2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 第5講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教案

第5講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2020·遼寧)函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于0的解集就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求解由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，又由yx0，解得0x1，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1答案B2(2020·安徽)設(shè)函數(shù)f(x)aexb(a0)(1)求f(x)在0，)內(nèi)的最小值；(2)設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為yx，求a、b的值解析(1)f(x)aex，當(dāng)f(x)0，即xln a時(shí)，f(x)在(ln a，)上遞增；當(dāng)f(x)0，即xln a時(shí)，f(x)在(，ln a)上遞減當(dāng)0a1時(shí)，ln a0，f(x)在(0，ln a)上遞減，在(ln a，)上遞增，從而f(x)在0，)上的最小值為f(ln a)2b；當(dāng)a1時(shí)，ln a0，f(x)在0，)上遞增，從而f(x)在0，)上的最小值為f(0)ab.(2)依題意f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)，所以a，代入原函數(shù)可得2b3，即b，故a，b.考題分析在每年的高考命題中都有導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的解答題出現(xiàn)，是高考試題的壓軸題，難度較大，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及根據(jù)單調(diào)性、極值、最值等確定參數(shù)的值或范圍，解題的方法也是靈活多樣，但導(dǎo)數(shù)的工具性都會(huì)有很突出的體現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例1】(2020·臨沂模擬)已知函數(shù)f(x)，其中aR.(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間審題導(dǎo)引(1)直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決；(2)根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)是一個(gè)分式，但分式的分母符號(hào)確定，其分子是一個(gè)多項(xiàng)式，所以討論函數(shù)的單調(diào)性等價(jià)于討論這個(gè)分子多項(xiàng)式的符號(hào)規(guī)范解答(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)，f(x)2.由f(0)2，得曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程是2xy0.(2)f(x)2.當(dāng)a0時(shí)，f(x).所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，0)上單調(diào)遞減當(dāng)a0，f(x)2a.當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，得x1a，x2，f(x)與f(x)的情況如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)f(x1)f(x2)故f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(，a)，；單調(diào)增區(qū)間是.當(dāng)a0時(shí)，f(x)與f(x)的情況如下：x(，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f(x)f(x2)f(x1)所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，(a，)；單調(diào)減區(qū)間是.綜上，a0時(shí)，f(x)在(，a)，單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增a0時(shí)，f(x)在(0，)單調(diào)遞增，在(，0)單調(diào)遞減；a0時(shí)，f(x)在，(a，)單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減【規(guī)律總結(jié)】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在其單調(diào)性研究的作用(1)當(dāng)函數(shù)在一個(gè)指定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)時(shí)，需要這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)不改變符號(hào)(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，當(dāng)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)不單調(diào)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定變號(hào)，如果導(dǎo)數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線，這個(gè)導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定存在變號(hào)的零點(diǎn)，可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的研究(2)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，在函數(shù)解析式中若含有字母參數(shù)時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論，這種分類(lèi)討論首先是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行，其次要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)在其定義域內(nèi)的情況進(jìn)行，如果這樣的點(diǎn)不止一個(gè)，則要根據(jù)字母參數(shù)在不同范圍內(nèi)取值時(shí)，導(dǎo)數(shù)等于零的根的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，最后在分類(lèi)解決問(wèn)題后要整合一個(gè)一般的結(jié)論易錯(cuò)提示在利用“若函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，則f(x)0”求參數(shù)的范圍時(shí)，注意不要漏掉“等號(hào)”【變式訓(xùn)練】1(2020·臨川五月模擬)已知函數(shù)f(x)ln x.(1)若函數(shù)f(x)在1，)上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解析(1)f(x)ln x，f(x)(a0)函數(shù)f(x)在1，)上為增函數(shù)，f(x)0對(duì)x1，)恒成立，ax10對(duì)x1，)恒成立，即a對(duì)x1，)恒成立，a1.(2)a0，f(x)，x0，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0對(duì)x(0，)恒成立，f(x)的增區(qū)間為(0，)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0x，f(x)0x，f(x)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.考點(diǎn)二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值【例2】(2020·朝陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)aln xx(a0)(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線x2y0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(3)當(dāng)a(，0)時(shí)，記函數(shù)f(x)的最小值為g(a)，求證：g(a)e2.審題導(dǎo)引(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求；(2)討論函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)可知f(x)的單調(diào)性；(3)利用(2)中函數(shù)f(x)的單調(diào)性求出f(x)的最小值g(a)，并求g(a)的最大值可證不等式規(guī)范解答(1)f(x)的定義域?yàn)閤x0f(x)1(x0)根據(jù)題意，有f(1)2，所以2a2a30，解得a1或a.2)f(x)1(x0)當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閤0，由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得xa；由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0xa.所以函數(shù)f(x)在(a，)上單調(diào)遞增，在(0，a)上單調(diào)遞減當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閤0，由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得x2a；由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0x2a.所以函數(shù)f(x)在(0，2a)上單調(diào)遞減，在(2a，)上單調(diào)遞增(3)證明由(2)知，當(dāng)a(，0)時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為g(a)，且g(a)f(2a)aln(2a)2aaln(2a)3a.g(a)ln(2a)a·3ln(2a)2，令g(a)0，得ae2.當(dāng)a變化時(shí)，g(a)，g(a)的變化情況如下表：ae2g(a)0g(a)極大值e2是g(a)在(，0)上的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，從而也是g(a)的最大值點(diǎn)所以g(a)最大值ge2ln3e2ln e2e2e2.所以，當(dāng)a(，0)時(shí)，g(a)e2成立【規(guī)律總結(jié)】1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的一般步驟(1)確定定義域(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)(3)若求極值，則先求方程f(x)0的根，再檢驗(yàn)f(x)在方程根左、右值的符號(hào)，求出極值(當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)要注意分類(lèi)討論根是否在定義域內(nèi))若已知極值大小或存在的情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況，從而求解2求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值【變式訓(xùn)練】2(2012·濟(jì)南模擬)某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)2013年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位：萬(wàn)人)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)x(x1)·(392x)，(xN，且x12)已知第x月的人均消費(fèi)額q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是q(x)(1)寫(xiě)出2013年第x月的旅游人數(shù)f(x)(單位：人)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試問(wèn)：2013年哪個(gè)月旅游消費(fèi)總額最大？最大月旅游消費(fèi)總額為多少元？解析(1)當(dāng)x1時(shí)，f(1)p(1)37，當(dāng)2x12，且xN時(shí)，f(x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)(x1)x(412x)3x240x.驗(yàn)證x1符合f(x)3x240x(xN，且1x12)(2)第x月旅游消費(fèi)總額為g(x)即g(x)當(dāng)1x6，且xN時(shí)，g(x)18x2370x1 400，令g(x)0，解得x5，x(舍去)當(dāng)1x5時(shí)，g(x)0，當(dāng)5x6時(shí)，g(x)0，當(dāng)x5時(shí)，g(x)maxg(5)3 125(萬(wàn)元)當(dāng)7x12，且xN時(shí)，g(x)480x6 400是減函數(shù)，當(dāng)x7時(shí)，gmax(x)g(7)3 040(萬(wàn)元)，綜上，2013年第5月份的旅游消費(fèi)總額最大，最大消費(fèi)總額為3 125萬(wàn)元考點(diǎn)三：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式【例3】(2012·長(zhǎng)治模擬)設(shè)函數(shù)f(x)ax2xln x(2a1)xa1(aR)(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(e，f(e)處的切線方程；(2)對(duì)任意的x1，)函數(shù)f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍審題導(dǎo)引(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義kf(x0)求出切線方程；(2)討論a的取值求出f(x)在1，)上的最小值，由最小值大于等于0恒成立求a的范圍規(guī)范解答(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)xln xx1，由f(x)ln x，則kf(e)1，f(e)1，函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(e，f(e)處的切線方程為y1(xe)，即xy1e0.(2)f(x)2ax1ln x(2a1)2a(x1)ln x，易知，ln xx1，則f(x)2a(x1)(x1)(2a1)(x1)，當(dāng)2a10，即a時(shí)，由x1，)得f(x)0恒成立，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)f(1)0符合題意所以a.當(dāng)a0時(shí)，由x1，)得f(x)0恒成立，f(x)在1，)上單調(diào)遞減，f(x)f(1)0顯然不成立，a0舍去當(dāng)0a時(shí)，由ln xx1，得ln1，即ln x1，則f(x)2a(x1)(2ax1)因?yàn)?a，所以1.x時(shí)，f(x)0恒成立，f(x)在1，)上單調(diào)遞減，f(x)f(1)0顯然不成立，0a舍去綜上可得：a.【規(guī)律總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題的類(lèi)型(1)不等式恒成立：基本思路就是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或函數(shù)值域的端點(diǎn)值問(wèn)題(2)比較兩個(gè)數(shù)的大小：一般的解決思路是把兩個(gè)函數(shù)作差后構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，通過(guò)研究這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值與零的大小確定所比較的兩個(gè)函數(shù)的大小(3)證明不等式：對(duì)于只含有一個(gè)變量的不等式都可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和極值解決【變式訓(xùn)練】3(2012·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)ln xx(a1)(1)試討論f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性；(2)當(dāng)a3，)時(shí)，曲線yf(x)上總存在相異兩點(diǎn)P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)，使得曲線yf(x)在點(diǎn)P，Q處的切線互相平行，求證：x1x2.解析(1)由已知x0，f(x)1.由f(x)0，得x1，x2a.因?yàn)閍1，所以01，且a.所以在區(qū)間上，f(x)0；在區(qū)間上，f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明由題意可得，當(dāng)a3，)時(shí)，f(x1)f(x2)(x1，x20，且x1x2)即11，所以a，a3，)因?yàn)閤1，x20，且x1x2，所以x1x22恒成立，所以，又x1x20，所以a，整理得x1x2.令g(a)，因?yàn)閍3，)，所以g(a)在3，)上單調(diào)遞減，所以g(a)在3，)上的最大值為g(3)，所以x1x2.考點(diǎn)四：定積分【例4】(2012·豐臺(tái)二模)由曲線y與yx，x4以及x軸所圍成的封閉圖形的面積是A.B.Cln 4Dln 41審題導(dǎo)引作出圖形，找到所求面積的區(qū)域以及邊界坐標(biāo)，利用定積分求解規(guī)范解答如圖，面積Sxdxdxx2ln xln 4.答案C【規(guī)律總結(jié)】定積分的應(yīng)用及技巧(1)對(duì)被積函數(shù)，要先化簡(jiǎn)，再求定積分(2)求被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分的性質(zhì)，分段求定積分再求和(3)對(duì)含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要去掉絕對(duì)值符號(hào)才能求定積分(4)應(yīng)用定積分求曲邊梯形的面積，解題的關(guān)鍵是利用兩條曲線的交點(diǎn)確定積分區(qū)間以及結(jié)合圖形確定被積函數(shù)求解兩條曲線圍成的封閉圖形的面積一般是用積分區(qū)間內(nèi)上方曲線減去下方曲線對(duì)應(yīng)的方程、或者直接作差之后求積分的絕對(duì)值，否則就會(huì)求出負(fù)值易錯(cuò)提示在使用定積分求兩曲線圍成的圖形的面積時(shí)，要注意根據(jù)曲線的交點(diǎn)判斷這個(gè)面積是怎樣的定積分，既不要弄錯(cuò)積分的上下限，也不要弄錯(cuò)被積函數(shù)【變式訓(xùn)練】4(2012·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)3x22x1，若f(x)dx2f(a)(a0)成立，則a_.解析因?yàn)閒(x)dx(3x22x1)dx(x3x2x)4，所以2(3a22a1)4a1或a.又a0，a.答案名師押題高考【押題1】若函數(shù)f(x)x·ex，則下列命題正確的是Aa，xR，f(x)aBa，xR，f(x)aCxR，a，f(x)aDxR，a，f(x)a解析f(x)ex(1x)，令f(x)0，則x1，令f(x)0，則x1.f(x)maxf(x)極大f(1).由圖知a，xR，f(x)a，故選A.答案A押題依據(jù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題是高考的重點(diǎn)內(nèi)容本題以命題為載體考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化了的數(shù)學(xué)思想方法，考查了能力，故押此題【押題2】設(shè)f(x)，其中a為正實(shí)數(shù)(1)當(dāng)a時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn)；(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍解析對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)ex.(1)當(dāng)a時(shí)，若f(x)0，則4x28x30，解得x1，x2，f(x)，f(x)隨x的變化情況如下： xf(x)00f(x)極大值極小值所以，x1是f(x)的極小值點(diǎn)，x2是f(x)的極大值點(diǎn)(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)在R上不變號(hào)，結(jié)合與條件a0，知ax22ax10在R上恒成立，因此4a24a4a(a1)0，由此并結(jié)合a0，知0a1.押題依據(jù)本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值與極值，利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，符合高考的要求能夠考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用的掌握情況，難度適中且有一定的區(qū)分度，故押此題