2019年高考真題——文科數(shù)學(xué)（天津卷）解析版[檢測復(fù)習(xí)]

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絕密★啟用前 2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷） 數(shù) 學(xué)（文史類） 本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁。 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利 第Ⅰ卷 注意事項： 1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。 2.本卷共8小題，每小題5分共40分。 參考公式： 如果事件A，B互斥，那么. 圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高 棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.設(shè)集合， ， ，則 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 【答案】D 【解析】 【分析】 先求，再求。 【詳解】因為， 所以. 故選D。 【點睛】集合的運算問題，一般要先研究集合中元素的構(gòu)成，能化簡的要先化簡，同時注意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、坐標系、韋恩圖等進行運算． 2.設(shè)變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 畫出可行域，用截距模型求最值。 【詳解】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分。 目標函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距， 故目標函數(shù)在點處取得最大值。 由，得， 所以。 故選C。 【點睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域，分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值或范圍．即：一畫，二移，三求． 3.設(shè)，則“”是“”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】 【分析】 求出的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定. 【詳解】等價于，故推不出； 由能推出。 故“”是“”的必要不充分條件。 故選B。 【點睛】充要條件的三種判斷方法： (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷； (2)集合法：根據(jù)由p，q成立的對象構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系進行判斷； (3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題． 4.閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的值為 A. 5 B. 8 C. 24 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)程序框圖，逐步寫出運算結(jié)果。 【詳解】， 結(jié)束循環(huán)，故輸出。 故選B。 【點睛】解答本題要注意要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會判斷什么時候終止循環(huán)體． 5.已知，，，則的大小關(guān)系為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大小。 【詳解】； ； 。 故。 故選A。 【點睛】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對待。 6.已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為 A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率。 【詳解】拋物線的準線的方程為， 雙曲線的漸近線方程為， 則有 ∴，，， ∴。 故選D。 【點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度。 7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為.若，則 A. -2 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可。 【詳解】為奇函數(shù)，可知， 由可得； 把其圖象上各點的橫坐標伸長到原來的倍，得， 由的最小正周期為可得， 由，可得， 所以，。 故選C。 8.已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個互異的實數(shù)解，則的取值范圍為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 畫出圖象及直線，借助圖象分析。 【詳解】如圖，當直線位于點及其上方且位于點及其下方， 或者直線與曲線相切在第一象限時符合要求。 即，即， 或者，得，，即，得， 所以的取值范圍是。 故選D。 【點睛】根據(jù)方程實根個數(shù)確定參數(shù)范圍，常把其轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)，特別是其中一條為直線時常用此法。 絕密★啟用前 第Ⅱ卷 注意事項： 1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。 2.本卷共12小題，共110分。 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。 9.是虛數(shù)單位，則的值為__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的定義求所給復(fù)數(shù)的模。 【詳解】。 【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的運算，是基礎(chǔ)題. 10. 設(shè)，使不等式成立的取值范圍為__________. 【答案】 【解析】 【分析】 通過因式分解，解不等式。 【詳解】， 即， 即， 故的取值范圍是。 【點睛】解一元二次不等式的步驟：(1)將二次項系數(shù)化為正數(shù)；(2)解相應(yīng)的一元二次方程；(3)根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；(4)寫出不等式的解集．容易出現(xiàn)的錯誤有：①未將二次項系數(shù)化正，對應(yīng)錯標準形式；②解方程出錯；③結(jié)果未按要求寫成集合． 11. 曲線在點處的切線方程為__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率，再用點斜式寫出切線方程。 【詳解】， 當時其值為， 故所求的切線方程為，即。 【點睛】曲線切線方程的求法： (1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟： ①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)； ②求切線的斜率f′(x0)； ③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡． (2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程． 12.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________. 【答案】. 【解析】 【分析】 根據(jù)棱錐結(jié)構(gòu)特點，確定所求的圓柱的高和底面半徑。 【詳解】由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，故圓柱的高為，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，圓柱的底面半徑為，故圓柱的體積為。 【點睛】圓柱的底面半徑是棱錐底面對角線長度的一半、不是底邊棱長的一半。 13. 設(shè)，，，則的最小值為__________. 【答案】. 【解析】 【分析】 把分子展開化為，再利用基本不等式求最值。 【詳解】， 等號當且僅當，即時成立。 故所求的最小值為。 【點睛】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立。 14. 在四邊形中，， ， ， ，點在線段的延長線上，且，則__________. 【答案】. 【解析】 【分析】 建立坐標系利用向量的坐標運算分別寫出向量而求解。 【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，則，。 因為∥，，所以， 因為，所以， 所以直線斜率為，其方程為， 直線的斜率為，其方程為。 由得，， 所以。 所以。 【點睛】平面向量問題有兩大類解法：基向量法和坐標法，在便于建立坐標系的問題中使用坐標方法更為方便。 三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 15.2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項附加扣除的享受情況. （Ⅰ）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如右表，其中“”表示享受，“”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪. 員工 項目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ ○ ○ 繼續(xù)教育 ○ ○ ○ 大病醫(yī)療 ○ 住房貸款利息 ○ ○ ○ ○ 住房租金 ○ 贍養(yǎng)老人 ○ ○ ○ （i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； （ii）設(shè)為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件發(fā)生的概率. 【答案】（I）6人，9人，10人； （II）（i）見解析；（ii）. 【解析】 【分析】 （I）根據(jù)題中所給的老、中、青員工人數(shù)，求得人數(shù)比，利用分層抽樣要求每個個體被抽到的概率是相等的，結(jié)合樣本容量求得結(jié)果； （II）（I）根據(jù)6人中隨機抽取2人，將所有的結(jié)果一一列出； （ii）根據(jù)題意，找出滿足條件的基本事件，利用公式求得概率. 【詳解】（I）由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為， 由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工， 因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人. （II）（i）從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結(jié)果為 ,,,,共15種； （ii）由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為,,,,共11種， 所以，時間M發(fā)生的概率. 【點睛】本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型即其概率計算公式等基本知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力. 16. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值. 【詳解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得， 又由，得，即. 又因為，得到，. 由余弦定理可得 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得， 從而，. 故. 【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查計算求解能力. 17. 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）設(shè)分別為的中點，求證：平面； （Ⅱ）求證：平面； （Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（I）見解析；（II）見解析；（III）. 【解析】 【分析】 （I）連接，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，得到，利用線面平行的判定定理證得結(jié)果； （II）取棱的中點，連接，依題意，得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到，利用線面垂直的判定定理證得結(jié)果； （III）利用線面角的平面角的定義得到為直線與平面所成的角，放在直角三角形中求得結(jié)果. 【詳解】（I）證明：連接，易知，， 又由，故， 又因為平面，平面， 所以平面. （II）證明：取棱的中點，連接，依題意，得， 又因平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，故， 又已知，， 所以平面. （III）解：連接，由（II）中平面， 可知為直線與平面所成的角. 因為為等邊三角形，且為的中點， 所以，又， 在中，， 所以，直線與平面所成角的正弦值為. 【點睛】本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理能力. 18. 設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知， ，. （Ⅰ）求和的通項公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求. 【答案】（I），； （II） 【解析】 【分析】 （I）首先設(shè)出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，根據(jù)題意，列出方程組，求得，進而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式； （II）根據(jù)題中所給的所滿足的條件，將表示出來，之后應(yīng)用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，以及錯位相減法求和，最后求得結(jié)果. 【詳解】（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為， 依題意，得，解得， 故，， 所以，的通項公式為，的通項公式為； （II） ， 記 ① 則 ② ②①得，， 所以 . 【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前項和公式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)列求和的基本方法和運算求解能力，屬于中檔題目. 19. 設(shè)橢圓的左焦點為，左頂點為，頂點為B.已知（為原點）. （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程. 【答案】（I）首先設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意得到，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，得到，化簡得出，從而求得其離心率； （II）結(jié)合（I）的結(jié)論，設(shè)出橢圓的方程，寫出直線的方程，兩個方程聯(lián)立，求得交點的坐標，利用直線與圓相切的條件，列出等量關(guān)系式，求得，從而得到橢圓的方程. 【解析】 【分析】 （I）； （II）. 【詳解】（I）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有， 又由，消去得，解得， 所以，橢圓的離心率為. （II）解：由（I）知，，故橢圓方程為， 由題意，，則直線的方程為， 點的坐標滿足，消去并化簡，得到， 解得， 代入到的方程，解得， 因為點在軸的上方，所以， 由圓心在直線上，可設(shè)，因為， 且由（I）知，故，解得， 因為圓與軸相切，所以圓的半徑為2， 又由圓與相切，得，解得， 所以橢圓的方程為：. 【點睛】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力. 20. 設(shè)函數(shù)，其中. （Ⅰ）若，討論的單調(diào)性； （Ⅱ）若， （i）證明恰有兩個零點 （ii）設(shè)為的極值點，為的零點，且，證明. 【答案】（I）在內(nèi)單調(diào)遞增.； （II）（i）見解析；（ii）見解析. 【解析】 【分析】 （I）；首先寫出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的符號，從而得到結(jié)果； （II）（i）對函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得極值的符號，從而確定出函數(shù)的零點個數(shù)，得到結(jié)果； （ii）首先根據(jù)題意，列出方程組，借助于中介函數(shù)，證得結(jié)果. 【詳解】（I）解：由已知，的定義域為， 且， 因此當時，，從而， 所以在內(nèi)單調(diào)遞增. （II）證明：（i）由（I）知，， 令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減， 又，且， 故在內(nèi)有唯一解， 從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為， 則，當時，， 所以在內(nèi)單調(diào)遞增； 當時，， 所以在內(nèi)單調(diào)遞減， 因此是的唯一極值點. 令，則當時，，故在內(nèi)單調(diào)遞減， 從而當時，，所以， 從而， 又因為，所以在內(nèi)有唯一零點， 又在內(nèi)有唯一零點1，從而，在內(nèi)恰有兩個零點. （ii）由題意，，即， 從而，即， 以內(nèi)當時，，又，故， 兩邊取對數(shù)，得， 于是，整理得， 【點睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、不等式證明、運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法，考查函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查綜合分析問題和解決問題的能力.