五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一　完美的圖形——圓青島版(五年制)

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1、一　完美的圖形——圓 　　一、圓的定義 感知圓的特征:以前學(xué)過(guò)長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形等,都是由線段圍成的平面圖形,而圓是由曲線圍成的一種平面圖形。 二、圓的各部分名稱(chēng) 1.圓心:用圓規(guī)畫(huà)出圓以后,針尖固定的一點(diǎn)就是圓心,通常用字母O表示。 2.半徑:連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫作半徑,一般用字母r表示。 把圓規(guī)兩腳分開(kāi),兩腳之間的距離就是圓的半徑。 3.直徑:通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫作直徑,一般用字母d表示。 直徑是一個(gè)圓內(nèi)最長(zhǎng)的線段。 三、圓的主要特征 1.在同圓或等圓內(nèi),有無(wú)數(shù)條半徑,有無(wú)數(shù)條直徑。所有的半徑都相等,所有的直徑都相等。

2、 2.在同圓或等圓內(nèi),直徑的長(zhǎng)度是半徑的2倍,半徑的長(zhǎng)度是直徑的12。用字母表示為d=2r或r=d2。 3.如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折,兩側(cè)的圖形能夠完全重合,這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形且有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。 4. 畫(huà)圓的方法: (1)用手指畫(huà)圓。以大拇指為圓心,以食指與大拇指之間的距離為半徑,旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形就是圓。 (2)用線繩、圖釘和筆畫(huà)圓。用圖釘固定線繩的一端作圓心,將筆系在線繩的另一端,拉直繩子作半徑,旋轉(zhuǎn)線繩一周所形成的圖形就是圓。 (3)用圓規(guī)畫(huà)圓。將圓規(guī)的一個(gè)針腳固定在本上作圓心,用圓規(guī)兩腳間的距離作半徑,旋轉(zhuǎn)圓規(guī)一周所形成的圖形就是圓。 (

3、4)用物體的圓形面畫(huà)圓。按住物體的圓形面,用筆在物體的圓形面的圓周上畫(huà)一圈,所形成的圖形就是一個(gè)圓。 四、圓的周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí) 1.圍成圓的曲線的長(zhǎng)叫作圓的周長(zhǎng)。 2.圓的周長(zhǎng)與圓的直徑有關(guān),圓的直徑越長(zhǎng),圓的周長(zhǎng)就越大。 五、 圓周率的意義及圓的周長(zhǎng)公式 1.圓周率實(shí)驗(yàn):在圓形紙片上做個(gè)記號(hào),與直尺0刻度線對(duì)齊,在直尺上滾動(dòng)一周,求出圓的周長(zhǎng)。 2.發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,就是圓的周長(zhǎng)比它的直徑的3倍多一些。 3.圓周率:任意一個(gè)圓的周長(zhǎng)與它的直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù),我們把它叫作圓周率。用字母π(pài)表示。 4.一個(gè)圓的周長(zhǎng)總是它直徑的3倍多一些,這個(gè)比值是一個(gè)固定的數(shù)。圓周率π是一

4、個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。在計(jì)算時(shí),一般取π ≈ 3.14。 5.圓的周長(zhǎng)公式: C= πd → d = C ÷π或C=2π r → r = C ÷ 2π。 6.區(qū)分圓周長(zhǎng)的一半和半圓的周長(zhǎng): (1)圓周長(zhǎng)的一半:等于圓的周長(zhǎng)÷2。計(jì)算方法:2π r ÷ 2,即 π r。 (2)半圓的周長(zhǎng):等于圓的周長(zhǎng)的一半加直徑。 計(jì)算方法:πr+2r,即 5.14 r 。 7.正方形里最大的圓與正方形的關(guān)系。 兩者聯(lián)系:正方形的邊長(zhǎng)=圓的直徑,圓的面積=78.5%×正方形的面積。 8.在長(zhǎng)方形或正方形內(nèi)畫(huà)最大圓的方法。 (1)在正方形里畫(huà)最大的圓。 ①畫(huà)出正方形的兩條對(duì)角線;②以對(duì)角線的交點(diǎn)

5、為圓心,以邊長(zhǎng)為直徑畫(huà)圓。 (2)長(zhǎng)方形里最大的圓。 兩者聯(lián)系:寬=直徑 畫(huà)法: ①畫(huà)出長(zhǎng)方形的兩條對(duì)角線;②以對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心,以寬為直徑畫(huà)圓。 五、常用的3.14的倍數(shù) 3.14×2=6.28　　　3.14×3=9.42　　　3.14×4=12.56 3.14×5=15.7　　 3.14×6=18.84　　 3.14×7=21.98　 3.14×8=25.12　　 3.14×9=28.26　　 3.14×12=37.68 3.14×14=43.96　 3.14×16=50.24　 3.14×18=56.52　 3.14×24=75.36　 3.14×25=7

6、8.5　　 3.14×36=113.04 3.14×49=153.86　 3.14×64=200.96　 3.14×81=254.34 六、圓的面積公式 把圓拼成近似的長(zhǎng)方形,只是形狀改變了,圖形的大小并沒(méi)有發(fā)生變化,因此圓的面積=拼成的近似長(zhǎng)方形的面積。 圓的面積推導(dǎo): 圓可以切拼成近似的長(zhǎng)方形,長(zhǎng)方形的面積與圓的面積相等(即S長(zhǎng)方形=S圓);長(zhǎng)方形的寬是圓的半徑(即b=r);長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半(即a=C÷2=πr)。 S長(zhǎng)方形=a × b S圓 =πr×r =πr2 所以,S圓 =πr2。 　七、圓環(huán)的意義及面積的計(jì)算 1.圓環(huán)的意義:以同一點(diǎn)

7、為圓心,半徑不相等的兩個(gè)圓組成的圖形,兩圓之間的部分就是圓環(huán)。 2.圓環(huán)中半徑較大的圓叫作外圓,半徑較小的圓叫作內(nèi)圓。外圓半徑與內(nèi)圓半徑的差叫作環(huán)寬,兩圓中間部分的大小叫作圓環(huán)的面積。 3.外圓的半徑=內(nèi)圓半徑+1個(gè)環(huán)寬;外圓的直徑=內(nèi)圓直徑+2個(gè)環(huán)寬。 4.求圓環(huán)的面積一般是用外圓的面積減去內(nèi)圓的面積,還可以利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。S圓環(huán)=S外圓-S內(nèi)圓=πR2-πr2= π(R2-r2)。 5.幾個(gè)直徑和為n的圓的周長(zhǎng)=直徑為n的圓的周長(zhǎng)(如圖)。 八、扇形的認(rèn)識(shí) 1.扇形是由“一條弧”和“經(jīng)過(guò)這條弧兩端的兩條半徑”所圍成的圖形。 扇形是所在圓上的一部分,∠AOB

8、是圓心角;扇形是由兩條半徑和圓上一段曲線圍成的。 2.扇形與三角形的區(qū)別。 扇形是由兩條半徑和一條弧圍成的圖形;三角形是由三條線段圍成的圖形。盡管有的圖形的兩條邊也是圓的半徑,但是第三條邊不是弧,而是線段,這樣的圖形不能稱(chēng)為扇形,它是三角形?；∈菆A的一部分,是曲線,而線段是直線的一部分。 圓與其他平面圖形不同,圓是由曲線圍成的。 直徑和半徑的關(guān)系只能在同圓和等圓中。 用字母表示:d=2r。 不能說(shuō)直徑是圓的對(duì)稱(chēng)軸。因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸是一條直線。 圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小。 半徑越大,畫(huà)出的圓越大。 我們通常選用圓規(guī)畫(huà)圓

9、,既便捷又準(zhǔn)確。 世界上第一個(gè)把圓周率的值精確到7位小數(shù)的人是我國(guó)的數(shù)學(xué)家祖沖之。 在判斷時(shí),圓的周長(zhǎng)與它的直徑的比值是π,而不是3.14。 在長(zhǎng)方形或正方形內(nèi)畫(huà)最大圓,關(guān)鍵是以對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心,以正方形的邊長(zhǎng)或長(zhǎng)方形的寬為直徑。 記憶常用3.14的倍數(shù),可以使平時(shí)的計(jì)算快捷、正確。 注意:切拼后的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比圓的周長(zhǎng)多了兩條半徑。C長(zhǎng)方形=2πr+2r =C圓+d。 周長(zhǎng)相等的平面圖形中,圓的面積最大;面積相等的平面圖形中,圓的周長(zhǎng)最短。 要求圓的面積,只要知道圓的半徑或者圓半徑的平方即可。 　 幾個(gè)直徑和為n的圓的面積<直徑為n的圓的面積。 圓環(huán)的意義: 兩個(gè)同心圓形成一個(gè)圓環(huán)。 設(shè)小圓和大圓(或內(nèi)圓和外圓)的半徑分別為r和R。(R﹥r(jià)) 同樣大小的外圓,內(nèi)圓越小,圓環(huán)的面積越大。 半圓環(huán)的面積=它所在的圓環(huán)面積的一半。 單獨(dú)一個(gè)圓,半徑(直徑)越大,周長(zhǎng)就越大,面積也越大;如果兩個(gè)圓的半徑相等,那么它們的周長(zhǎng)就相等,面積也相等。 在同一個(gè)圓中,扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān),圓心角大的扇形大,圓心角小的扇形小。 在同圓或等圓中,圓心角越大,扇形越大;反之,圓心角越小,扇形就越小。