（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第8講 二次函數(shù)與冪函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第8講二次函數(shù)與冪函數(shù)【課程要求】1理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)；會(huì)求二次函數(shù)的值域與最值2運(yùn)用二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式“三個(gè)二次”之間的聯(lián)系去解決有關(guān)問題3了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，y，yx的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)問題對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p19【基礎(chǔ)檢測(cè)】1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)二次函數(shù)yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函數(shù)yax2bxc，xR不可能是偶函數(shù)()(3)在yax2bxc(a0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大小()(4)函數(shù)y2x是冪函數(shù)()(5)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)()(6)當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)yxn是定義域上的減函數(shù)()答案 (1)×(2)×(3)(4)×(5)(6)×2必修1p79T1已知冪函數(shù)f(x)k·x的圖象過點(diǎn)，則k等于()A.B1C.D2解析由冪函數(shù)的定義，知k1，.k.答案C3必修1p44A組T9已知函數(shù)f(x)x24ax在區(qū)間(，6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()Aa3Ba3Ca3Da3解析函數(shù)f(x)x24ax的圖象是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸是x2a，由函數(shù)在區(qū)間(，6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間(，6)應(yīng)在直線x2a的左側(cè)，2a6，解得a3，故選D.答案D4冪函數(shù)f(x)xa210a23(aZ)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，則a等于()A3B4C5D6解析因?yàn)閍210a23(a5)22，f(x)x(a5)22(aZ)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，所以(a5)22<0，從而a4，5，6，又(a5)22為偶數(shù)，所以只能是a5，故選C.答案C5已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1，2上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1) B(，1C(2，) D2，)解析函數(shù)f(x)x22ax3為對(duì)稱軸xa開口向上的二次函數(shù)，在區(qū)間1，2上單調(diào)遞增，區(qū)間1，2在對(duì)稱軸xa的右邊，即a1，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1答案B6已知函數(shù)f(x)x22axb(a>1)的定義域和值域都為1，a，則b_解析函數(shù)f(x)x22axb(a1)的對(duì)稱軸方程為xa>1，所以函數(shù)f(x)x22axb在1，a上為減函數(shù)，又函數(shù)在1，a上的值域也為1，a，則即由得：b3a1，代入得：a23a20，解得：a1(舍)，a2.把a(bǔ)2代入b3a1得b5.答案5【知識(shí)要點(diǎn)】1五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1圖象定義域RRR_x|x0_x|x0_值域R_y|y0_R_y|y0_y|y0_奇偶性_奇_偶_奇_非奇非偶_奇_單調(diào)性_增_(，0)減，_(0，)增_增_增_(，0)和_(0，)減_公共點(diǎn)_(1，1)_2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)_ax2bxc(a0)_頂點(diǎn)式：f(x)_a(xh)2k(a0)_零點(diǎn)式：f(x)_a(xx1)(xx2)(a0)_(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)圖象定義域(，)(，)值域單調(diào)性在x上單調(diào)遞減；在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞增；在x上單調(diào)遞減奇偶性當(dāng)_b0_時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)b0時(shí)為非奇非偶函數(shù)頂點(diǎn)對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x對(duì)稱3.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值若a0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc在閉區(qū)間p，q上的最大值為M，最小值為N.令x0(pq)，若<p，則Mf(q)，N_f(p)_；若>q，則Mf(p)，N_f(q)_；若px0，則Mf(q)，N_f_；若x0<q，則Mf(p)，Nf.4根與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，當(dāng)b24ac0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M1(x1，0)，M2(x2，0)，這里的x1，x2是方程f(x)0的兩根，且|M1M2|x1x2|.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p20冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1(1)若四個(gè)冪函數(shù)yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()AdcbaBabcdCdcabDabdc解析由冪函數(shù)的圖象可知，在(0，1)上冪函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸，由題圖知abcd，故選B.答案B(2)若(2m1)>(m2m1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.B.C(1，2) D.解析因?yàn)楹瘮?shù)yx的定義域?yàn)?，)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于解2m10，得m；解m2m10，得m或m.解2m1>m2m1，得1<m<2，綜上所述，m<2.答案D小結(jié)(1)冪函數(shù)的形式是yx(R)，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式(2)在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(3)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵1當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)yx的圖象不可能經(jīng)過的象限是()A第二象限B第三象限C第四象限D(zhuǎn)第二、四象限解析yx1的圖象經(jīng)過第一、三象限，yx的圖象經(jīng)過第一象限，yx3的圖象經(jīng)過第一、三象限故選D.答案D2函數(shù)f(x)(m2m1)xm2m3是冪函數(shù)，對(duì)任意x1，x2(0，)，且x1x2，滿足>0，若a，bR，且ab>0，ab<0，則f(a)f(b)的值()A恒大于0B恒小于0C等于0D無法判斷解析由已知函數(shù)f(x)(m2m1)xm2m3是冪函數(shù)，可得m2m11，解得m2或m1，當(dāng)m2時(shí)，f(x)x3，當(dāng)m1時(shí)，f(x)x3，對(duì)任意的x1，x2(0，)，且x1x2，滿足0，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以m2，此時(shí)f(x)x3，又ab>0，ab<0，可知a，b異號(hào)，且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，則f(a)f(b)恒大于0.答案A二次函數(shù)的解析式的求法例2(1)已知二次函數(shù)f(x)x2bxc滿足f(0)3，對(duì)xR，都有f(1x)f(1x)成立，則f(x)的解析式為_解析由f(0)3，得c3，又f(1x)f(1x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，1，b2，f(x)x22x3.答案f(x)x22x3(2)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)和(2，0)，且有最小值1，則f(x)_解析設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.答案x22x小結(jié)求二次函數(shù)解析式的方法3若函數(shù)f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?，4，則該函數(shù)的解析式f(x)_解析由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，a，即b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域?yàn)?，4，2a24，故f(x)2x24.答案2x244已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式解析法一：(利用二次函數(shù)的一般式)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得故所求二次函數(shù)為f(x)4x24x7.法二：(利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式)設(shè)f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，拋物線對(duì)稱軸為x.m，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，n8，yf(x)a8.f(2)1，a81，解得a4，f(x)484x24x7.法三：(利用兩根式)由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例3(1)一次函數(shù)yaxb與二次函數(shù)yax2bxc在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是()解析若a>0，則一次函數(shù)yaxb為增函數(shù)，二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向上，故可排除A；若a<0，一次函數(shù)yaxb為減函數(shù)，二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向下，故可排除D；對(duì)于選項(xiàng)B，看直線可知a>0，b>0，從而<0，而二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，故應(yīng)排除B，選C.答案C(2)若函數(shù)f(x)x2axb在區(qū)間0，1上的最大值是M，最小值是m，則Mm()A與a有關(guān)，且與b有關(guān)B與a有關(guān)，但與b無關(guān)C與a無關(guān)，且與b無關(guān)D與a無關(guān)，但與b有關(guān)解析f(x)b，當(dāng)01時(shí)，f(x)minmfb，f(x)maxMmaxf(0)，f(1)maxb，1ab，Mmmax與a有關(guān)，與b無關(guān)；當(dāng)<0時(shí)，f(x)在0，1上單調(diào)遞增，Mmf(1)f(0)1a與a有關(guān)，與b無關(guān)；當(dāng)>1時(shí)，f(x)在0，1上單調(diào)遞減，Mmf(0)f(1)1a與a有關(guān)，與b無關(guān)綜上所述，Mm與a有關(guān)，但與b無關(guān)答案B小結(jié)1.識(shí)別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會(huì)“三看”2研究二次函數(shù)單調(diào)性的思路(1)二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對(duì)稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要依據(jù)其圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論(2)若已知f(x)ax2bxc(a>0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A，即區(qū)間A一定在函數(shù)對(duì)稱軸的左側(cè)(右側(cè))3求二次函數(shù)在給定區(qū)間上最值的方法二次函數(shù)f(x)ax2bxc(不妨設(shè)a>0)在區(qū)間m，n上的最大或最小值如下：(1)當(dāng)m，n，即對(duì)稱軸在所給區(qū)間內(nèi)時(shí)：f(x)的最小值在對(duì)稱軸處取得，其最小值是f；若，f(x)的最大值為f(n)；若，f(x)的最大值為f(m)(2)當(dāng)m，n，即給定的區(qū)間在對(duì)稱軸的一側(cè)時(shí)：f(x)在m，n上是單調(diào)函數(shù)若<m，f(x)在m，n上是增函數(shù)，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n<，f(x)在m，n上是減函數(shù)，f(x)的最小值是f(n)，最大值是f(m)(3)當(dāng)不能確定對(duì)稱軸x是否屬于區(qū)間m，n時(shí)：則需分類討論，以對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系確定討論的標(biāo)準(zhǔn)，然后轉(zhuǎn)化為上述(1)(2)兩種情形求最值5若二次函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1，2上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A2，) B(2，)C(，0) D(，2)解析二次函數(shù)ykx24x2的對(duì)稱軸為x，當(dāng)k>0時(shí)，要使函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1，2上是增函數(shù)，只需1，解得k2.當(dāng)k<0時(shí)，<0，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸在區(qū)間1，2的左側(cè)，該函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，不符合要求綜上可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是2，)答案A6已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x0時(shí)，f(x)x3，若不等式f(4t)f(2mmt2)對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，)B(，0)C(，0)(，)D(，)(，)解析由f(x)為奇函數(shù)，且x0時(shí)，f(x)x3，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)f(x)(x)3x3.所以f(x)在R上單調(diào)遞增，由不等式f(4t)>f(2mmt2)對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，即4t>2mmt2對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立即mt24t2m<0對(duì)tR恒成立，當(dāng)m0時(shí)，上述不等式顯然不恒成立，所以m<0，由168m2<0得m<，故選A.答案A三個(gè)二次的綜合應(yīng)用例4已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1(a>0)，若f(1)0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)0成立，設(shè)g(x)f(x)kx.(1)當(dāng)x2，2時(shí)，g(x)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)當(dāng)x1，2時(shí)，g(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解析 (1)f(x)ax2bx1(a>0)，f(1)0且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)0成立；x1，且ab10；即b2a，且ab10，解得a1，b2；f(x)x22x1.g(x)f(x)kxx2(2k)x1，g(x)在2，2上是單調(diào)函數(shù)，x應(yīng)滿足：2或2，即k6或k2.k的取值范圍是k|k2或k6(2)若g(x)x2(2k)x1，x1，2時(shí)，g(x)<0恒成立，則即解得k>，k的取值范圍是.小結(jié)二次函數(shù)值恒大(小)于零，常結(jié)合二次函數(shù)的圖象和判別式來考慮；利用二次不等式與二次方程之間的關(guān)系，即二次不等式解集區(qū)間的端點(diǎn)值是對(duì)應(yīng)方程的解；關(guān)于二次方程根的分布問題，可以借助二次函數(shù)的圖象直觀考察，主要從判別式、對(duì)稱軸、端點(diǎn)值這三個(gè)方面入手考慮應(yīng)滿足的條件7已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0，bR，cR)(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(xiàn)(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在區(qū)間(0，1上恒成立，試求b的取值范圍解析 (1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，f(x)(x1)2，F(xiàn)(x)F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由題可知，f(x)x2bx，原命題等價(jià)于1x2bx1在(0，1上恒成立，即bx且bx在(0，1上恒成立又x的最小值為0，x的最大值為2，2b0，故b的取值范圍是2，0對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p22(2017·山東理)已知當(dāng)x0，1時(shí)，函數(shù)y(mx1)2的圖象與ym的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(0，12，) B(0，13，)C(0，2，) D(0，3，)解析當(dāng)0<m1時(shí)，1，y(mx1)2單調(diào)遞減，且y(mx1)2(m1)2，1，ym單調(diào)遞增，且ymm，1m，此時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m>1時(shí)，0<<1，y(mx1)2在上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，需(m1)21mm3，選B.答案B13