2011年成人高考小抄(專升本串講)成考筆記 高等數學二 高數二 2011年

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1、嚴格依據大綱編寫： 《2011年成人高考專升本高等數學二考試大綱》 筆記目錄 第一章極限和連續(xù) 第一節(jié)極限 [復習考試要求] 1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。 2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。 3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。 4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。 第二節(jié)函數的連續(xù)性 [復習考試要求] 1.理解函數在一點處連

2、續(xù)與間斷的概念，理解函數在一點處連續(xù)與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續(xù)性的方法。 2.會求函數的間斷點。 3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質會用它們證明一些簡單命題。 4.理解初等函數在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數連續(xù)性求極限。 第二章一元函數微分學 第一節(jié)導數與微分 [復習考試要求] 1.理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。 2.會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。 3.熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。 4.掌握隱函數的求導法與對數求導法。會求分段函數的導數。

3、5.了解高階導數的概念。會求簡單函數的高階導數。 6.理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導的關系，會求函數的一階微分。 第二節(jié)導數的應用 [復習考試要求] 1.熟練掌握用洛必達法則求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的極限的方法。 2.掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區(qū)間的方法。會利用函數的單調性證明簡單的不等式。 3.理解函數極值的概念，掌握求函數的駐點、極值點、極值、最大值與最小值的方法，會解簡單的應用題。 4.會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。 5.會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線 第三章一元函數積分學 第一節(jié)不定積分 [復習考試要求]

4、1.理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質。 2.熟練掌握不定積分的基本公式。 3.熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡單的根式代換）。 4.熟練掌握不定積分的分部積分法。 5.掌握簡單有理函數不定積分的計算。 第二節(jié)定積分及其應用 [復習考試要求] 1.理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數可積的條件 2.掌握定積分的基本性質 3.理解變上限積分是變上限的函數，掌握對變上限積分求導數的方法。 4.熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。 5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。 6.理解無窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。 7.掌握

5、直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體的體積。 第四章多元函數微分學 [復習考試要求] 1.了解多元函數的概念，會求二元函數的定義域。了解二元函數的幾何意義。 2.了解二元函數的極限與連續(xù)的概念。 3.理解二元函數一階偏導數和全微分的概念，掌握二元函數的一階偏導數的求法。掌握二元函數的二階偏導數的求法，掌握二元函數的全微分的求法。 4.掌握復合函數與隱函數的一階偏導數的求法。 5.會求二元函數的無條件極值和條件極值。 6.會用二元函數的無條件極值及條件極值解簡單的實際問題。如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 838

6、1 6366聯系 第五章概率論初步 [復習考試要求] 1.了解隨機現象、隨機試驗的基本特點；理解基本事件、樣本空間、隨機事件的概念。 2.掌握事件之間的關系：包含關系、相等關系、互不相容關系及對立關系。 3.理解事件之間并（和）、交（積）、差運算的意義，掌握其運算規(guī)律。 4.理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質及事件概率的計算。 5.會求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。 6.了解隨機變量的概念及其分布函數。 7.理解離散性隨機變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計算方法。 8.會求離散性隨機變量的數學期望、方差和標準差。 第一章極

7、限和連續(xù) 第一節(jié)極限 [復習考試要求] 1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。 2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。 3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。 4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。 [主要知識內容] （一）數列的極限 1.數列 定義按一定順序排列的無窮多個數 稱為無窮數列，簡稱數列，記作{xn}，數列中每一個數稱為數列的項，如需精

8、美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 第n項xn為數列的一般項或通項，例如 （1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差數列） （2）（等比數列） （3）（遞增數列） （4）1，0，1，0，…，…（震蕩數列） 都是數列。它們的一般項分別為 （2n-1）,。 對于每一個正整數n，都有一個xn與之對應，所以說數列{xn}可看作自變量n的函數xn=f（n），它的定義域是全體正整數，當自變量n依次取1,2,3…一切正整數時，對應的函數值就排列成數列。 在幾何上，數列{xn}可看作數軸上的一個動點，它依次取數軸上的點x1,x2,x3,...xn,…。

9、 2.數列的極限 定義對于數列{xn}，如果當n→∞時，xn無限地趨于一個確定的常數A，則稱當n趨于無窮大時，數列{xn}以常數A為極限，或稱數列收斂于A，記作 比如： 無限的趨向0 ，無限的趨向1 否則，對于數列{xn}，如果當n→∞時，xn不是無限地趨于一個確定的常數，稱數列{xn}沒有極限，如果數列沒有極限，就稱數列是發(fā)散的。 比如：1，3，5，…，（2n-1），… 1，0，1，0，… 數列極限的幾何意義：將常數A及數列的項依次用數軸上的點表示，若數列{xn}以A為極限，就表示當n趨于無窮大時，點xn可以無限靠近點A，即點xn與點A之間的距離|xn-A|趨于0。如需精

10、美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 比如： 無限的趨向0 無限的趨向1 （二）數列極限的性質與運算法則 1.數列極限的性質 定理1.1（惟一性）若數列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若數列{xn}收斂，則它必定有界。 注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數列不一定收斂。比如： 1，0，1，0，…有界：0，1 2.數列極限的存在準則 定理1.3（兩面夾準則）若數列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件： （1）， （2）， 則 定理1.4若數列{xn}單調有界，則它必有極限。 3.數列極限的四則

11、運算定理。 定理1.5 （1） （2） （3）當時， （三）函數極限的概念 1.當x→x0時函數f（x）的極限 （1）當x→x0時f（x）的極限 定義對于函數y=f（x），如果當x無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的極限是A，記作如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 或f（x）→A（當x→x0時） 例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1 x>1x→1 （2）左極限 當x→x0時f（x）的左極限 定義對于函數y=f（x），如果當x從x0的左

12、邊無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的左極限是A，記作 或f（x0-0）=A （3）右極限 當x→x0時，f（x）的右極限 定義對于函數y=f（x），如果當x從x0的右邊無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的右極限是A，記作 或f（x0+0）=A 例子：分段函數 ，求， 解：當x從0的左邊無限地趨于0時f（x）無限地趨于一個常數1。我們稱當x→0時，f（x）的左極限是1，即有 當x從0的右邊無限地趨于0時，f（x）無限地趨于一個常數-1。我們稱當x→0時，f（x）的右極限是-1，

13、即有如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 顯然，函數的左極限右極限與函數的極限之間有以下關系： 定理1.6當x→x0時，函數f（x）的極限等于A的必要充分條件是 反之，如果左、右極限都等于A，則必有。 x→1時f(x)→? x≠1 x→1f(x)→2 對于函數，當x→1時，f（x）的左極限是2，右極限也是2。 2.當x→∞時，函數f（x）的極限 （1）當x→∞時，函數f（x）的極限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1 定義對于函數y=f（x），如果當x

14、→∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→∞時，函數f（x）的極限是A，記作如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 或f（x）→A（當x→∞時） （2）當x→+∞時，函數f（x）的極限 定義對于函數y=f（x），如果當x→+∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→+∞時，函數f（x）的極限是A，記作 這個定義與數列極限的定義基本上一樣，數列極限的定義中n→+∞的n是正整數；而在這個定義中，則要明確寫出x→+∞，且其中的x不一定是正整數，而為任意實數。 y=f(x)x→+∞f(x)x→？ x→+∞，f(x)=2+→2 例

15、：函數f（x）=2+e-x，當x→+∞時，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+， x→+∞，f（x）=2+→2 所以 （3）當x→-∞時，函數f（x）的極限 定義對于函數y=f（x），如果當x→-∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→-∞時，f（x）的極限是A，記作 x→-∞f(x)→？ 則f(x)=2+(x＜0) x→-∞,-x→+∞ f(x)=2+→2 例：函數，當x→-∞時，f（x）→？ 解：當x→-∞時，-x→+∞如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 →2，即有 由上述x→∞，x→+∞，x

16、→-∞時，函數f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時f（x）的極限是A充分必要條件是當x→+∞以及x→-∞時，函數f（x）有相同的極限A。 例如函數，當x→-∞時，f（x）無限地趨于常數1，當x→+∞時，f（x）也無限地趨于同一個常數1，因此稱當x→∞時的極限是1，記作 其幾何意義如圖3所示。 f(x)=1+ y=arctanx 不存在。 但是對函數y=arctanx來講，因為有 即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。如需精美完整排版，

17、請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 x)=1+ y=arctanx 不存在。 但是對函數y=arctanx來講，因為有 即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。 （四）函數極限的定理 定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。 定理1.8（兩面夾定理）設函數在點的某個鄰域內（可除外）滿足條件： （1），（2） 則有。 注意：上述定理1.7及定理1.8對也成立。 下面我們給出函數極限的四則運算定理

18、定理1.9如果則 （1） （2） （3）當時，時， 上述運算法則可推廣到有限多個函數的代數和及乘積的情形，有以下推論： （1） （2） （3） 用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。 另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成立。如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 （五）無窮小量和無窮大量 1.無窮小量（簡稱無窮小） 定義對于函數，如果自變量x在某個變化過程中，函數的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作 常用希臘字母，…來表示無窮

19、小量。 定理1.10函數以A為極限的必要充分條件是： 可表示為A與一個無窮小量之和。 注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨于為零。 （2）要把無窮小量與很小的數嚴格區(qū)分開，一個很小的數，無論它多么小也不是無窮小量。 （3）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結論也不盡相同。 例如： 振蕩型發(fā)散 （4）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。 （5）無窮小量不是一個常數，但數“0”是無窮小量中惟一的一個數，這是因

20、為。 2.無窮大量（簡稱無窮大） 定義；如果當自變量（或∞）時，的絕對值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作。 注意：無窮大（∞）不是一個數值，“∞”是一個記號，絕不能寫成或。 3.無窮小量與無窮大量的關系 無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關系，見以下的定理。 定理1.11在同一變化過程中，如果為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果為無窮小量，且，則為無窮大量。 當無窮大 無窮小 當為無窮小 無窮大 4.無窮小量的基本性質 性質1有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量； 性質2有界函數（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮

21、小量的乘積是無窮小量。 性質3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。 性質4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 5.無窮小量的比較 定義設是同一變化過程中的無窮小量，即。 （1）如果則稱是比較高階的無窮小量，記作； （2）如果則稱與為同階的無窮小量； （3）如果則稱與為等價無窮小量，記為； （4）如果則稱是比較低價的無窮小量。當 等價無窮小量代換定理： 如果當時，均為無窮小量，又有且存在，則。 均為無窮小 又有 這個性質常常使用在極限運算中，它能起到簡化

22、運算的作用。但是必須注意：等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。 常用的等價無窮小量代換有： 當時， sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x; （六）兩個重要極限 1.重要極限Ⅰ 重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式 令 這個公式很重要，應用它可以計算三角函數的型的極限問題。如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 其結構式為： 2.重要極限Ⅱ 重要極限Ⅱ是指下面的公式： 其中e是個常數（銀行家常數），叫自然對數的底，它的值為 e=2.7182818284

23、95045…… 其結構式為： 重要極限Ⅰ是屬于型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“”型的未定式時，這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。 （七）求極限的方法： 1.利用極限的四則運算法則求極限； 2.利用兩個重要極限求極限； 3.利用無窮小量的性質求極限； 4.利用函數的連續(xù)性求極限； 5.利用洛必達法則求未定式的極限； 6.利用等價無窮小代換定理求極限。 基本極限公式 （2） （3） （4） 例1.無窮小量的有關概念 （1）[9601]下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機

24、137 8381 6366聯系 A.B. C.D. [答]C A.發(fā)散 D. （2）[0202]當時，與x比較是 A.高階的無窮小量B.等價的無窮小量 C.非等價的同階無窮小量D.低階的無窮小量 [答]B 解:當,與x是 極限的運算： [0611] 解： [答案]-1 例2.型因式分解約分求極限 （1）[0208] [答] 解: （2）[0621]計算[答] 解: 例3.型有理化約分求極限 （1）[0316]計算 [答] 解: （2）[9516] [答] 解: 例4.當時求型的極限 [答] 如需精美完整排版，請Q

25、Q：67460666 手機 137 8381 6366聯系 （1）[0308] 一般地，有 例5.用重要極限Ⅰ求極限 （1）[9603]下列極限中，成立的是 A.B. C.D. [答]B （2）[0006] [答] 解: 例6.用重要極限Ⅱ求極限 （1）[0416]計算 [答] [解析]解一：令 解二： [0306] [0601] （2）[0118]計算 [答] 如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 解: 例7.用函數的連續(xù)性求極限 [0407] [答]0 解

26、: ， 例8.用等價無窮小代換定理求極限 [0317] [答]0 解:當 例9.求分段函數在分段點處的極限 （1）[0307]設 則在的左極限 [答]1 [解析] （2）[0406]設,則 [答]1 [解析] 例10.求極限的反問題 （1）已知則常數 [解析]解法一：，即，得. 解法二：令， 得，解得. 解法三：（洛必達法則） 即，得. （2）若求a,b的值. [解析]型未定式. 當時，. 令 于是，得. 即， 所以. [0402] [0017]，則k=_____.（答:ln2）如需精美完整排版，請QQ：674

27、60666 手機 137 8381 6366聯系 [解析] 前面我們講的內容： 極限的概念；極限的性質；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質以及無窮小量階的比較。 第二節(jié)函數的連續(xù)性 [復習考試要求] 1.理解函數在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數在一點處連續(xù)與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續(xù)性的方法。 2.會求函數的間斷點。 3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質會用它們證明一些簡單命題。 4.理解初等函數在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數連續(xù)性求極限。 [主要知識內容] （一）函數連續(xù)的概念 1.函數在點x0

28、處連續(xù) 定義1設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當自變量的改變量△x（初值為x0）趨近于0時，相應的函數的改變量△y也趨近于0，即 則稱函數y=f（x）在點x0處連續(xù)。 函數y=f（x）在點x0連續(xù)也可作如下定義： 定義2設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當x→x0時，函數y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數值f（x0），即 定義3設函數y=f（x），如果，則稱函數f（x）在點x0處左連續(xù)；如果，則稱函數f（x）在點x0處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數y=f（x）在點x0處連續(xù)，則f（x）在點x0處左連續(xù)也右連續(xù)。 2.函數在區(qū)間[

29、a，b]上連續(xù) 定義如果函數f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的每一點x處都連續(xù)，則稱f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并稱f（x）為[a，b]上的連續(xù)函數。 這里，f（x）在左端點a連續(xù)，是指滿足關系：，在右端點b連續(xù)，是指滿足關系：，即f（x）在左端點a處是右連續(xù)，在右端點b處是左連續(xù)。 可以證明：初等函數在其定義的區(qū)間內都連續(xù)。如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 3.函數的間斷點 定義如果函數f（x）在點x0處不連續(xù)則稱點x0為f（x）一個間斷點。 由函數在某點連續(xù)的定義可知，若f（x）在點x0處有下列三種情況之一： （1）在點x0處

30、，f（x）沒有定義； （2）在點x0處，f（x）的極限不存在； （3）雖然在點x0處f（x）有定義，且存在，但 ， 則點x0是f（x）一個間斷點。 ，則f（x）在 A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1處都連續(xù) C.x=0處間斷，x=1處連續(xù) D.x=0處連續(xù)，x=1處間斷 解：x=0處，f（0）=0 ∵f（0-0）≠f（0+0） x=0為f（x）的間斷點 x=1處，f（1）=1 f（1-0）=f（1+0）=f（1） ∴f（x）在x=1處連續(xù) ［答案］C [9703]設，在x=0處連續(xù)，則k等于 A.0 B. C. D.2 分析：f（0）

31、=k ［答案］B 例3[0209]設在x=0處連續(xù)，則a=如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 解：f（0）=e0=1 ∵f（0）=f（0-0）=f（0+0） ∴a=1 ［答案］1 （二）函數在一點處連續(xù)的性質 由于函數的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù)函數的性質。 定理1.12（四則運算）設函數f（x），g（x）在x0處均連續(xù)，則 （1）f（x）±g（x）在x0處連續(xù) （2）f（x）·g（x）在x0處連續(xù) （3）若g（x0）≠0，則在x0處連續(xù)。 定理1.13（復合函數的連續(xù)性）設函數

32、u=g（x）在x=x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復合函數y=f[g（x）]在x=x0處連續(xù)。 在求復合函數的極限時，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對應的處連續(xù)，則極限符號可以與函數符號交換。即 定理1.14（反函數的連續(xù)性）設函數y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少），則它的反函數x=f-1（y）也在對應區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少）。 （三）閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數f（x），有以下幾個基本

33、性質，這些性質以后都要用到。 定理1.15（有界性定理）如果函數f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。 定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值和最小值。 定理1.17（介值定理）如果函數f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數C，在[a，b]上至少存在一個ξ，使得 推論（零點定理）如果函數f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，則在[a，b]內至少存在一個點ξ，使得 f（ξ）=0 （四）初等函數的連續(xù)性

34、由函數在一點處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數經過有限次四則運算或復合運算而得的函數在其定義的區(qū)間內是連續(xù)函數。又由于基本初等函數在其定義區(qū)間內是連續(xù)的，可以得到下列重要結論。 定理1.18初等函數在其定義的區(qū)間內連續(xù)。 利用初等函數連續(xù)性的結論可知：如果f（x）是初等函數，且x0是定義區(qū)間內的點，則 f（x）在x0處連續(xù)如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 也就是說，求初等函數在定義區(qū)間內某點處的極限值，只要算出函數在該點的函數值即可。 ［0407］ [0611] 例1.證明三次代數方程x3-5x+1=0在區(qū)間（0,1）內至少有一個

35、實根. 證：設f（x）=x3-5x+1 f（x）在［0，1］上連續(xù) f（0）=1 f（1）=-3 由零點定理可知，至少存在一點ξ∈（0，1） 使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0 即方程在（0，1）內至少有一個實根。 本章小結 函數、極限與連續(xù)是微積分中最基本、最重要的概念之一，而極限運算又是微積分的三大運算中最基本的運算之一，必須熟練掌握，這會為以后的學習打下良好的基礎。 這一章的內容在考試中約占15%，約為22分左右。現將本章的主要內容總結歸納如下： 一、概念部分 重點：極限概念，無窮小量與等價無窮小量的概念，連續(xù)的概念。 極限概念應該明確極限是描述在給定變化過

36、程中函數變化的性態(tài)，極限值是一個確定的常數。 函數在一點連續(xù)性的三個基本要素：如需精美完整排版，請QQ：67460666 手機 137 8381 6366聯系 （1）f（x）在點x0有定義。 （2）存在。 （3）。 常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。 二、運算部分 重點：求極限，函數的點連續(xù)性的判定。 1.求函數極限的常用方法主要有： （1）利用極限的四則運算法則求極限； 對于“”型不定式，可考慮用因式分解或有理化消去零因子法。 （2）利用兩個重要極限求極限； （3）利用無窮小量的性質求極限； （4）利用函數的連續(xù)性求極限； 若f（x）在x0處連續(xù)，則。 （5）利用等價無窮小代換定理求極限； （6）會求分段函數在分段點處的極限； （7）利用洛必達法則求未定式的極限。 2.判定函數的連續(xù)性，利用閉區(qū)間上連續(xù)函數的零點定理證明方程的根的存在性。 …………………