問題的關(guān)鍵.所以同學(xué)們必須清楚出題者的命題思路，樹立第一問為第二問的服務(wù)意識. 【新題預(yù)測演練】 1.【2020年河北省普通高考模擬考試】 （理）已知函數(shù)． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程； （Ⅱ）函數(shù)是否存在零點(diǎn)．若存在，求出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

8、若不存在，說明理由． （Ⅰ），，． 當(dāng)時(shí)，．又． ………..2分 則在處的切線方程為． ………..4分 （Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)椋? 【解析】： （Ⅰ），，． 當(dāng)時(shí)，．又． ………..2分 所以在處的切線方程為． ………..4分 （Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，，所以． 即在區(qū)間上沒有實(shí)數(shù)根． ………..6分 當(dāng)時(shí)，， 所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)

9、處的切線方程為 即． ………………………… ……………… 2分 （II） =， ∵，∴ 只需討論的符號． ……………… 4分 ?。┊?dāng)＞2時(shí)，＞0，這時(shí)＞0，所以函數(shù)在（－∞，+∞）上為增函數(shù)． ⅱ）當(dāng)= 2時(shí)，≥0，函數(shù)在（－∞，+∞）上為增函數(shù)． ……………… 6分 ⅲ）當(dāng)0＜＜2時(shí)，令= 0，解得，． 當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表： + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴在，為增函數(shù)，在為 減函數(shù)……………… 8分

10、 由得得 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.………………4分 （II）若對任意， 使得恒成立， 則時(shí)，恒成立， 3.【河南省2020年普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測試】 （理）設(shè)函數(shù) （1）若x=1是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍。 （2）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求正數(shù)的值。 解： （Ⅰ）的定義域?yàn)椋? ，由=0，得. ∴.…………………………………………2分 ①若a≥

11、0，由=0，得x=1. 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減. 是增函數(shù)，所以至多有一解． 因?yàn)椋苑匠蹋?）的解為， 代入方程組解得．…………………………………………………………………12分 （文）設(shè)函數(shù) （1）已知在點(diǎn)處的切線方程是求實(shí)數(shù)a，b的值。 （2）若方程有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的值。 因?yàn)椋苑匠蹋?）的解為 代入方程組解得．…………………………………………………………………12分 4. 【河南省鄭州市2020屆高三第二次質(zhì)量預(yù)測】 已知函數(shù). (I)當(dāng)時(shí)，求在上的最大值和最小值 (II)若函數(shù)在[1, e]上為增函數(shù)，求

12、正實(shí)數(shù)a的取值范圍. 21. 解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，， 則 ∴g(x)在上單調(diào)遞減，即g(x)

13、 2分 6.【北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)】 （理）設(shè)函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間. 解：因?yàn)樗? （Ⅰ）當(dāng)時(shí), ,, 所以 . 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為. ……………4分 由得,或. 所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是和, 單調(diào)遞增區(qū)間. ……………12分 ④當(dāng)時(shí), 此時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是. …

14、………13分 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ，， 作差可知， 則當(dāng)時(shí)，，，在上為單調(diào)減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，， 在上為單調(diào)增函數(shù)； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)且僅當(dāng)a∈(0，)時(shí)，f(x)有極小值點(diǎn)x1和極大值點(diǎn)x2， 且x1＋x2＝，x1x2＝． f(x1)＋f(x2)＝－lnx1－ax＋x1－lnx2－ax＋x2 ＝－(lnx1＋lnx2)－(x1－1)－(x2－1)＋(x1＋x2) ＝－ln(x1x2)＋(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋＋1． …9分 令g(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]， 則當(dāng)a∈(0，)時(shí)，g￠(a)＝－＝＜0，g(a)在(0，)單調(diào)遞減

15、， 所以g(a)＞g()＝3－2ln2，即f(x1)＋f(x2)＞3－2ln2． …12分 8.【唐山市2020學(xué)年度高三年級第一次模擬考試】 （理）設(shè)函數(shù) (I )討論f(x)的單調(diào)性； (II) ( i )若證明：當(dāng)x>6 時(shí)， (ii)若方程f(x)=a有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍. 解： （Ⅰ）f￠(x)＝－e－x[x2－(a＋2)x＋2a]＝－e－x(x－2)(x－a)． …1分 （1）若a＝2，則f￠(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減． …2分 （2）若0≤a＜2，當(dāng)x變化時(shí)，f￠(x)、f(x)的變化如下表： x

16、 (－∞，a) a (a，2) 2 (2，＋∞) f￠(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值ae－a ↗ 極大值(4－a)e－2 ↘ 此時(shí)f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)單調(diào)遞減，在(a，2)單調(diào)遞增． …3分 （3）若a＞2，當(dāng)x變化時(shí)，f￠(x)、f(x)的變化如下表： x (－∞，2) 2 (2，a) a (a，＋∞) f￠(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值(4－a)e－2 ↗ 極大值ae－a ↘ 此時(shí)f(x)在(－∞，2)和(a，＋∞)單調(diào)遞減，在(2，a)單調(diào)遞增． …4分

17、 (II )討論的單調(diào)性. 【命題分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何含義和函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生利用求導(dǎo)研究函數(shù)性質(zhì)的解題能力和分類討論思想的應(yīng)用。第一問利用導(dǎo)數(shù)的幾何含義確定直線的斜率進(jìn)行求解；第二問利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意對產(chǎn)生a的討論。 解： （Ⅰ）當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝，f￠(x)＝－， f(1)＝，f￠(1)＝， 曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝(x－1)＋，即y＝x． …4分 （Ⅱ）f￠(x)＝＝－． …5分 （1）若a＝2，則f￠(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減． …7分 （2）若a＜2，則 當(dāng)x∈(－∞，a)或x∈

18、(2，＋∞)時(shí)，f￠(x)＜0，當(dāng)x∈(a，2)時(shí)，f￠(x)＞0， 此時(shí)f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)單調(diào)遞減，在(a，2)單調(diào)遞增． （3）若a＞2，則 當(dāng)x∈(－∞，2)或x∈(a，＋∞)時(shí)，f￠(x)＜0，當(dāng)x∈(2，a)時(shí)，f￠(x)＞0， 此時(shí)f(x)在(－∞，2)和(a，＋∞)單調(diào)遞減，在(2，a)單調(diào)遞增． …12分 9. 【2020年河南鄭州高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測】 理設(shè)函數(shù). 綜上所述，實(shí)數(shù)p的取值范圍為. …………12分 （文）設(shè)函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 10. 【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】 （理）

19、已知函數(shù)，∈R． (I)討論函數(shù)的單調(diào)性； (Ⅱ)當(dāng)時(shí)，≤恒成立，求的取值范圍． 解：(Ⅰ)的定義域?yàn)椋? 若則在上單調(diào)遞增，……………2分 若則由得，當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.……………4分 (Ⅱ), （文）已知函數(shù)，∈R． (I)討論函數(shù)的單調(diào)性； (Ⅱ)當(dāng)時(shí)，≤恒成立，求的取值范圍． 解：(Ⅰ)的定義域?yàn)椋? 若則在上單調(diào)遞增，……………2分 若則由得，當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增

20、，在單調(diào)遞減.……………4分 (Ⅱ), 11. 【北京市朝陽區(qū)2020學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試】 （理）已知函數(shù)（，為正實(shí)數(shù)）. （Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）若函數(shù)的最小值為，求的取值范圍. 解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，， 則. ………………………………………………… 2分 所以.又，因此所求的切線方程為. ………… 4分 （Ⅱ）. ………………………… 5分 （1）當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增. ………………………………………………………………… 6分 （文）設(shè)函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時(shí),試求函數(shù)在區(qū)間上的最大值

21、; （Ⅱ）當(dāng)時(shí),試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解: （Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)? ………………………………………1分 當(dāng)時(shí), ，因?yàn)椋? …3分 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值 . ……………………………………………………………5分 12. 【北京市東城區(qū)2020學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末檢測】 （理）已知函數(shù)，其中． 由于 ，可設(shè)方程①的兩個(gè)根為，， 由①得， （文）已知函數(shù). （Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，. ，．

22、 ………3分 所以所求切線方程為即． ……5分 （Ⅱ）. 令，得. ………7分 由于，，的變化情況如下表： + 0 — 0 + 單調(diào)增 極大值 單調(diào)減 極小值 單調(diào)增 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和. …………9分 要使在區(qū)間上單調(diào)遞增， 應(yīng)有 ≤ 或 ≥， 解得≤或≥． …………11分 又 且，

23、 …………12分 所以 ≤． 即實(shí)數(shù)的取值范圍 ． …………13分 13. 【保定市2020學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試】 （3）①當(dāng)時(shí) 法一：因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以其最小值為，而函數(shù)在的所以，下面判斷的關(guān)系，即判斷的關(guān)系， 令 單調(diào)遞增 使得 上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增……………………………..10分 所以 即也即 所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..12分 令，則 在單調(diào)遞增…

24、………………………….10分 ，即的最大值為0………………………….12分 14. 【河北省石家莊市2020屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(一)】 （理）已知函數(shù)． (I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 也可得證命題成立．………………10分 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有 對任意， ．…………12分 （文）已知函數(shù) (I)設(shè)=-1，求函數(shù)的極值； (II)在(I)的條件下，若函數(shù)(其中為的導(dǎo) 數(shù))在區(qū)間(1，3)上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（Ⅰ）當(dāng)， ， ，………………2分 的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）,單調(diào)遞增區(qū)間為

25、（, ………4分 （Ⅱ） 令 又 令解得 （文）已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； 16. 【山東省萊蕪市2020屆高三上學(xué)期期末檢測】 已知函數(shù)，（K常數(shù)） （1） 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； （2） 若恒成立，求K的取值范圍。 解析：（1）由可得， …………1分 ∵的定義域?yàn)椋?，+）， ∴當(dāng)時(shí)，，在（0，+）是增函數(shù)?！?分 當(dāng)k>0時(shí)，由可得， 解析：（1）由可得， ……………………1分 ∵的定義域?yàn)椋?，+）， ∴當(dāng)時(shí)，，在（0，+）是增函數(shù)?！?分 當(dāng)k>0時(shí)，由可得， ∴f(x)在（0，）是增函數(shù)，在（，+）是減函數(shù)?！?分 綜上，當(dāng)時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是（0，+）； 當(dāng)K>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是（0，），單調(diào)減區(qū)間是（，+）.……8分 （2） 由恒成立，可得恒成立，. 即，∴恒成立。 ………………………10分 ∵ ∵ ………………………11分 17.【山東省青島市2020屆高三期末檢測】 （Ⅰ）如果函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍； 解得 ……………………………12分