2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項突破19 概率、隨機變量及其分布列 理

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1、必考問題19　概率、隨機變量及其分布列 　(2020·湖南)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客 數(shù)(人) x 30 25 y 10 結(jié)算時間 (分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望； (2)若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，

2、求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率．(注：將頻率視為概率) 答案：解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，將頻率視為概率得 P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝. X的分布列為 X 1 1.5 2 2.5 3 P X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9. (2)記A為事件“該顧客結(jié)

3、算前的等候時間不超過2.5分鐘”，Xi(i＝1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時間，則 P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)． 由于各顧客的結(jié)算相互獨立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以 P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝×＋×＋×＝. 故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為. 結(jié)合事件的互斥性、對立性、獨立性以及古典概型，主要以解答題的方式考查離散型隨機變量分布列、期望和方差的求解及其實際應(yīng)用． 本部分復(fù)習(xí)要從整

4、體上，知識的相關(guān)關(guān)系上進行．離散型隨機變量問題的核心是概率計算，而概率計算又以事件的獨立性、互斥性、對立性為核心，在解題中要充分分析事件之間的關(guān)系. 必備知識 互斥事件有一個發(fā)生的概率 若A、B是互斥事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A)＋P(A)＝1. 相互獨立事件與n次獨立重復(fù)試驗 (1)若 A1，A2，…，An是相互獨立事件，則P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)． (2)如果在一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，事件A不發(fā)生的概率為1－p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生k次的概率為： Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.

5、 離散型隨機變量的分布列、期望與方差 (1)主干知識：隨機變量的可能取值，分布列，期望，方差，二項分布，超幾何分布，正態(tài)分布． (2)基本公式：①E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…； ②D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn＋…； ③E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)； ④二項分布：ξ～B(n，p)，則P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)． 正態(tài)分布 (1)若X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布，則可表示為X～N(μ，σ2)． (2)N(μ，σ2)的

6、分布密度曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，該曲線與x軸所圍成的圖形的面積為1. (3)當(dāng)X～N(μ，σ2)時，0.683＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，0.954＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，0.997＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)． 以上三個概率值具有重要的應(yīng)用，要熟記，不可混用． 必備方法 1．在解含有相互獨立事件的概率題時，首先把所求的隨機事件分拆成若干個互斥事件的和，其次將分拆后的每個事件分拆為若干個相互獨立事件的乘積，這兩個事情做好了，問題的思路就清晰了，接下來就是按照相關(guān)的概率值進行計算的問題了，如果某些相互獨立事件符合獨立重復(fù)試驗概型，就把這部分歸結(jié)為用獨立重復(fù)試驗概型，用獨立重復(fù)試

7、驗概型的概率計算公式解答． 2．相當(dāng)一類概率應(yīng)用題都是由擲硬幣、擲骰子、摸球等概率模型賦予實際背景后得出來的，我們在解題時就要把實際問題再還原為我們常見的一些概率模型，這就要根據(jù)問題的具體情況去分析，對照常見的概率模型，把不影響問題本質(zhì)的因素去除，抓住問題的本質(zhì)． 3．求解一般的隨機變量的期望和方差的基本方法是：先根據(jù)隨機變量的意義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的公式計算． 互斥事件、相互獨立事件的概率在求隨機變量的分布列、期望、方差往往起工具性作用，試題多來源于生活，考查閱讀理解能力及對概率知識的應(yīng)用

8、能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? (2020·陜西)某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下： 辦理業(yè)務(wù)所需的時間/分 1 2 3 4 5 頻率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 從第一個顧客開始辦理業(yè)務(wù)時計時． (1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率； (2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] (1)第三個顧客恰好等待4分鐘的情況有三種可能：第一個顧

9、客需1分鐘，第二個顧客需3分鐘；第一個顧客需3分鐘，第二個顧客需1分鐘；兩個顧客都需要2分鐘．(2)①找出第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)X的所有可能取值，其取值分別為0,1,2；②求出分布列，得出期望，本問最難的是分布列的求解． 解　設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下： Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 (1)A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)三種情形：①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，

10、且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘；③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘． 所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22. (2)法一　X所有可能的取值為0,1,2. X＝0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘， 所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5； X＝1對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4

11、＝0.49； X＝2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘， 所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01； 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51. 法二　X的所有可能取值為0,1,2. X＝0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘， 所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5； X＝2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘， 所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01； P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝

12、0.49； 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51. 在概率的計算中，一般是根據(jù)隨機事件的含義，把隨機事件分成幾個互斥事件的和，每個小的事件再分為幾個相互獨立事件的乘積，然后根據(jù)相應(yīng)的概率公式進行計算． 【突破訓(xùn)練1】 甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局． (1)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率； (2)求甲獲得這次比賽勝利的概率． 解　

13、記Ai表示事件：第i局甲獲勝，i＝3,4,5， Bj表示事件：第j局乙獲勝，j＝3,4. (1)記A表示事件：再賽2局結(jié)束比賽． A＝A3·A4＋B3·B4. 由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故 P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52. (2)記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利． 因前2局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，從而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5， 由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故 P(B

14、)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5) ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648. 以實際生活或生產(chǎn)為背景來考查二項分布是高考的“永久”熱點，難點是透過問題的實際背景發(fā)現(xiàn)n次獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ图岸椃植迹瑴?zhǔn)確把握獨立重復(fù)試驗的特點是解答二項分布問題的關(guān)鍵．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? (2020·天津)現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻

15、的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲． (1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率； (2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率； (3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|.求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] (1)利用二項分布的概率公式求解；(2)利用二項分布和互斥事件的概率公式求解；(3)建立概率分布表，利用期望的定義式求解數(shù)學(xué)期望． 解　依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為

16、.設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，則P(Ai)＝Ci4－i. (1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率 P(A2)＝C2·2＝. (2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4.由于A3與A4互斥，故 P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C4＝. 所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為. (3)ξ的所有可能取值為0,2,4. 由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝， P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A

17、4)＝. 所以ξ的分布列是 ξ 0 2 4 P ∴ξ的期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝. (1)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：①是否為n次獨立重復(fù)試驗；②隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)． (2)在n次獨立重復(fù)試驗中，恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 【突破訓(xùn)練2】 某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請兩位專家，獨立地對每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進行評審．假設(shè)評審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是.若某人獲得兩個“支持”，則給予10萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個“支持”給予5萬元的資

18、助；若未能獲得“支持”，則不予資助，求： (1)該公司的資助總額為零的概率； (2)該公司的資助總額超過15萬元的概率． 解　(1)設(shè)A表示“資助總額為零”這個事件，則P(A)＝6＝. (2)設(shè)B表示“資助總額超過15萬元”這個事件，則P(B)＝15×6＋6×6＋6＝. 　　　 　　　與方差 以考生比較熟悉的實際應(yīng)用問題為背景，綜合排列組合、概率公式、互斥事件、獨立事件及獨立重復(fù)事件等基礎(chǔ)知識，考查對隨機變量的識別及概率計算的能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? (2020·新課標(biāo)全國)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價

19、格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理． (1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式； (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率． (ⅰ)若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差； (ⅱ)若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進16枝還是17枝

20、？請說明理由． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] (1)根據(jù)日需求量分類求出函數(shù)解析式；(2)(ⅰ)根據(jù)當(dāng)天的需求量，寫出相應(yīng)的利潤，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望和方差．(ⅱ)比較兩種情況的方差或數(shù)學(xué)期望即可． 解　(1)當(dāng)日需求量n≥16時，利潤y＝80.當(dāng)日需求量n＜16時，利潤y＝10n－80. 所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為 y＝(n∈N)． (2)(ⅰ)X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列為 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X的數(shù)學(xué)期望為

21、 E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X的方差為 D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. (ⅱ)答案一： 花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的數(shù)學(xué)期望為 E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. Y的方差為 D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76

22、.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04. 由以上的計算結(jié)果可以看出，D(X)＜D(Y)，即購進16枝玫瑰花時利潤波動相對較?。硗?，雖然E(X)＜E(Y)，但兩者相差不大．故花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花． 答案二： 花店一天應(yīng)購進17枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的數(shù)學(xué)期望為 E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. 由以上的計算結(jié)果可以看出，E(X)＜E(Y)

23、，即購進17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進16枝時的平均利潤．故花店一天應(yīng)購進17枝玫瑰花． (1)求離散型隨機變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率公式求概率． (2)求隨機變量期望與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列．若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式法求解． 【突破訓(xùn)練3】 根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設(shè)各車主購買保險相互獨立． (1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率； (2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)．求

24、X的期望． 解　記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險； B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險； C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種； D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B， P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. (2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2， X～B(100,0.2)，即X服從二項分布， 所以期望E(X)＝100×0.2＝20. 二項展開式的通項與二項分布的概率公式的“巧合” 一般地，由n次試驗構(gòu)成，且每次試驗相

25、互獨立完成，每次試驗的結(jié)果僅有兩種對立的狀態(tài)，即A與，每次試驗中P(A)＝p＞0.我們將這樣的試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，也稱為伯努利試驗．在n次獨立重復(fù)試驗中，每次試驗事件A發(fā)生的概率均為p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P()＝1－p＝q.由于試驗的獨立性，n次試驗中，事件A在某指定的k次發(fā)生，而在其余n－k次不發(fā)生的概率為pkqn－k.而在n次試驗中，事件A恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率為Pn(k)＝Cpkqn－k，k＝0,1,2，…，n.它恰好是(q＋p)n的二項展開式中的第k＋1項． 【示例】? (2020·四川)某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系

26、統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p. (1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值； (2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)． [滿分解答]　(1)設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1－P()＝1－·p＝，解得p＝.(4分) (2)由題意，P(ξ＝0)＝C3＝， P(ξ＝1)＝C2·＝， P(ξ＝2)＝C·2＝， P(ξ＝3)＝C3＝.(8分) 所以，隨機變量ξ的概率分布列為 ξ 0 1 2 3 P 故隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望： E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3

27、×＝. (12分) 老師叮嚀：對于(1)，依據(jù)題意及相互對立的兩個事件的概率間的關(guān)系列出相關(guān)的方程，通過解方程得出結(jié)論；對于(2)，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的相關(guān)概率公式列出相應(yīng)的分布列，進而利用期望的定義公式通過計算得出期望值. 【試一試】 某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分．假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響． (1)求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望． (2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即ξ≥0)的概率． 解　(1)ξ的可能取值為－300，－100,100,300. P(ξ＝－300)＝0.23＝0.008， P(ξ＝－100)＝3×0.22×0.8＝0.096， P(ξ＝100)＝3×0.2×0.82＝0.384， P(ξ＝300)＝0.83＝0.512. 所以ξ的概率分布為 ξ －300 －100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 根據(jù)ξ的概率分布，可得ξ的期望 Eξ＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180. (2)這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為 P(ξ≥0)＝0.384＋0.512＝0.896.