2020高中數(shù)學(xué) 第3章章未綜合檢測 湘教版選修1-1

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1、章末綜合檢測 (時(shí)間：120分鐘；滿分：150分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．下列各式正確的是(　　) A．(sinα)′＝cosα(α為常數(shù))　　 B．(cosx)′＝sinx C．(sinx)′＝cosx D．(x－5)′＝－x－6 解析：選C.由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則易得，注意A選項(xiàng)中的α為常數(shù)，所以(sinα)′＝0. 2．與曲線y＝x2相切于P(e，e)處的切線方程是(其中e是自然對(duì)數(shù)的底)(　　) A．y＝ex－2 B．y＝ex＋2 C．y＝2x＋e D．y＝2x－e 解析：

2、選D.∵y′＝(x2)′＝x， 故曲線在P(e，e)處切線斜率 k＝f′(e)＝2， ∴切線方程為y－e＝2(x－e)， 即y＝2x－e. 3．(2020年青州高二檢測)設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝(　　) A．e2 B．ln2 C. D．e 解析：選D.f′(x)＝x·(lnx)′＋(x)′·lnx＝1＋lnx. ∴f′(x0)＝1＋1nx0＝2，∴l(xiāng)nx0＝1，∴x0＝e. 4．函數(shù)y＝4x2＋的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，1) C．(，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：選C.∵y′＝8x－＝>0，∴x

3、>. 即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，＋∞)． 5．若甲的運(yùn)動(dòng)方程為s1(t)＝et－1，乙的運(yùn)動(dòng)方程為s2(t)＝et，則當(dāng)甲、乙的瞬時(shí)速度相等時(shí)，t的值等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選A.需先求甲、乙的瞬時(shí)速度，即先求s1(t)、s2(t)的導(dǎo)數(shù)，s1′(t)＝et，s2′(t)＝e，即et＝e，∴t＝1. 6. 已知函數(shù)y＝f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)(　　) A．在(－∞，0)上為減函數(shù) B．在x＝0處取極小值 C．在(4，＋∞)上為減函數(shù) D．在x＝2處取極大值 解析：選C.在(－∞，0)上，f′(

4、x)>0，故f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，A錯(cuò)；在x＝0處，導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)，f(x)由增變減，故在x＝0處取極大值，B錯(cuò)；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，C對(duì)；在x＝2處取極小值，D錯(cuò)． 7．已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3在區(qū)間[a,2]上的最大值為，則a等于(　　) A．－ B. C．－ D.或－ 解析：選C.y′＝－2x－2，令y′＝0，解得x＝－1或x＝0.當(dāng)a≤－1時(shí)，最大值為4，不符合題意，當(dāng)－1

5、＋b切于點(diǎn)(1,3)，則b的值為(　　) A．3 B．－3 C．5 D．－5 解析：選A.點(diǎn)(1,3)在直線y＝kx＋1上，∴k＝2. ∴2＝f′(1)＝3×12＋a?a＝－1，∴f(x)＝x3－x＋b. ∵點(diǎn)(1,3)在曲線上，∴b＝3. 9．如圖所示是函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致圖象，則x＋x等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C.函數(shù)f(x)＝(x＋1)·x·(x－2)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2. x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2 ＝()2－2×(－)＝. 10．把一個(gè)周長為12 cm的長方形圍

6、成一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱底面周長與高的比為(　　) A．1∶2 B．1∶π C．2∶1 D．2∶π 解析：選C.設(shè)圓柱高為x，底面半徑為r， 則r＝，圓柱體積V＝π2·x ＝(x3－12x2＋36x)(00；當(dāng)0

7、x>2時(shí)，f′(x)>0.故當(dāng)x＝2時(shí)取得極小值． 答案：2 12．當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，x3－x2－2xf(x)max，x∈[－1,2]， 由f′(x)＝3x2－x－2＝0得x＝1或－. ∵f(1)＝－，f(－)＝， f(－1)＝，f(2)＝2. ∴f(x)max＝f(2)＝2.故m>2. 答案：m>2 13．電動(dòng)自行車的耗電量y與速度x之間有如下關(guān)系：y＝x3－x2－40x(x>0)，為使耗電量最小，則速度應(yīng)定為_____

8、___． 解析：由y′＝x2－39x－40＝0， 得x＝－1(舍去)或x＝40. 當(dāng)040時(shí)，y′>0， 所以當(dāng)x＝40時(shí)，y有最小值． 答案：40 14．曲線y＝x3在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸、直線x＝2所圍成的三角形的面積為________．解析： y＝x3在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝f′(1)(x－1)， 即y＝3x－2. 作圖可知 S△ABC＝|AB|·|BC| ＝×(2－)×4＝. 答案： 15．如果函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷： ①函數(shù)y＝f(x)在(－3，－)內(nèi)單調(diào)遞增； ②函數(shù)

9、y＝f(x)在區(qū)間(－，3)內(nèi)單調(diào)遞減； ③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增； ④當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極小值； ⑤當(dāng)x＝－時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極大值． 則上述判斷中正確的是________． 解析：函數(shù)的單調(diào)性由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定，當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，－2)上為減函數(shù)，同理f(x)在(2,4)上為減函數(shù)，f(x)在(－2,2)上是增函數(shù)，在(4，＋∞)上是增函數(shù)，∴可排除①和②，可選擇③. 由于在x＝－的左右兩側(cè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是正數(shù)， 故函數(shù)在x＝－的左右兩側(cè)均為增函數(shù)， ∴x＝－不是函數(shù)的極值點(diǎn)，排除⑤，④中x＝2為

10、極大值點(diǎn)． 答案：③ 三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在(1,2)處的切線方程． 解：(1)f′(x)＝2ax－a. 由已知得 解得 ∴f(x)＝x2－2x＋. (2)函數(shù)f(x)在(1,2)處的切線方程為y－2＝x－1， 即x－y＋1＝0. 17．(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求： (1)實(shí)數(shù)a的值； (2)f(x)在

11、區(qū)間[－1,3]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f(x)在x＝2處有極值，∴f′(2)＝0. ∵f′(x)＝3x2＋2ax， ∴3×4＋4a＝0，∴a＝－3. (2)由(1)知a＝－3，∴f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2. 當(dāng)x變化時(shí)f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －2  2  －2  2 從上表可知f(x)在區(qū)間[－1,3]上的最大值是2，最小值

12、是－2. 18．(本小題滿分13分)已知f(x)＝x3－4x＋4，x∈[－3,6)， (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求f(x)的極值與最值． 解：(1)f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)， 令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2， 列表： x (－3，－2) (－2,2) (2,6) f′(x) ＋ － ＋ f(x)    由上表知：f(x)在(－3，－2)，(2,6)上遞增；在(－2,2)上遞減． (2)由(1)知：f(x)的極大值是： f(－2)＝， f(x)的極小值是：f(2)＝－； f(－3)＝7>－＝f(2)，

13、 f(－2)＝

14、′＝0，即6＝0， 解得x1＝－2，x2＝1. 當(dāng)x∈時(shí)，f′>0， 故f在上為增函數(shù)； 當(dāng)x∈時(shí)，f′<0， 故f在上為減函數(shù)； 當(dāng)x∈時(shí)，f′>0， 故f在上為增函數(shù)． 從而函數(shù)f在x1＝－2處取得極大值f＝21，在x2＝1處取得極小值f＝－6. 20．(本小題滿分12分)2020年第26屆大運(yùn)會(huì)期間某分公司大批生產(chǎn)了大運(yùn)會(huì)吉祥物快樂因子“UU”．若每件商品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費(fèi)，當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9≤x≤11)時(shí)，這一年的銷售量為(12－x)2萬件． (1)求分公司這一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

15、 (2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司這一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q(a)． 解：(1)由題意，知分公司這一年的利潤L(萬元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]． (2)L′＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x) ＝(12－x)(18＋2a－3x)． 令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(舍去)． ∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤. ∵在x＝6＋a兩側(cè)L′的值由正變負(fù)， ∴當(dāng)8≤6＋a<9， 即3≤a<時(shí)，L在x＝9處取得最大值， Lmax＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)； 當(dāng)9≤6＋a≤， 即≤a≤5時(shí)，L

16、在x＝6＋a處取得最大值， Lmax＝4(3－a)3； 故若3≤a<，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司這一年的利潤L最大，最大值為Q(a)＝9(6－a)萬元； 若≤a≤5，則當(dāng)每件售價(jià)為(6＋a)元時(shí)，分公司這一年的利潤L最大，最大值為Q(a)＝4(3－a)3萬元． 21．(本小題滿分12分)(2020年高考安徽卷)設(shè)f(x)＝，其中a為正實(shí)數(shù)． (1)當(dāng)a＝時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn)； (2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍． 解：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝ex.① (1)當(dāng)a＝時(shí)，若f′(x)＝0，則4x2－8x＋3＝0， 解得x1＝，x2＝.結(jié)合①，可知 x f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以x1＝是極小值點(diǎn)，x2＝是極大值點(diǎn)． (2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′(x)在R上不變號(hào)，結(jié)合①與條件a>0，知1＋ax2－2ax≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并結(jié)合a>0，知0