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1、等差數(shù)列與等比數(shù)列測(cè)試題
1.在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73.
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）對(duì)任意m∈N﹡，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間（9m，92m）內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm。
2.已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為105，且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)對(duì)任意，將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為.求數(shù)列的前m項(xiàng)和.
3、設(shè)是等差數(shù)列，，已知，，
求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。
4、設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知,為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求。
5、設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，其
2、中是常數(shù)．
（I） 求及；
（II）若對(duì)于任意的，，，成等比數(shù)列，求的值．
6、設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 數(shù)列定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前2m項(xiàng)和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
7、等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.
（1）求r的值；
（11）當(dāng)b=2時(shí)，記 求數(shù)列的前項(xiàng)和
8、已知是公差為d
3、的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列
（1）若 ，是否存在，有？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若（a、q為常數(shù)，且aq0）對(duì)任意m存在k，有，試求a、q滿足的充要條件；
（3）若試確定所有的p,使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明.
參考答案
1. （Ⅰ）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，由a3+a4+a5= 得設(shè)數(shù)列的公差為d，由a9=73，得，，于是，即.
（Ⅱ）對(duì)任意m∈N﹡，，則，
即，而，由題意可知，
于是
，
即.
2. 解：(I)設(shè)數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，則由得： 解得,
所以通項(xiàng)公式為.
(II) 任意，若，則，即.
∵，∴是首項(xiàng)為7，公比為49的等比數(shù)列，
4、
∴.
3、解：∵ {an}為等差數(shù)列 ∴ {bn}為等比數(shù)列 ∵ b1b3=b22
∴ b23= ∴ b2=
∴ ∴ 或
∴ 或
∵ ∴
∴ an=2n-3 或 an=-2n+5
4、解：法一：利用基本元素分析法
設(shè){an}首項(xiàng)為a1，公差為d，則 ∴
∴ ∴ 此式為n的一次函數(shù)
∴ {}為等差數(shù)列 ∴
法二：{an}為等差數(shù)列，設(shè)Sn=An2+Bn
∴
5、 解之得：
∴ ，下略
5、解：（Ⅰ）當(dāng)，
（）
經(jīng)驗(yàn)，（）式成立，
（Ⅱ）成等比數(shù)列，，
即，整理得：，
對(duì)任意的成立，
6、解：（Ⅰ）由題意，得，解，得.
∴成立的所有n中的最小整數(shù)為7，即.
（Ⅱ）由題意，得，對(duì)于正整數(shù)，由，得.
根據(jù)的定義可知
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
∴
.
（Ⅲ）假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式及得.
∵,根據(jù)的定義可知，對(duì)于任意的正整數(shù)m 都有
，即對(duì)任意的正整數(shù)m都成立.
當(dāng)（或）時(shí)，得（或），
這與上述結(jié)論矛盾！
當(dāng)，即時(shí)，得，
6、解得.
∴ 存在p和q，使得；
p和q的取值范圍分別是，.
7、解：因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
又因?yàn)閧}為等比數(shù)列, 所以, 公比為, 所以
（2）當(dāng)b=2時(shí)，,
則
相減,得
所以
因此
8、解：（1）由得，
整理后，可得
、，為整數(shù)
不存在、，使等式成立。
（2）當(dāng)時(shí)，則
即，其中是大于等于的整數(shù)
反之當(dāng)時(shí)，其中是大于等于的整數(shù)，則，
顯然，其中
、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數(shù)
（3）設(shè)
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，式不成立。
由式得，整理得
當(dāng)時(shí)，符合題意。
當(dāng)，為奇數(shù)時(shí)，
由，得
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)，一定有和使上式一定成立。
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，命題都成立。
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