2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 第5講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教案

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1、第5講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2020遼寧)函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為A(1,1 B(0,1C1,) D(0,)解析根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于0的解集就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求解由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?0,),又由yx0,解得0x1,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1答案B2(2020安徽)設(shè)函數(shù)f(x)aexb(a0)(1)求f(x)在0,)內(nèi)的最小值;(2)設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為yx,求a、b的值解析(1)f(x)aex,當(dāng)f(x)0,即xln a時(shí),f(x)在(ln a,)上遞增;當(dāng)f(x)0,即xln a時(shí),f(x)在(,ln a)上遞減當(dāng)0a1時(shí),l

2、n a0,f(x)在(0,ln a)上遞減,在(ln a,)上遞增,從而f(x)在0,)上的最小值為f(ln a)2b;當(dāng)a1時(shí),ln a0,f(x)在0,)上遞增,從而f(x)在0,)上的最小值為f(0)ab.(2)依題意f(2)ae2,解得ae22或ae2(舍去),所以a,代入原函數(shù)可得2b3,即b,故a,b.考題分析在每年的高考命題中都有導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的解答題出現(xiàn),是高考試題的壓軸題,難度較大,主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及根據(jù)單調(diào)性、極值、最值等確定參數(shù)的值或范圍,解題的方法也是靈活多樣,但導(dǎo)數(shù)的工具性都會(huì)有很突出的體現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例1】(202

3、0臨沂模擬)已知函數(shù)f(x),其中aR.(1)當(dāng)a1時(shí),求曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間審題導(dǎo)引(1)直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決;(2)根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)是一個(gè)分式,但分式的分母符號(hào)確定,其分子是一個(gè)多項(xiàng)式,所以討論函數(shù)的單調(diào)性等價(jià)于討論這個(gè)分子多項(xiàng)式的符號(hào)規(guī)范解答(1)當(dāng)a1時(shí),f(x),f(x)2.由f(0)2,得曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程是2xy0.(2)f(x)2.當(dāng)a0時(shí),f(x).所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,0)上單調(diào)遞減當(dāng)a0,f(x)2a.當(dāng)a0時(shí),令f(x)0,得x1a,x2,f(x)與f(x)的情況如下:

4、x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f(x)00f(x)f(x1)f(x2)故f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(,a),;單調(diào)增區(qū)間是.當(dāng)a0時(shí),f(x)與f(x)的情況如下:x(,x2)x2(x2,x1)x1(x1,)f(x)00f(x)f(x2)f(x1)所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是,(a,);單調(diào)減區(qū)間是.綜上,a0時(shí),f(x)在(,a),單調(diào)遞減;在單調(diào)遞增a0時(shí),f(x)在(0,)單調(diào)遞增,在(,0)單調(diào)遞減;a0時(shí),f(x)在,(a,)單調(diào)遞增;在單調(diào)遞減【規(guī)律總結(jié)】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在其單調(diào)性研究的作用(1)當(dāng)函數(shù)在一個(gè)指定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)時(shí),需要這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)不改變符號(hào)(即恒大于或

5、者等于零、恒小于或者等于零),當(dāng)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)不單調(diào)時(shí),這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定變號(hào),如果導(dǎo)數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線,這個(gè)導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定存在變號(hào)的零點(diǎn),可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的研究(2)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,在函數(shù)解析式中若含有字母參數(shù)時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論,這種分類(lèi)討論首先是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行,其次要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)在其定義域內(nèi)的情況進(jìn)行,如果這樣的點(diǎn)不止一個(gè),則要根據(jù)字母參數(shù)在不同范圍內(nèi)取值時(shí),導(dǎo)數(shù)等于零的根的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論,最后在分類(lèi)解決問(wèn)題后要整合一個(gè)一般的結(jié)論易錯(cuò)提示在利用“若函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,則f(x)0”求參數(shù)的范圍時(shí),注意不要漏掉“等號(hào)”【

6、變式訓(xùn)練】1(2020臨川五月模擬)已知函數(shù)f(x)ln x.(1)若函數(shù)f(x)在1,)上為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解析(1)f(x)ln x,f(x)(a0)函數(shù)f(x)在1,)上為增函數(shù),f(x)0對(duì)x1,)恒成立,ax10對(duì)x1,)恒成立,即a對(duì)x1,)恒成立,a1.(2)a0,f(x),x0,當(dāng)a0時(shí),f(x)0對(duì)x(0,)恒成立,f(x)的增區(qū)間為(0,),當(dāng)a0時(shí),f(x)0x,f(x)0x,f(x)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.考點(diǎn)二:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值【例2】(2020朝陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)aln xx(a0)(1)若曲線yf(x)在

7、點(diǎn)(1,f(1)處的切線與直線x2y0垂直,求實(shí)數(shù)a的值;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(3)當(dāng)a(,0)時(shí),記函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求證:g(a)e2.審題導(dǎo)引(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求;(2)討論函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)可知f(x)的單調(diào)性;(3)利用(2)中函數(shù)f(x)的單調(diào)性求出f(x)的最小值g(a),并求g(a)的最大值可證不等式規(guī)范解答(1)f(x)的定義域?yàn)閤x0f(x)1(x0)根據(jù)題意,有f(1)2,所以2a2a30,解得a1或a.2)f(x)1(x0)當(dāng)a0時(shí),因?yàn)閤0,由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得xa;由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得

8、0xa.所以函數(shù)f(x)在(a,)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減當(dāng)a0時(shí),因?yàn)閤0,由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得x2a;由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得0x2a.所以函數(shù)f(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減,在(2a,)上單調(diào)遞增(3)證明由(2)知,當(dāng)a(,0)時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為g(a),且g(a)f(2a)aln(2a)2aaln(2a)3a.g(a)ln(2a)a3ln(2a)2,令g(a)0,得ae2.當(dāng)a變化時(shí),g(a),g(a)的變化情況如下表:ae2g(a)0g(a)極大值e2是g(a)在(,0)上的唯一極值點(diǎn),且是極大值點(diǎn),從而也是g(a)的最大值點(diǎn)

9、所以g(a)最大值ge2ln3e2ln e2e2e2.所以,當(dāng)a(,0)時(shí),g(a)e2成立【規(guī)律總結(jié)】1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的一般步驟(1)確定定義域(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)(3)若求極值,則先求方程f(x)0的根,再檢驗(yàn)f(x)在方程根左、右值的符號(hào),求出極值(當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)要注意分類(lèi)討論根是否在定義域內(nèi))若已知極值大小或存在的情況,則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況,從而求解2求函數(shù)yf(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值【

10、變式訓(xùn)練】2(2012濟(jì)南模擬)某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)2013年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位:萬(wàn)人)與x的關(guān)系近似地滿(mǎn)足p(x)x(x1)(392x),(xN,且x12)已知第x月的人均消費(fèi)額q(x)(單位:元)與x的近似關(guān)系是q(x)(1)寫(xiě)出2013年第x月的旅游人數(shù)f(x)(單位:人)與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)試問(wèn):2013年哪個(gè)月旅游消費(fèi)總額最大?最大月旅游消費(fèi)總額為多少元?解析(1)當(dāng)x1時(shí),f(1)p(1)37,當(dāng)2x12,且xN時(shí),f(x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)(x1)x(412x)3x240x.驗(yàn)證x1符合f(x)3x240x(xN,且1x12)(2)第

11、x月旅游消費(fèi)總額為g(x)即g(x)當(dāng)1x6,且xN時(shí),g(x)18x2370x1 400,令g(x)0,解得x5,x(舍去)當(dāng)1x5時(shí),g(x)0,當(dāng)5x6時(shí),g(x)0,當(dāng)x5時(shí),g(x)maxg(5)3 125(萬(wàn)元)當(dāng)7x12,且xN時(shí),g(x)480x6 400是減函數(shù),當(dāng)x7時(shí),gmax(x)g(7)3 040(萬(wàn)元),綜上,2013年第5月份的旅游消費(fèi)總額最大,最大消費(fèi)總額為3 125萬(wàn)元考點(diǎn)三:利用導(dǎo)數(shù)研究不等式【例3】(2012長(zhǎng)治模擬)設(shè)函數(shù)f(x)ax2xln x(2a1)xa1(aR)(1)當(dāng)a0時(shí),求函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(e,f(e)處的切線方程;(2)對(duì)任意的x1,)

12、函數(shù)f(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍審題導(dǎo)引(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義kf(x0)求出切線方程;(2)討論a的取值求出f(x)在1,)上的最小值,由最小值大于等于0恒成立求a的范圍規(guī)范解答(1)當(dāng)a0時(shí),f(x)xln xx1,由f(x)ln x,則kf(e)1,f(e)1,函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(e,f(e)處的切線方程為y1(xe),即xy1e0.(2)f(x)2ax1ln x(2a1)2a(x1)ln x,易知,ln xx1,則f(x)2a(x1)(x1)(2a1)(x1),當(dāng)2a10,即a時(shí),由x1,)得f(x)0恒成立,f(x)在1,)上單調(diào)遞增,f(x)f(1)0符合題意所以a.當(dāng)a

13、0時(shí),由x1,)得f(x)0恒成立,f(x)在1,)上單調(diào)遞減,f(x)f(1)0顯然不成立,a0舍去當(dāng)0a時(shí),由ln xx1,得ln1,即ln x1,則f(x)2a(x1)(2ax1)因?yàn)?a,所以1.x時(shí),f(x)0恒成立,f(x)在1,)上單調(diào)遞減,f(x)f(1)0顯然不成立,0a舍去綜上可得:a.【規(guī)律總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題的類(lèi)型(1)不等式恒成立:基本思路就是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或函數(shù)值域的端點(diǎn)值問(wèn)題(2)比較兩個(gè)數(shù)的大小:一般的解決思路是把兩個(gè)函數(shù)作差后構(gòu)造一個(gè)新函數(shù),通過(guò)研究這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值與零的大小確定所比較的兩個(gè)函數(shù)的大小(3)證明不等式:對(duì)于只含有一個(gè)變量的不等式都可

14、以通過(guò)構(gòu)造函數(shù),然后利用函數(shù)的單調(diào)性和極值解決【變式訓(xùn)練】3(2012濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)ln xx(a1)(1)試討論f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性;(2)當(dāng)a3,)時(shí),曲線yf(x)上總存在相異兩點(diǎn)P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2),使得曲線yf(x)在點(diǎn)P,Q處的切線互相平行,求證:x1x2.解析(1)由已知x0,f(x)1.由f(x)0,得x1,x2a.因?yàn)閍1,所以01,且a.所以在區(qū)間上,f(x)0;在區(qū)間上,f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(2)證明由題意可得,當(dāng)a3,)時(shí),f(x1)f(x2)(x1,x20,且x1x2)即11,所以a,a3,)

15、因?yàn)閤1,x20,且x1x2,所以x1x22恒成立,所以,又x1x20,所以a,整理得x1x2.令g(a),因?yàn)閍3,),所以g(a)在3,)上單調(diào)遞減,所以g(a)在3,)上的最大值為g(3),所以x1x2.考點(diǎn)四:定積分【例4】(2012豐臺(tái)二模)由曲線y與yx,x4以及x軸所圍成的封閉圖形的面積是A.B.Cln 4Dln 41審題導(dǎo)引作出圖形,找到所求面積的區(qū)域以及邊界坐標(biāo),利用定積分求解規(guī)范解答如圖,面積Sxdxdxx2ln xln 4.答案C【規(guī)律總結(jié)】定積分的應(yīng)用及技巧(1)對(duì)被積函數(shù),要先化簡(jiǎn),再求定積分(2)求被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分,依據(jù)定積分的性質(zhì),分段求定積分再求和(3

16、)對(duì)含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù),要去掉絕對(duì)值符號(hào)才能求定積分(4)應(yīng)用定積分求曲邊梯形的面積,解題的關(guān)鍵是利用兩條曲線的交點(diǎn)確定積分區(qū)間以及結(jié)合圖形確定被積函數(shù)求解兩條曲線圍成的封閉圖形的面積一般是用積分區(qū)間內(nèi)上方曲線減去下方曲線對(duì)應(yīng)的方程、或者直接作差之后求積分的絕對(duì)值,否則就會(huì)求出負(fù)值易錯(cuò)提示在使用定積分求兩曲線圍成的圖形的面積時(shí),要注意根據(jù)曲線的交點(diǎn)判斷這個(gè)面積是怎樣的定積分,既不要弄錯(cuò)積分的上下限,也不要弄錯(cuò)被積函數(shù)【變式訓(xùn)練】4(2012濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)3x22x1,若f(x)dx2f(a)(a0)成立,則a_.解析因?yàn)閒(x)dx(3x22x1)dx(x3x2x)4,所以2

17、(3a22a1)4a1或a.又a0,a.答案名師押題高考【押題1】若函數(shù)f(x)xex,則下列命題正確的是Aa,xR,f(x)aBa,xR,f(x)aCxR,a,f(x)aDxR,a,f(x)a解析f(x)ex(1x),令f(x)0,則x1,令f(x)0,則x1.f(x)maxf(x)極大f(1).由圖知a,xR,f(x)a,故選A.答案A押題依據(jù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題是高考的重點(diǎn)內(nèi)容本題以命題為載體考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化了的數(shù)學(xué)思想方法,考查了能力,故押此題【押題2】設(shè)f(x),其中a為正實(shí)數(shù)(1)當(dāng)a時(shí),求f(x)的極值點(diǎn);(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍解析對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)ex.(1)當(dāng)a時(shí),若f(x)0,則4x28x30,解得x1,x2,f(x),f(x)隨x的變化情況如下: xf(x)00f(x)極大值極小值所以,x1是f(x)的極小值點(diǎn),x2是f(x)的極大值點(diǎn)(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),則f(x)在R上不變號(hào),結(jié)合與條件a0,知ax22ax10在R上恒成立,因此4a24a4a(a1)0,由此并結(jié)合a0,知0a1.押題依據(jù)本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值與極值,利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍,符合高考的要求能夠考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用的掌握情況,難度適中且有一定的區(qū)分度,故押此題

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