八年級數(shù)學(xué)暑假專題輔導(dǎo) 相似三角形

上傳人:艷*** 文檔編號:109610043 上傳時間:2022-06-17 格式:DOC 頁數(shù):7 大?。?6.50KB
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1、 暑假專題——相似三角形 重點、難點: 1. 通過探索兩個三角形相似的識別方法,加強合情推理能力的培養(yǎng),感受發(fā)現(xiàn)的樂趣,逐步掌握說理的基本方法。 2. 通過相似三角形性質(zhì)復(fù)習(xí),豐富與角、面積等相關(guān)的知識方法,開闊研究角、面積等問題的視野。 【知識縱橫】 1. 相似三角形 對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形(similar triangles)。 議一議: (1)兩個全等三角形一定相似嗎?為什么? (2)兩個直角三角形一定相似嗎?兩個等腰直角三角形呢?為什么? (3)兩個等腰三角形一定相似嗎?兩個等邊三角形呢?為什么? 2. 相似比 相似三角形

2、對應(yīng)邊的比叫做相似比。 說明:相似比要注意順序:如△ABC∽△A'B'C'的相似比,而△A'B'C'∽△ABC的相似比,這時。 3. 相似三角形的識別 (1)如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似。 (2)如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似。 (3)如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例,那么這兩個三角形相似。 【典型例題】 例1. 如圖,∠1=∠2=∠3,圖中相似三角形有( )對。 答:4對 例2. 如圖,已知:△ABC、△DEF,其中∠A=50°,

3、∠B=60°,∠C=70°,∠D=40°,∠E=60°,∠F=80°,能否分別將兩個三角形分割成兩個小三角形,使△ABC所分成的每個三角形與△DEF所分成的每個三角形分別對應(yīng)相似? 如果可能,請設(shè)計一種分割方案;若不能,說明理由。 解: 例3. (2008·廣東?。┤鐖D所示,四邊形ABCD是平行四邊形,點F在BA的延長線上,連結(jié)CF交AD于點E。 (1)求證:△CDE∽△FAE; (2)當(dāng)E是AD的中點,且BC=2CD時,求證:∠F=∠BCF。 命題意圖:相似三角形的識別、特征在解題中的應(yīng)用。 解析:由AB∥DC得:∠F=∠DCE,∠EAF=∠D ∴△CDE∽△

4、FAE ,又E為AD中點 ∴DE=AE,從而CD=FA,結(jié)合已知條件,易證 BF=BC,∠F=∠BCF 解:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB∥CD ∴∠F=∠DCE,∠EAF=∠D ∴△CDE∽△FAE (2)∵E是AD中點,∴DE=AE 由(1)得: ∴CD=AF ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB=CD ∴AB=CD=AF ∴BF=2CD,又BC=2CD ∴BC=BF ∴∠F=∠BCF 思路探究:平行往往是證兩個三角形相似的重要條件,利用比例線段也可證明兩線段相等。 例4. 在梯形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,點P在線段AB上從A

5、向B運動, (1)是否存在一個時刻使△ADP∽△BCP; (2)若AD=4,BC=6,AB=10,使△ADP∽△BCP,則AP的長度為多少? 解:(1)存在 (2)若△ADP∽△BCP,則 設(shè) 或 或 或 ∴AP長度為4或6 例5. 如圖,在平行四邊形ABCD中,E為CD上一點,DE:CE=2:3,連結(jié)AE、BE、BD,且AE、BD交于點F,則( ) A. 4:10:25 B. 4:9:25 C. 2:3:5 D. 2:5:25 (2001年黑龍江省中考題) 思路點撥:運用與面積相關(guān)知識,把面積比轉(zhuǎn)化為線段比。 ∴選A 例

6、6. 如圖,有一批形狀大小相同的不銹鋼片,呈直角三角形,已知∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,試設(shè)計一種方案,用這批不銹鋼片裁出面積達最大的正方形不銹鋼片,并求出這種正方形不銹鋼片的邊長。 思路點撥:要在三角形內(nèi)裁出面積最大的正方形,那么這正方形所有頂點應(yīng)落在△ABC的邊上,先畫出不同方案,把每種方案中的正方形邊長求出。 解:如圖甲,設(shè)正方形EFGH邊長為x,則AC=4 而CD×AB=AC×BC=,得 又△CEH∽△CAB,得 于是,解得: 如圖乙,設(shè)正方形CFGH的邊長為y cm 由GH∥AC,得: 即,解得: 即應(yīng)如圖乙那樣裁剪,這時正方形面積達最大,

7、它的邊長為 例7. 如圖,已知直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,設(shè),,作DE⊥DC,DE交AB于點E,連結(jié)EC。 (1)試判斷△DCE與△ADE、△DCE與△BCE是否分別一定相似?若相似,請加以證明。 (2)如果不一定相似,請指出a、b滿足什么關(guān)系時,它們就能相似? 解:(1)△DCE與△ADE一定相似,△DCE與△BCE不一定相似,分別延長BA、CD交于F點 由△FAD∽△FBC,得: 于是FD=DC,從而可證△FED≌△CED 得∠AED=∠DEC 所以△DEC∽△AED (2)作CG⊥AD交AD延長線于G, 由△AED∽△GDC,有,得

8、要使△DCE與△BCE相似,那么一定成立 即,得 也就是當(dāng)時,△DCE與△BCE一定相似。 【模擬試題】(答題時間:40分鐘) 1. 如圖,已知DE∥BC,CD和BE相交于O,若,則AD:DB=____________。 2. 如圖,△ABC中,CE:EB=1:2,DE∥AC,若△ABC的面積為S,則△ADE的面積為____________。 3. 若正方形的4個頂點分別在直角三角形的3條邊上,直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm,則此正方形的邊長為____________。 (2000年武漢市中考題) 4. 閱讀下面的短文,并解答下列問題: 我們把相似形

9、的概念推廣到空間:如果兩個幾何體大小不一定相等,但形狀完全相同,就把它們叫做相似體。 如圖,甲、乙是兩個不同的正方體,正方體都是相似體,它們的一切對應(yīng)線段之比都等于相似比:,設(shè)分別表示這兩個正方體的表面積,則,又設(shè)分別表示這兩個正方體的體積,則。 (1)下列幾何體中,一定屬于相似體的是( ) A. 兩個球體 B. 兩個圓錐體 C. 兩個圓柱體 D. 兩個長方體 (2)請歸納出相似體的3條主要性質(zhì): ①相似體的一切對應(yīng)線段(或?。╅L的比等于____________; ②相似體表面積的比等于____________; ③相似體體積的比等于____________

10、。 (2001年江蘇省泰州市中考題) 5. 如圖,鐵道口的欄桿短臂長1 m,長臂長16 m,當(dāng)短臂端點下降0.5 m時,長臂端點升高( ) A. 11.25 m B. 6.6 m C. 8 m D. 10.5 m 6. 如圖,D為△ABC的邊AC上的一點,∠DBC=∠A,已知,△BCD與△ABC的面積的比是2:3,則CD的長是( ) A. B. C. D. 7. 如圖,在正三角形ABC中,D、E分別在AC、AB上,且,AE=BE,則有( ) A. △AED∽△BED B. △AED∽△CBD C. △AED∽△ABD

11、 D. △BAD∽△BCD (2001年杭州市中考題) 8. 如圖,已知△ABC中,DE∥FG∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,則等于( ) A. 1:9:36 B. 1:4:9 C. 1:8:27 D. 1:8:36 9. 如圖,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ACD=∠B,求證: 10. 如圖,△ABC中,D是BC邊上的中點,且AD=AC,DE⊥BC,DE與AB相交于點E,EC與AD相交于點F。 (1)求證:△ABC∽△FCD; (2)若,求DE的長。 (2000年河北省中考題) 11. 閱讀并解答問題。 在給定的銳角△ABC中,

12、求作一個正方形DEFG,使D、E落在BC上,F(xiàn)、G分別落在AC、AB邊上,作法如下: 第一步:畫一個有3個頂點落在△ABC兩邊上的正方形D'E'F'G'。 第二步:連結(jié)BF',并延長交AC于點F; 第三步:過F點作FE⊥BC于E; 第四步:過F點作FG∥BC交AB于點G; 第五步:過G點作GD⊥BC于點D。 四邊形DEFG即為所求作的四邊形DEFG,為正方形。 問題: (1)證明上述所求作的四邊形DEFG為正方形; (2)在△ABC中,如果,∠BAC=75°,求上述正方形DEFG的邊長。 (江蘇省揚州市中考題) 12. 如圖,在△ABC中,,在BC上有100個不同的點

13、,過這100個點分別作△ABC的內(nèi)接矩形…,設(shè)每個內(nèi)接矩形的周長分別為,則 ____________。 (安徽省競賽題) 13. 如圖,在△ABC中,DE∥FG∥BC,GI∥EF∥AB,若△ADE、△EFG、△GIC的面積分別為,則△ABC的面積為____________。 14. 如圖,一個邊長為3、4、5厘米的直角三角形的一個頂點與正方形的頂點B重合,另兩個頂點分別在正方形的兩條邊AD、DC上,那么這個正方形的面積是____________厘米2。 (第11屆“希望杯”邀請賽試題) 15. 如圖,將一個矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點連線對折,要使矩形AEFB與原

14、矩形相似,則原矩形的長與寬的比為( ) A. 2:1 B. C. D. 1:1 16. 如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=3AB,EF∥CD,EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分,則AE:ED等于( ) A. 2 B. C. D. 【試題答案】 1. 3:1 2. 3. 或 4. (1)A;(2)相似比;相似比的平方;相似比的立方 5. C 6. C 7. B 8. C 9. 由△ABC∽△DCA,得 10. (1)略 (2)過A作AM⊥BC于M 由△ABC∽△FCD,得: 又,得 ∵DE∥AM, ,得 11. (1)易證明四邊形EFGD為矩形,由,而,得EF=GF,故四邊形EFGD為正方形。 (2)過A作AQ⊥BC于Q交GF于P,且AQ=BQ,∠BCA=60°,∠QAC=30°,,又 即,解得 由,得 12. 400 提示:從內(nèi)接一個矩形入手,探求內(nèi)接△ABC中任一矩形的長與寬的關(guān)系。 13. 提示: 14. 解:設(shè),則 由△BCE∽△EDF,得 又,即 15. C 16. C 提示:延長DA、CB相交于G, 設(shè),則 即

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