（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第36講 不等關(guān)系與不等式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第七章 不等式知識體系p98第36講不等關(guān)系與不等式【課程要求】1了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系2了解不等式(組)的實(shí)際背景3掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用對應(yīng)學(xué)生用書p98【基礎(chǔ)檢測】1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)兩個實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，ab，a<b三種關(guān)系中的一種()(2)若>1，則a>b.()(3)一個不等式的兩邊同時加上或乘同一個數(shù)，不等號方向不變()(4)一個非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小()(5)同向不等式具有可加性和可乘性()(6)a>b>0，c>d>0>.()(7)若ab>0，則a>b<.()答案 (1)(2)×(3)×(4)×(5)×(6)(7)2必修5p74T3若a，b都是實(shí)數(shù)，則“>0”是“a2b2>0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析>0>a>b0a2>b2，但由a2b2>0/>0.則“>”是“a2b2>0”的充分不必要條件，故選A.答案A3必修5p75B組T1若0<a<b，且ab1，則將a，b，2ab，a2b2按從小到大排列為_解析0<a<b且ab1，a<<b<1，2b>1且2a<1，a<2b·a2a(1a)2a22a2<.即a<2ab<，又a2b2(ab)22ab12ab>1，即a2b2>，a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)，又2b1>0，b1<0，a2b2b<0，a2b2<b，綜上，a<2ab<<a2b2<b.答案a<2ab<<a2b2<b4設(shè)a，bR，則“a>2且b>1”是“ab>3且ab>2”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析若a>2且b>1，則由不等式的同向可加性可得ab>213，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×12.即“a>2且b>1”是“ab>3且ab>2”的充分條件；反之，若“ab>3且ab>2”，則“a>2且b>1”不一定成立，如a6，b.所以“a>2且b>1”是“ab>3且ab>2”的充分不必要條件故選A.答案A5若<<<，則的取值范圍是_解析由<<，<<，<，得<<0.答案 (，0)【知識要點(diǎn)】1不等式的定義用不等號“>，”將兩個數(shù)學(xué)表達(dá)式連接起來，所得的式子叫做不等式2實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系ab>0_a>b_；ab0ab；ab<0_a<b_3不等式的基本性質(zhì)(1)對稱性：a>b_b<a_；(2)傳遞性：a>b，b>c_a>c_；(3)可加性：a>b_ac>bc_；a>b，c>d_ac>bd_；(4)可乘性：a>b，c>0_ac>bc_；a>b，c<0_ac<bc_；a>b>0，c>d>0_ac>bd_；(5)倒數(shù)法則：a>b，ab>0_<_；(6)乘方性質(zhì)：a>b>0_an>bn_(n2，nN*)；(7)開方性質(zhì)：a>b>0_>_(n2，nN*)4不等式的一些常用性質(zhì)(1)倒數(shù)的性質(zhì)a>b，ab>0_<_；a<0<b_<_；a>b>0，0<c<d_>_；0<a<x<b或a<x<b<0_<_<_.(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則<；>(bm>0)；>；<(bm>0)對應(yīng)學(xué)生用書p99比較兩個數(shù)(式)的大小例1(1)已知實(shí)數(shù)a，b滿足ab>0，則x與y的大小關(guān)系為()Ax>yBx<yCxyDxy解析xy(ab).ab>0，(ab)20，0，xy.答案D(2)若a>0，b>0，則p(ab)，qabba的大小關(guān)系是()ApqBpqCp>qDp<q解析因?yàn)閜>0，q>0，所以ab，若a>b>0，則>1，ab>0，>1；若b>a>0，則0<<1，ab<0，>1；若ab，則pq；所以pq.答案A(3)若a，b，c，則()Aa<b<cBc<b<aCc<a<bDb<a<c解析對于函數(shù)f(x)，f(x)，易知當(dāng)x>e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減因?yàn)閑<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.答案B小結(jié)(1)作差法：一般步驟：作差；變形；定號；結(jié)論其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式當(dāng)兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差(2)作商法：一般步驟：作商；變形；判斷商與1的大?。唤Y(jié)論(3)函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系1有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且xyz，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是()AaxbyczBazbycxCaybzcxDaybxcz解析作差比較，xyz，abc，則(azbycx)(axbycz)a(zx)c(xz)(ac)(zx)0，azbycxaxbycz；(azbycx)(aybzcx)a(zy)b(yz)(ab)(zy)0，azbycxaybzcx；(aybzcx)(aybxcz)b(zx)c(xz)(bc)(zx)0，aybzcxaybxcz，azbycx最小故選B.答案B2已知等比數(shù)列an中，a10，q0，前n項(xiàng)和為Sn，則與的大小關(guān)系為_解析當(dāng)q1時，3，5，所以.當(dāng)q0且q1時，0，所以.綜上可知.答案不等式的性質(zhì)例2(1)(多選)已知a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是()Aab>acB(ba)c>0Ccb2<ab2Dac(ac)>0解析由c<b<a，且ac<0，知a>0，c<0，故由b>c，a>0ab>ac，A正確；由b<a，c<0(ba)c>0，B正確；由c<a，b20cb2ab2，當(dāng)b0時取等號，故C錯誤；由c<a，ac<0ac(ac)<0，D錯誤答案AB(2)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是()A.<Bab<b2Cab<a2D<解析法一(性質(zhì)判斷)：對于A項(xiàng)，由a<b<0，得ba>0，ab>0，故>0，>，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，由a<b<0，得b(ab)>0，ab>b2，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，由a<b<0，得a(ab)>0，a2>ab，即ab>a2，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，由a<b<0，得ab<0，ab>0，故<0，<成立，故D項(xiàng)正確法二(特殊值法)：令a2，b1，則>1，ab2>b21，ab2>a24，<1.故A、B、C項(xiàng)錯誤，D項(xiàng)正確答案D小結(jié)不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的三大常見類型及解題策略(1)利用不等式性質(zhì)比較大小熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件(2)與充要條件相結(jié)合問題用不等式的性質(zhì)分別判斷pq和qp是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用(3)與命題真假判斷相結(jié)合問題解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法3(多選)若<<0，則下列不等式正確的是()A.<B|a|b>0Ca>bDlna2>lnb2解析由<<0，可知b<a<0.A中，因?yàn)閍b<0，ab>0，所以<0，>0.故有<，即A正確；B中，因?yàn)閎<a<0，所以b>a>0，故b>|a|，即|a|b<0，故B錯誤；C中，因?yàn)閎<a<0，又<<0，則>>0，所以a>b，故C正確；D中，因?yàn)閎<a<0，根據(jù)yx2在(，0)上為減函數(shù)，可得b2>a2>0，而ylnx在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以lnb2>lna2，故D錯誤答案AC不等式性質(zhì)的應(yīng)用例3已知a>b>0，給出下列四個不等式：a2>b2；2a>2b1；>；a3b3>2a2b.其中一定成立的不等式為()ABCD解析法一：由a>b>0可得a2>b2，成立；由a>b>0可得a>b1，而函數(shù)f(x)2x在R上是增函數(shù)，f(a)>f(b1)，即2a>2b1，成立；a>b>0，>，()2()222b2()>0，>，成立；若a3，b2，則a3b335，2a2b36，a3b3<2a2b，不成立故選A.法二：令a3，b2，可以得到a2>b2，2a>2b1，>均成立，而a3b3>2a2b不成立，故選A.答案A小結(jié)判斷不等式是否成立的方法(1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明(2)在判斷一個關(guān)于不等式的命題的真假時，可結(jié)合不等式的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷例4設(shè)f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，則f(2)的取值范圍是_解析法一：設(shè)f(2)mf(1)nf(1)(m、n為待定系數(shù))，則4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，即5f(2)10.法二：由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法三：由確定的平面區(qū)域如圖陰影部分，當(dāng)f(2)4a2b過點(diǎn)A時，取得最小值4×2×5，當(dāng)f(2)4a2b過點(diǎn)B(3，1)時，取得最大值4×32×110，5f(2)10.答案 5，10小結(jié)(1)此類問題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過“一次性”使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍(2)求范圍問題如果多次利用不等式有可能擴(kuò)大變量取值范圍4(多選)若a<b<0，則下列不等式一定成立的是()A.>Ba2>abC.<Dan>bn解析 (特值法)取a2，b1，逐個檢驗(yàn)，可知A，D項(xiàng)均不正確；B項(xiàng)，a2aba(ab)>0，所以a2>ab成立；C項(xiàng)，<|b|(|a|1)<|a|(|b|1)|a|b|b|<|a|b|a|b|<|a|，a<b<0，|b|<|a|成立答案BC5已知1lgxy4，1lg2，求lg的取值范圍解析由1lgxy4，1lg2，得1lgxlgy4，1lgxlgy2，而lg2lgxlgy(lgxlgy)(lgxlgy)，所以1lg5，即lg的取值范圍是1，5對應(yīng)學(xué)生用書p100(2019·全國卷理)若a>b，則()Aln(ab)>0B3a<3bCa3b3>0D|a|>|b|解析取a2，b1，滿足a>b，ln(ab)0，知A錯，排除A；因?yàn)?3a>3b3，知B錯，排除B；取a1，b2，滿足a>b，1<2，知D錯，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)yx3是增函數(shù)，a>b，所以a3>b3，故選C.答案C11