2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問(wèn)題專項(xiàng)突破15 直線、圓及其交匯問(wèn)題 理

必15直線、圓及其交匯問(wèn)題1(2020·浙江)設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案： A由a1可得l1l2，反之由l1l2可得a1或a2，故選A.2(2020·陜西)已知圓C：x2y24x0，l是過(guò)點(diǎn)P(3,0)的直線，則()Al與C相交 Bl與C相切Cl與C相離 D以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能答案：A把點(diǎn)(3,0)代入圓的方程的左側(cè)得3204×330，故點(diǎn)(3,0)在圓的內(nèi)部，所以過(guò)點(diǎn)(3,0)的直線l與圓C相交，選A.3(2020·重慶)對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線ykx1與圓x2y22的位置關(guān)系一定是()A相離 B相切C相交但直線不過(guò)圓心 D相交且直線過(guò)圓心答案：C易知直線過(guò)定點(diǎn)(0,1)，且點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)，但是直線不過(guò)圓心(0,0)，故選C.4(2020·湖北)過(guò)點(diǎn)(1，2)的直線l被圓x2y22x2y10截得的弦長(zhǎng)為，則直線l的斜率為_(kāi)解析由題意知直線要與圓相交，必存在斜率，設(shè)為k，則直線方程為y2k(x1)，又圓的方程可化為(x1)2(y1)21，圓心為(1,1)，半徑為1，圓心到直線的距離d ，解得k1或.答案1或本問(wèn)題是整個(gè)解析幾何的基礎(chǔ)，在解析幾何的知識(shí)體系中占有重要位置，但解析幾何的主要內(nèi)容是圓錐曲線與方程，故在該部分高考考查的分值不多，在高考試卷中一般就是一個(gè)選擇或填空題考查直線與方程、圓與方程的基本問(wèn)題，偏向于考查直線與圓的綜合，試題難度不大，對(duì)直線方程、圓的方程的深入考查則與圓錐曲線結(jié)合進(jìn)行高考對(duì)解析幾何的考查，主要考查直線和圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系的有關(guān)問(wèn)題運(yùn)算能力與平面幾何知識(shí)的靈活運(yùn)用有可能成為制約考生解題的一個(gè)重要因素，因此在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，要注意加強(qiáng)圓的幾何性質(zhì)的復(fù)習(xí)，注意向量方法在解析幾何中的應(yīng)用，注意強(qiáng)化運(yùn)算能力的訓(xùn)練，努力提高靈活解題的能力必備知識(shí)兩直線平行、垂直的判定(1)l1：yk1xb1，l2：yk2xb2(兩直線斜率存在，且不重合)，則有l(wèi)1l2k1k2，l1l2k1·k21.若兩直線的斜率都不存在，并且兩直線不重合，則兩直線平行；若兩直線中一條直線的斜率為0，另一條直線斜率不存在，則兩直線垂直(2)l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則有l(wèi)1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10，l1l2A1A2B1B20.圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圓心為，半徑為r；二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是必備方法1由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時(shí)，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會(huì)產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點(diǎn)斜式、斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況2處理有關(guān)圓的問(wèn)題，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形經(jīng)常用到，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題，往往使問(wèn)題簡(jiǎn)化3直線與圓中常見(jiàn)的最值問(wèn)題(1)圓外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的距離的最值(2)直線與圓相離，圓上任一點(diǎn)到直線的距離的最值(3)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)的直線被圓截得弦長(zhǎng)的最值(4)直線與圓相離，過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線長(zhǎng)的最小值問(wèn)題(5)兩圓相離，兩圓上點(diǎn)的距離的最值4兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項(xiàng)，得到一個(gè)二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程對(duì)于圓的方程，高考要求能根據(jù)所給的條件選取恰當(dāng)?shù)姆匠绦问嚼么ㄏ禂?shù)法求出圓的方程，并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解決與圓相關(guān)的問(wèn)題該部分在高考中常以填空、選擇的形式直接考查，或是在解答題中綜合軌跡問(wèn)題進(jìn)行考查【例1】 已知圓C與圓x2y22x0相外切，并且與直線xy0相切于點(diǎn)Q(3，)，求圓C的方程審題視點(diǎn) 聽(tīng)課記錄審題視點(diǎn) 先確定采用標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，然后求出相應(yīng)的參數(shù)，即采用待定系數(shù)法解設(shè)圓C的圓心為(a，b)，則解得或所以r2或r6.所以圓C的方程為(x4)2y24或x2(y4)236. 求圓的方程一般有兩類方法：(1)幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)【突破訓(xùn)練1】 已知圓過(guò)點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，求圓的方程解法一設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0.令y0，得x2DxF0.設(shè)弦的兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2.因圓在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，所以|x1x2|6，即D24F36，又圓過(guò)點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)，所以D2EF50，3D4EF250，由解得或故所求圓的方程為x2y212x22y270或x2y28x2y70.法二設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2，由已知得解得或故所求圓的方程為(x6)2(y11)2130，或(x4)2(y1)210.直線與圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點(diǎn)，主要考查直線與圓的相交、相切、相離的判定與應(yīng)用，以及弦長(zhǎng)、面積的求法等，并常與圓的幾何性質(zhì)交匯，要求學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力【例2】 如圖所示，已知以點(diǎn)A(1,2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過(guò)點(diǎn)B(2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)|MN|2時(shí)，求直線l的方程；(3)B·B是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由審題視點(diǎn) 聽(tīng)課記錄審題視點(diǎn) 第(1)問(wèn)由圓A與直線l1相切易求出圓的半徑，進(jìn)而求出圓A的方程；第(2)問(wèn)注意直線l的斜率不存在時(shí)也符合題意，以防漏解，另外應(yīng)注意用好幾何法，以減小計(jì)算量；第(3)問(wèn)分兩種情況分別計(jì)算平面向量的數(shù)量積為定值后方可下結(jié)論解(1)設(shè)圓A的半徑為R，圓A與直線l1：x2y70相切，R2.圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x2符合題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0.連接AQ，則AQMN.|MN|2，|AQ|1，由|AQ|1，得k.直線l的方程為3x4y60，所求直線l的方程為：x2或3x4y60.(3)AQBP，A·B0，B·B(BA)·BB·BA·BB·B.當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，得P，則B，又B(1,2)B·BB·B5.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)由解得P.B.B·BB·B5，綜上所述，B·B是定值，且B·B5. (1)直線和圓的位置關(guān)系常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d及半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形關(guān)系來(lái)處理(2)要注意分類討論，即對(duì)直線l分為斜率存在和斜率不存在兩種情況分別研究，以防漏解或推理不嚴(yán)謹(jǐn)【突破訓(xùn)練2】 (2020·臨沂模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上(1)求圓C的方程；(2)若圓C與直線xya0交于A，B兩點(diǎn)，且OAOB，求a的值解(1)曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,1)，(3±2，0)故可設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(3，t)，則有32(t1)22t2.解得t1，則圓的半徑為3.所以圓的方程為(x3)2(y1)29.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標(biāo)滿足方程組消去y得到方程2x2(2a8)xa22a10，由已知可得判別式5616a4a20，由韋達(dá)定理可得x1x24a，x1x2，由OAOB可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a.所以2x1x2a(x1x2)a20.由可得a1，滿足0，故a1.常以直線、圓、圓錐曲線為載體結(jié)合平面向量來(lái)命題，考查解決解析幾何問(wèn)題的基本方法與技能，正成為高考命題新的生長(zhǎng)點(diǎn)【例3】 (2020·杭州三校聯(lián)考)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)K(1,0)的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.(1)證明：點(diǎn)F在直線BD上；(2)設(shè)F·F，求BDK的內(nèi)切圓M的方程審題視點(diǎn) 聽(tīng)課記錄審題視點(diǎn) (1)設(shè)出A、B、D的坐標(biāo)及l(fā)的方程，進(jìn)而表示出直線BD的方程再驗(yàn)證；(2)由·可求直線l，BD的方程，再由A、D關(guān)于x軸對(duì)稱可設(shè)圓心M(t,0)，則M到直線l，BD的距離相等解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，l的方程為xmy1(m0)(1)證明：將xmy1代入y24x并整理得y24my40，從而y1y24m，y1y24.直線BD的方程為yy2·(xx2)，即yy2·.令y0，得x1.所以點(diǎn)F(1,0)在直線BD上(2)由(1)知，x1x2(my11)(my21)4m22，x1x2(my11)(my21)1.因?yàn)镕(x11，y1)，F(xiàn)(x21，y2)，F(xiàn)·F(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1484m2，故84m2，解得m±.所以l的方程為3x4y30,3x4y30.又由知y2y1±±，故直線BD的斜率±，因而直線BD的方程為3xy30,3xy30.因?yàn)镵F為BKD的平分線，故可設(shè)圓心M(t,0)(1<t<1)，M(t,0)到l及BD的距離分別為，.由得t或t9(舍去)，故圓M的半徑r.所以圓M的方程為2y2. 對(duì)直線與圓的綜合性問(wèn)題，要認(rèn)真審題，學(xué)會(huì)將問(wèn)題拆分成基本問(wèn)題，然后綜合利用數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程的思想等來(lái)解決問(wèn)題，這樣可以漸漸增強(qiáng)自己解決綜合問(wèn)題的能力【突破訓(xùn)練3】 (2020·江蘇改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C.連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B.設(shè)直線PA的斜率為k.(1)當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值；(2)當(dāng)k2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d.解(1)由題設(shè)知，a2，b，故M(2,0)，N(0，)，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為.由于直線PA平分線段MN，故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k.(2)直線PA的方程為y2x，代入橢圓方程得1，解得x±，因此P，A.于是C，直線AC的斜率為1，故直線AB的方程為xy0.因此，d.直線問(wèn)題“誤”匯易錯(cuò)點(diǎn)1：忽視截距為零或認(rèn)為截距是距離的情況【示例1】 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是_解析(1)直線在兩坐標(biāo)軸的截距為0時(shí)，直線方程為yx.(2)直線在兩坐標(biāo)軸的截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為xya.因?yàn)辄c(diǎn)(2,1)在直線上，所以21a，即a3.直線方程為xy3.故所求直線方程為yx或xy3.答案yx或xy3老師叮嚀：考生可能產(chǎn)生2種錯(cuò)誤，第1種錯(cuò)誤：忽視截距為零的情況，只答出第(2)種情況；第2種錯(cuò)誤：認(rèn)為截距是距離，把直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的也帶進(jìn)來(lái)，導(dǎo)致有錯(cuò)誤答案為“所求直線方程為yx或xy3或xy1”.【試一試1】 已知直線l過(guò)點(diǎn)(2，6)，它在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求直線l的方程解當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，它在兩坐標(biāo)軸上的截距都是0，適合題意，此時(shí)直線方程為yx3x，可化為3xy0；當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)它在x軸上的截距為a(a0)，則它在y軸上的截距為2a，則直線的截距式為1，把點(diǎn)(2，6)的坐標(biāo)代入得1，解得a1，故此時(shí)直線的方程為x1，可化為2xy20.綜上，直線的方程為3xy0或2xy20.易錯(cuò)點(diǎn)2：忽視直線的斜率不存在的情況【示例2】 已知直線l過(guò)點(diǎn)(2,0)，直線x2y50和3xy10的交點(diǎn)到直線l的距離為3，求直線l的方程滿分解答由得，即直線x2y50和3xy10的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)(2分)(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x2，點(diǎn)(1,2)到該直線的距離為3，適合題意(6分)(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線l的點(diǎn)斜式方程為yk(x2)，可化為kxy2k0.依題意得3，解得k.所以，此時(shí)直線l的方程為5x12y100.(10分)綜上，直線的方程為x20或5x12y100.(12分)老師叮嚀：忽視直線的斜率不存在的情形，也是一類常見(jiàn)錯(cuò)誤.在相關(guān)問(wèn)題中，需設(shè)直線的斜率時(shí)，一定要注意分析直線的斜率是否一定存在，不一定存在，就需分類討論.【試一試2】 已知直線l1：axy2a0與直線l2：(2a1)xaya0互相垂直，則a等于()A1 B0 C1或0 D1或1答案： C法一依題意有a·(2a1)(1)·a0；解得a0或a1.法二a0時(shí)直線l2斜率不存在，直線l1的斜率為0，兩直線垂直a0時(shí)，直線l1的斜率為a，直線l2的斜率為，因?yàn)橹本€l1與直線l2垂直，所以a·1，解得a1.故所求a值為0或1，選C.【試一試3】 C將圓C方程配方得：(x1)2(y2)28，圓C的圓心坐標(biāo)和半徑分別是：C(1，2)，R2.設(shè)與直線l：xy10平行且距離為的直線方程為xym0，由知，m1或m3.當(dāng)m1時(shí)，圓心到直線的距離d12R，直線與圓相切，滿足要求的點(diǎn)只有一個(gè)；當(dāng)m3時(shí)，圓心到直線的距離d20R，直線與圓相交，滿足要求的點(diǎn)有兩個(gè)故滿足要求的點(diǎn)共有3個(gè)選C.必考問(wèn)題