2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 概率 3-3-1 幾何概型學(xué)案 新人教A版必修3

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1、3.3.1 幾何概型 1.通過(guò)實(shí)例體會(huì)幾何概型的含義,會(huì)區(qū)分古典概型和幾何概型. 2.掌握幾何概型的概率計(jì)算公式,會(huì)求一些事件的概率. 1.幾何概型的定義與特點(diǎn) (1)定義:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型. (2)特點(diǎn):①可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè);②每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等. 2.幾何概型中事件A的概率的計(jì)算公式 P(A)=. 1.幾何概型有何特點(diǎn)? [提示] ①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè);②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等. 2.古典概型與幾何概型有何區(qū)別?

2、 [提示] 古典概型的試驗(yàn)結(jié)果是有限的,而幾何概型的試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)限的. 3.判斷正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)幾何概型的概率與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無(wú)關(guān).(  ) (2)在射擊中,運(yùn)動(dòng)員擊中靶心的概率在(0,1)內(nèi).(  ) (3)幾何概型的基本事件有無(wú)數(shù)多個(gè).(  ) (4)從區(qū)間[-1,1]上取一個(gè)數(shù),求取到1的概率屬于幾何概型.(  ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×                    題型一與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型 【典例1】 (1)如圖所示,A、B兩盞路燈之間長(zhǎng)度是30 m,由于光線較暗,想在其間再隨意安裝兩

3、盞路燈C、D,問(wèn)A與C,B與D之間的距離都不小于10 m的概率是多少? (2)如圖所示,在等腰直角三角形ABC中,過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條直線CM,與線段AB交于點(diǎn)M.求AM

4、,把AB三等分,由于中間長(zhǎng)度為30×=10 (m),∴P(E)==. (2)在AB上取AC′=AC, 則∠ACC′==67.5°. 設(shè)事件A={在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,AM

5、中的點(diǎn),這樣的概率模型就可以用幾何概型來(lái)求解. (2)與角度有關(guān)的幾何概型的求法 ①當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng),扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí),常以角度的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率. ②與角度有關(guān)的幾何概型的概率計(jì)算公式為 P(A)=. ③解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是事件A在區(qū)域角度內(nèi)是均勻的,進(jìn)而判定事件的發(fā)生是等可能的. ④對(duì)于一個(gè)具體問(wèn)題,能否用幾何概型的概率公式計(jì)算事件的概率,關(guān)鍵在于能否將問(wèn)題幾何化,也可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況,選取合適的參數(shù)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,在此基礎(chǔ)上,將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系中的每一點(diǎn),使得全體結(jié)果構(gòu)成一個(gè)可度量的區(qū)域. ⑤如果試驗(yàn)結(jié)果涉及的區(qū)域可用角表示,則可

6、以判定需利用與角度有關(guān)的幾何概型概率的計(jì)算公式解決.對(duì)于此類題,往往角的始邊是固定的,只要考慮終邊位置的情況即可. [針對(duì)訓(xùn)練1] (1)在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則|x|≤1的概率為_(kāi)_______. (2)某汽車站每隔15 min有一輛汽車到達(dá),乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的,求一位乘客到達(dá)車站后等車時(shí)間超過(guò)10 min的概率. [解析] (1)∵區(qū)間[-1,2]的長(zhǎng)度為3,由|x|≤1得x∈[-1,1],而區(qū)間[-1,1]的長(zhǎng)度為2,x取每個(gè)值為隨機(jī)的,∴在[-1,2]上取一個(gè)數(shù)x,|x|≤1的概率P=. (2)設(shè)上一輛車于時(shí)刻T1到達(dá),而下一輛車于時(shí)刻T2到達(dá),則線段T1

7、T2的長(zhǎng)度為15,設(shè)T是線段T1T2上的點(diǎn),且T1T=5,T2T=10,如圖所示. 記“等車時(shí)間超過(guò)10 min”為事件A,則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻t落在線段T1T上(不含端點(diǎn))時(shí),事件A發(fā)生. ∴P(A)===, 即該乘客等車時(shí)間超過(guò)10 min的概率是. [答案] (1) (2) 題型二與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題 【典例2】 (1)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(  ) A. B. C. D. (2) 如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上

8、,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)=的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(  ) A. B. C. D. [解析] (1)不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則正方形的面積為4,正方形的內(nèi)切圓的半徑為1,面積為π.由于正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱,所以黑色部分的面積為,故此點(diǎn)取自黑色部分的概率為=,故選B. (2)易知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,2),所以矩形ABCD的面積為6,陰影部分的面積為,故所求概率為. [答案] (1)B (2)B (1)與面積有關(guān)的幾何概型的概率公式 如果

9、試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示,則其概率的計(jì)算公式為: P(A)=. (2)解與面積相關(guān)的幾何概型問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) ①根據(jù)題意確認(rèn)是否是與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題; ②找出或構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形,利用圖形的幾何特征計(jì)算相關(guān)面積; ③套用公式,從而求得隨機(jī)事件的概率. [針對(duì)訓(xùn)練2] 如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站,假設(shè)其信號(hào)覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn),則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是(  ) A.1- B.-1 C.2- D. [解析] 由幾何概

10、型知所求的概率P===1-. [答案] A 題型三與體積有關(guān)的幾何概型的問(wèn)題 【典例3】 一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如下圖所示,M是AB的中點(diǎn),一只蜻蜓在幾何體ADF—BCE內(nèi)自由飛翔,則它飛入幾何體F—AMCD內(nèi)的概率為(  ) A. B. C. D. [解析] 由三視圖可知DA,DC,DF兩兩垂直,且DA=DC=DF=a, ∴VF—AMCD=S梯形AMCD·DF=a3. 又VADF—BCE=a3, ∴蜻蜓飛入幾何體F—AMCD內(nèi)的概率為P==. [答案] C  體積型幾何概型問(wèn)題解法探秘 (1)如果試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來(lái)度量,我

11、們要結(jié)合問(wèn)題的背景,選擇好觀察角度,準(zhǔn)確找出基本事件所占的體積及事件A占的體積.其概率的計(jì)算公式為:P(A)=. (2)解決此類問(wèn)題一定要注意幾何概型的條件,并且要特別注意所求的概率是與體積有關(guān)還是與長(zhǎng)度有關(guān),不要將二者混淆. [針對(duì)訓(xùn)練3] (1)一只蝴蝶(體積忽略不計(jì))在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5,4,3的長(zhǎng)方體內(nèi)自由飛行,若蝴蝶在飛行過(guò)程中始終保持與長(zhǎng)方體的6個(gè)面的距離均大于1,則稱其為“安全飛行”,那么蝴蝶“安全飛行”的概率為(  ) A. B. C. D. (2)一個(gè)靶子如圖所示,隨機(jī)地?cái)S一個(gè)飛鏢扎在靶子上,假設(shè)飛鏢既不會(huì)落在靶心,也不會(huì)落在陰影部分與空白的交線上,現(xiàn)隨機(jī)向靶擲

12、飛鏢30次,則飛鏢落在陰影部分的次數(shù)約為(  ) A.5 B.10 C.15 D.20 [解析] (1)長(zhǎng)方體的體積為5×4×3=60,蝴蝶“安全飛行”區(qū)域的體積為3×2×1=6.根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,可得蝴蝶“安全飛行”的概率為=. (2)陰影部分對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)和為60°,所以飛鏢落在陰影內(nèi)的概率為=,飛鏢落在陰影內(nèi)的次數(shù)約為30×=5. [答案] (1)A (2)A 課堂歸納小結(jié) 1.幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型. 2.幾何概型主要用于解決與長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的題目. 3.注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別. 4.理解如

13、何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問(wèn)題,利用幾何概型公式求解,概率公式為 P(A)=. 1.將一條5米長(zhǎng)的繩子隨機(jī)地切斷為兩段,則兩段繩子都不短于1米的概率為(  ) A. B. C. D. [解析] 由題意,只要在距離兩端分別至少為1米處剪斷,滿足題意的位置有3米,由幾何概型公式得到所求概率為=,故選C. [答案] C 2.如圖,正方形ABCD的內(nèi)切圓中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對(duì)邊中點(diǎn)的連線對(duì)稱,在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自灰色部分的概率是(  ) A.    B. C.    D.4 [解析] 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式,此點(diǎn)取自灰色部分

14、的概率P==.故選A. [答案] A 3.在一球內(nèi)有一棱長(zhǎng)為1的內(nèi)接正方體,一點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng),則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為(  ) A. B. C. D. [解析] 由題意可得正方體的體積為V1=1.又球的直徑是正方體的體對(duì)角線,故球的半徑R=.球的體積V2= πR3=π.則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)的概率為P===. [答案] D 4.函數(shù)f(x)=2x(x<0),其值域?yàn)镈,在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈D的概率是(  ) A. B. C. D. [解析] 函數(shù)f(x)=2x(x<0)的值域?yàn)镈=(0,1),長(zhǎng)度為1,區(qū)間(-1,2)的長(zhǎng)度為3,所以概率為.

15、 [答案] B 5.如圖,A是圓O上固定的一點(diǎn),在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′,連接AA′,它是一條弦,它的長(zhǎng)度小于或等于半徑長(zhǎng)度的概率為(  ) A. B. C. D. [解析] 如圖,當(dāng)AA′的長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度時(shí)∠AOA′=,由圓的對(duì)稱性及幾何概型得P==.故選C. [答案] C 課后作業(yè)(二十一) (時(shí)間45分鐘) 學(xué)業(yè)水平合格練(時(shí)間25分鐘) 1.已知函數(shù)f(x)=2x,若從區(qū)間[-2,2]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x,則使不等式f(x)>2成立的概率為(  ) A. B. C. D. [解析] 這是一個(gè)幾何概型,其中基本事件的總數(shù)構(gòu)成的區(qū)域?qū)?yīng)的長(zhǎng)度是2-(

16、-2)=4,由f(x)>2可得x>1,所以滿足題設(shè)的基本事件構(gòu)成的區(qū)域?qū)?yīng)的長(zhǎng)度是2-1=1,則使不等式f(x)>2成立的概率為. [答案] A 2.某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時(shí)間為40 s.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈的概率為(  ) A. B. C. D. [解析] 記“至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈”為事件A,則P(A)==. [答案] B 3.已知ABCD為長(zhǎng)方形,AB=2,BC=1,O為AB的中點(diǎn),在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則取到的點(diǎn)P到O的距離大于1的概率為(  ) A. B.1- C. D

17、.1- [解析] 如圖所示,設(shè)取到的點(diǎn)P到O的距離大于1為事件M,則點(diǎn)P應(yīng)在陰影部分內(nèi),陰影部分的面積為2×1-×π×12=2-,所以P(M)==1-. [答案] B 4.在長(zhǎng)為10 cm的線段AB上任取一點(diǎn)P,并以線段AP為邊作正方形,這個(gè)正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間的概率為(  ) A. B. C. D. [解析] 在線段AB上任取一點(diǎn)P,事件“正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間”等價(jià)于事件“5<|AP|<7”,則所求概率為=. [答案] B 5.如圖所示,有四個(gè)游戲盤,將它們水平放穩(wěn)后,向上面扔一顆小玻璃球,若小球落在陰影部分,則可中

18、獎(jiǎng),小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì),應(yīng)選擇的游戲盤是(  ) [解析] A中獎(jiǎng)概率為,B中獎(jiǎng)概率為,C中獎(jiǎng)概率為,D中獎(jiǎng)概率為. [答案] A 6.記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[-4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈D的概率是________. [解析] 由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,則D=[-2,3],則所求概率為=. [答案]  7.水池的容積是20 m3,水池里的水龍頭A和B的水流速度都是1 m3/h,它們一晝夜(0~24 h)內(nèi)隨機(jī)開(kāi)啟,則水池不溢水的概率為_(kāi)_______. [解析] 如圖所示,橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示A,B兩水龍頭開(kāi)啟的時(shí)間,則陰影部分是滿足不溢水

19、的對(duì)應(yīng)區(qū)域,因?yàn)檎叫螀^(qū)域的面積為24×24,陰影部分的面積是×20×20,所以所求的概率P==. [答案]  8.已知方程x2+3x++1=0,若p在[0,10]中隨機(jī)取值,則方程有實(shí)數(shù)根的概率為_(kāi)_______. [解析] 因?yàn)榭偟幕臼录荹0,10]內(nèi)的全部實(shí)數(shù),所以基本事件總數(shù)為無(wú)限個(gè),符合幾何概型的條件,事件對(duì)應(yīng)的測(cè)度為區(qū)間的長(zhǎng)度,總的基本事件對(duì)應(yīng)區(qū)間[0,10],長(zhǎng)度為10,而事件“方程有實(shí)數(shù)根”應(yīng)滿足Δ≥0,即9-4×1×≥0,得p≤5,所以對(duì)應(yīng)區(qū)間[0,5],長(zhǎng)度為5,所以所求概率為=. [答案]  9.已知點(diǎn)M(x,y)滿足|x|≤1,|y|≤1.求點(diǎn)M落在圓

20、(x-1)2+(y-1)2=1的內(nèi)部的概率. [解] 如圖所示,區(qū)域Ω為圖中的正方形, 正方形的面積為4,且陰影部分是四分之一圓,其面積為π,則點(diǎn)M落在圓(x-1)2+(y-1)2=1的內(nèi)部的概率為=. 10.在街道旁邊有一游戲:在鋪滿邊長(zhǎng)為9 cm的正方形塑料板的寬廣地面上,擲一枚半徑為1 cm的小圓板.規(guī)則如下:每擲一次交5角錢,若小圓板壓在邊上,可重?cái)S一次;若擲在正方形內(nèi),需再交5角錢才可玩;若壓在正方形塑料板的頂點(diǎn)上,可獲得一元錢.試問(wèn): (1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少? (2)小圓板壓在塑料板頂點(diǎn)上的概率是多少? [解] (1)如圖(1)所示,因?yàn)镺落在正方

21、形ABCD內(nèi)任何位置是等可能的,小圓板與正方形塑料板ABCD的邊相交接是在圓板的中心O到與它靠近的邊的距離不超過(guò)1 cm時(shí),所以O(shè)落在圖中陰影部分時(shí),小圓板就能與塑料板ABCD的邊相交接,這個(gè)范圍的面積等于92-72=32(cm2),因此所求的概率是=. (2)小圓板與正方形的頂點(diǎn)相交接是在圓心O與正方形的頂點(diǎn)的距離不超過(guò)小圓板的半徑1 cm時(shí),如圖(2)陰影部分,四塊合起來(lái)面積為π cm2,故所求概率是. 應(yīng)試能力等級(jí)練(時(shí)間20分鐘) 11.在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≥”的概率,p2為事件“|x-y|≤”的概率,p3為事件“xy≤”的概率,則(  

22、) A.p1

23、y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交,則有圓心到直線的距離d=<3, 即-S△ABC,所以|PB|>|AB|,故△PBC的面積大于的概率是. [答案]  14.已知0

24、由題知所有基本事件構(gòu)成的集合為Ω={(x,y)|0

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