2020高考數(shù)學總復習 第九講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 新人教版

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1、第九講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 班級________　姓名________　考號________　日期________　得分________ 一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內．) 1．(精選考題·番禺質檢)下列結論中正確的個數(shù)是(　　) ①當a<0時，(a2)＝a3；②＝|a|；③函數(shù)y＝(x－2)－(3x－7)0的定義域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，則2a＋b＝1. A．0　　　　　　　　B．1 C．2 D．3 解析：根據(jù)指數(shù)冪的運算性質對每個結論逐一進行判斷．①中，當a<0時，(a2)>0，a3<0，所以(

2、a2)≠a3；②中，當n為奇數(shù)時，＝a；③中，函數(shù)的定義域應為∪；④中，由已知可得2a＋b＝lg5＋lg2＝lg10＝1，所以只有④正確，選B. 答案：B 2．()4·()4(a≥0)的化簡結果是(　　) A．a16 B．a8 C．a4 D．a2 解析：原式＝()4·()4＝a4，選C. 答案：C 3．若函數(shù)y＝(a2－5a＋5)·ax是指數(shù)函數(shù)，則有(　　) A．a＝1或a＝4 B．a＝1 C．a＝4 D．a>0，且a≠1 解析：因為“一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)”，所以函數(shù)y＝(a2－5a＋5)·ax是指數(shù)函數(shù)的充要條件為解得a＝4，故選

3、C. 答案：C 評析：解答指數(shù)函數(shù)概念問題時要抓住指數(shù)函數(shù)解析式的特征：(1)指數(shù)里面只有x，且次數(shù)為1，不能為x2，等；(2)指數(shù)式ax的系數(shù)為1，但要注意有些函數(shù)表面上看不具有指數(shù)函數(shù)解析式的形式，但可以經過運算轉化為指數(shù)函數(shù)的標準形式． 4．在平面直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝2x＋1與g(x)＝21－x圖象關于(　　) A．原點對稱 B．x軸對稱 C．y軸對稱 D．直線y＝x對稱 解析：y＝2x左移一個單位得y＝2x＋1，y＝2－x右移一個單位得y＝21－x，而y＝2x與y＝2－x關于y軸對稱． ∴f(x)與g(x)關于y軸對稱． 答案：C 5．若函數(shù)f(x)＝a|

4、2x－4|(a>0，a≠1)，滿足f(1)＝，則f(x)的單調遞減區(qū)間是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：由f(1)＝得a2＝， ∴a＝(a＝－舍去)， 即f(x)＝|2x－4|. 由于y＝|2x－4|在(－∞，2)上遞減，在(2，＋∞)上遞增，所以f(x)在(－∞，2)上遞增，在(2，＋∞)上遞減．故選B. 答案：B 6．已知函數(shù)f(x)＝x－log2x，實數(shù)a、b、c滿足f(a)f(b)f(c)<0(0

5、 B．x0>b C．x0c 解析：如圖所示，方程f(x)＝0的解即為函數(shù)y＝x與y＝log2x的圖象交點的橫坐標x0.由實數(shù)x0是方程f(x)＝0的一個解，若x0>c>b>a>0，則f(a)>0，f(b)>0，f(c)>0， 與已知f(a)f(b)f(c)<0矛盾，所以，x0>c不可能成立，故選D. 答案：D 二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．) 7．已知不論a為何正實數(shù)，y＝ax＋1－2的圖象恒過定點，則這個定點的坐標是________． 解析：因為指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象恒過定點(0,1)．而

6、函數(shù)y＝ax＋1－2的圖象可由y＝ax(a>0，a≠1)的圖象向左平移1個單位后，再向下平移2個單位而得到，于是，定點(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函數(shù)y＝ax＋1－2的圖象恒過定點(－1，－1)． 答案：(－1，－1) 8．函數(shù)y＝()x－3x在區(qū)間[－1,1]上的最大值為________． 答案： 9．定義：區(qū)間[x1，x2](x1

7、最小值時[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此區(qū)間[a，b]的長度的最大值與最小值的差為1. 答案：1 10．(精選考題·湖南師大附中期中)設f(x)＝，g(x)＝，計算f(1)g(3)＋g(1)f(3)－g(4)＝________，f(3)g(2)＋g(3)f(2)－g(5)＝________，并由此概括出關于函數(shù)f(x)和g(x)的一個等式，使上面的兩個等式是你寫出的等式的特例，這個等式是________． 答案：0　0　f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝0 三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．) 11．已

8、知函數(shù)f(x)＝b·ax(其中a，b為常量且a>0，a≠1)的圖象經過點A(1,6)，B(3,24)． (1)試確定f(x)； (2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)∵f(x)＝b·ax的圖象過點A(1,6)，B(3,24) ∴ ②÷①得a2＝4， 又a>0，且a≠1，∴a＝2，b＝3， ∴f(x)＝3·2x. (2)x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立化為m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立． 令g(x)＝x＋x，g(x)在(－∞，1]上單調遞減， ∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝， 故所求實數(shù)m的取值范圍是. 12．

9、已知函數(shù)f(x)＝ax2－4x＋3. (1)若a＝－1，求f(x)的單調區(qū)間； (2)若f(x)有最大值3，求a的值． (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的取值范圍． 分析：函數(shù)f(x)是由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復合而成的，因此可通過復合函數(shù)單調性法則求單調區(qū)間，研究函數(shù)的最值問題． 解：(1)當a＝－1時，f(x)＝－x2－4x＋3， 令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上單調遞增，在(－2，＋∞)上單調遞減， 而y＝t在R上單調遞減， 所以f(x)在(－∞，－2)上單調遞減，在(－2，＋∞)上單調遞增， 即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(－2，＋∞

10、)，遞減區(qū)間是(－∞，－2)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)應有最小值－1，因此必有 ，解得a＝1. 即當f(x)有最大值3時，a的值等于1. (3)由指數(shù)函數(shù)的性質知，要使y＝h(x)的值域為(0，＋∞)．應使h(x)＝ax2－4x＋3的值域為R，因此只能有a＝0.因為若a≠0，則h(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R.故a的取值范圍是a＝0. 評析：求解與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調性等相關性質，其次要明確復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析

11、判斷，最終將問題歸納為內層函數(shù)相關的問題加以解決． 13．已知函數(shù)f(x)＝2x－. (1)若f(x)＝2，求x的值； (2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)當x<0時，f(x)＝0； 當x≥0時，f(x)＝2x－. 由條件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0， 解得2x＝1±. ∵2x>0，∴x＝log2(1＋)． (2)當t∈[1,2]時，2t＋m≥0， 即m(22t－1)≥－(24t－1)． ∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)． ∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]， 故m的取值范圍是[－5，＋∞)．