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1、6.3 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃
一、選擇題
1．點P(a,3)到直線4x－3y＋1＝0的距離為4，且在不等式2x＋y＜3表示的平面區(qū)域內(nèi)，則a的值是( )
A．－3 B．3 C．7 D．－7
解析：依題意2a＋3＜3，∴a＜0，又＝4，∴a＝7(舍)或a＝－3，故a＝－3.
答案：A
2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應(yīng)是下列圖形中的( )
解析：(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?或
答案：C
3．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組，表示的平面區(qū)域的面積是( )
A．4 B．
2、4 C．2 D．2
解析：不等式組表示的平面區(qū)域如右圖所示．
S△ABC＝AB·AC＝4.
答案：B
4．(2009·西安調(diào)研)如右圖，已知平面區(qū)域D由以A(1,3)，B(5,2)，C(3,1)為頂點的三角形內(nèi)部和邊界組成，若在區(qū)域D上有無窮多個點(x，y)可使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，則m等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．4
答案：C
二、填空題
5．已知變量x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)ξ＝ax＋y(其中a＞0)僅在點(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍為________．
解析：由約束條件表示的可行域如圖所示，作
3、直線l：ax＋y＝0，過(3,0)點作l的平行線l′，則直線l′界于直線x＋2y－3＝0與過(3,0)點與x軸垂直的直線之間，因此，－a＜－，即a＞.
答案：
6．某實驗室需購某種化工原料106千克，現(xiàn)在市場上有兩種包裝，一種是每袋35千克，價格為140元；另一種是每袋24千克，價格為120元，在滿足需要的條件下，最少要花費________元．
解析：如圖，設(shè)購買第一種包裝x袋，第二種包裝y袋，由已知條件35x＋24y≥106，x≥0，y≥0，則當(dāng)x＝1，y＝3時，z＝140x＋120y，取到最小值500元．
答案：500
7．已知點P(x，y)滿足不等式組則動點M(cos
4、θ，sin θ)(θ∈R)到點P的距離|PM|的取值范圍是________．
解析：本題考查線性規(guī)劃及參數(shù)方程；據(jù)題意可知動點M(cos θ，sin θ)的軌跡方程為x2＋y2＝1，
如圖作出可行域，可知圓心到可行域內(nèi)點的連線中，圓心到直線x＋y＝4的距離2最小，與點A(4,3)間的距離5最大，結(jié)合圓的知識可知圓上的所有的點與可行域內(nèi)的距離最小值即為2－1，最大值為5＋1＝6.
答案：[2－1,6]
三、解答題
8．已知x2＋y2在x，y取何值時取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？
解答：如圖所示可作出不等式組表示的區(qū)域，過原點O作OB垂直于直線2x＋y－2＝0，垂足為
5、B，則x2＋y2在A、B點分別取得了最大值和最小值．
由得即A(2,3)．
由得即B(，)．
∴x2＋y2的最大值和最小值分別為13，.
9．某電視機廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)兩種型號電視機，每臺A型或B型電視機所得利潤分別為6和4個單位，而生產(chǎn)一臺A型或B型電視機所耗原料分別為2和3個單位；所需工時分別為4和2個單位．如果允許使用的原料為100單位，工時為120單位，且A或B型電視和產(chǎn)量分別不低于5臺和10臺．應(yīng)當(dāng)生產(chǎn)每種類型電視機多少臺，才能使利潤最大？
解答：如圖，設(shè)生產(chǎn)A型電視機x臺，B型電視機y臺，則根據(jù)已知條件，線性約束條件
為即
線性目標(biāo)函數(shù)為z＝6x＋4
6、y.
根據(jù)約束條件作出可行域如圖所示，作3x＋2y＝0.
解方程組得
故生產(chǎn)兩種類型電視機各20臺，所獲利潤最大．
10．有一批鋼管，長度都是4 000 mm，都要截成500 mm和600 mm 兩種毛坯，且這兩種毛坯數(shù)量比大于配套．怎樣截最合理(即損耗最小)?
解答：設(shè)要截成500 mm、600 mm兩種毛坯各x根、y根，則線性約束條件為
即
線性目標(biāo)函數(shù)u＝500x＋600y，如圖作出可行域，可觀察出目標(biāo)函數(shù)在A(2,5)處取得最大值．即截出500 mm，600 mm的兩種毛坯分別為2根，5根最為合理．
1． 設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為M，使函數(shù)y＝ax(
7、a>0，a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是( )
A．[1,3] B．[2，] C．[2,9] D．[，9]
解析：區(qū)域M是三條直線相交構(gòu)成的三角形(如圖)，顯然a>1，只需研究過(1,9)、(3,8)兩種情形，a1≤9且a3≥8即2≤a≤9.
答案：C
2．甲、乙兩地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，它們可調(diào)出的數(shù)量分別為300 t，750 t，A、B、C三地需要該產(chǎn)品數(shù)量分別為200 t，450 t，400 t，甲地運往A、B、C三地的費用分別為6元/t，3元/t，5元/t，乙地運往A、B、C三地費用分別為5元/t，9元/t，6元/t，問怎樣調(diào)運，才能使總運費最??？
解答：設(shè)從甲到A調(diào)運x t，從甲到B調(diào)運y t，從甲到C調(diào)運(300－x－y)t；則從乙到A調(diào)運(200－x)t，從乙到B調(diào)運(450－y)t，從乙到C調(diào)運(100＋x＋y)t；設(shè)調(diào)運的總費用為z元，則z＝6x＋3y＋5(300－x－y)＋5(200－x)＋9(450－y)＋6(100＋x＋y)＝2x－5y＋7 150.
知整理得
根據(jù)上述約束條件可作出可行域如右圖，作2x－5y＝0，可觀察出最優(yōu)解為(0,300)．即從甲到B調(diào)運300 t，從乙運到A 200 t，從乙運到B150 t，從乙運到C400 t，總費用最省．
6.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃
