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1、2020屆高中數學二輪總復習 綜合訓練（三） 理 新課標(湖南專用)
時量：50分鐘 滿分：50分
解答題：本大題共4小題，第1,2,3小題各12分，第4小題14分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
1.已知鈍角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且有(a－c)cosB＝bcosC.
(1)求角B的大?。?
(2)設向量m＝(cos2A＋1，cosA)，n＝(1，－)，且m⊥n，求tan(＋A)的值．
解析：(1)因為(a－c)cosB＝bcosC，
由正弦定理，得(sinA－sinC)cosB＝sinB·cosC，
所以sinA·cosB－si
2、nC·cosB＝sinB·cosC，
即sinA·cosB＝sinB·cosC＋sinC·cosB，
所以sinA·cosB＝sin(B＋C)．
因為在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，
所以sinAcosB＝sinA.
又sinA≠0，所以cosB＝，B＝.
(2)因為m⊥n，所以m·n＝0，
即cos2A＋1－cosA＝0，所以2cos2A－cosA＝0，
即2cosA(cosA－)＝0.
因為cosA≠0，所以cosA＝，
所以sinA＝，tanA＝，
則tan(A＋)＝＝＝7.
2.設有關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是從0,1
3、,2,3四個數中任取的一個數，b是從0,1,2三個數中任取的一個數，求方程有實根的概率；
(2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取一個數，b是從區(qū)間[0,2]上任取一個數，求方程有實根的概率．
解析：方程有實根的充要條件為a2≥b2.
(1)基本事件共12個，其中(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)滿足條件，則P＝＝.
(2)試驗的全部結果構成的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，滿足題意的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以P＝＝.
3.如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行
4、四邊形，SA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝1，SB＝，∠BAD＝120°，E在棱SD上．
(1)當SE＝3ED時，求證SD⊥平面AEC；
(2)當二面角S－AC－E的大小為30°時，求直線AE與平面CDE所成角的正弦值．
解析：方法1：(1)在平行四邊形ABCD中，由AD＝1，CD＝2，∠BAD＝120°，易知CA⊥AD.
又SA⊥平面ABCD，所以CA⊥SA，
所以CA⊥平面SAD，所以SD⊥AC，
在直角三角形SAB中，易得SA＝，
在直角三角形SAD中，∠ADE＝60°，SD＝2，
又SE＝3ED，所以DE＝，
可得AE＝
＝
＝.
所以AE2＋DE2＝AD
5、2，所以SD⊥AE.
又因為AC∩AE＝A，所以SD⊥平面AEC.
(2)由(1)可知，CA⊥SA，CA⊥AE，
可知∠EAS為二面角E－AC－S的平面角，
所以∠EAS＝30°，此時E為SD的中點．
過A作AF⊥CD，連接SF，
則CD⊥平面SAF，所以平面SAF⊥平面SCD.
作AG⊥SF，則AG⊥平面SCD，連接EG.
可得∠AEG為直線AE與平面SCD所成的角．
因此AF＝，SA＝，
所以AG＝＝.
在Rt△AGE中，sin∠AEG＝＝，
直線AE與平面CDE所成角的正弦值大小為.
方法2：依題意易知CA⊥AD，SA⊥平在ACD.
以A為坐標原點，AC、
6、AD、SA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則易得A(0,0,0)，C(，0,0)，D(0,1,0)，S(0,0，)．
(1)由SE∶ED＝3，有E(0，，)，
易得，從而SD⊥平面ACE.
(2)由AC⊥平面SAD，二面角E－AC－S的平面角，∠EAS＝30°.
又易知∠ASD＝30°，則E為SD的中點，
即E(0，，)．
設平面SCD的法向量為n＝(x，y，z)，
則，令z＝1，得n＝(1，，1)。
從而cos〈，n〉＝＝
＝.
直線AE與平面CDE所成角的正弦值大小為.
4.某企業(yè)生產并直銷某品牌高科技電子產品，由以往的銷售情況可知，今后該產品的銷售狀況呈
7、現如下趨勢，若該產品的日銷售量為x件時，每件產品的銷售利潤g(x)(單位：萬元)近似地滿足：g(x)＝，設日銷售量為x件的總利潤為f(x)．
(1)若要求日銷售總利潤f(x)超過x萬元，則日銷售量x應控制在什么范圍內？
(2)若該企業(yè)為實現節(jié)能減排的環(huán)保目標，要求該產品的日銷售量x∈[6,16]，試問在實現環(huán)保目標的條件下，該產品的日銷售總利潤f(x)在什么范圍內？
解： 由題意知f(x)＝，
(1)當0x，即f(x)>x成立，
所以04時，由f(x)>x，即>x，
得x－2－3<0，
解得0<<3，即00，f(x)遞增．
所以x＝9時，[f(x)]min＝＝9.
又x＝6時，f(6)＝＝4，
x＝16時，f(16)＝＝>4.
故產品的日銷售總利潤f(x)在[9，]萬元之間．
2020屆高中數學二輪總復習 綜合訓練（三） 理 新課標(湖南專用)
