（新課標）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第10講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第10講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【課程要求】1理解對數(shù)的概念，掌握指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，會運用指數(shù)、對數(shù)運算法則進行有關(guān)運算2掌握對數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用3掌握以對數(shù)函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)4了解指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)的關(guān)系(a>0且a1)對應(yīng)學(xué)生用書p25【基礎(chǔ)檢測】1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)若MN>0，則loga(MN)logaMlogaN.()(2)對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)在(0，)上是增函數(shù)()(3)函數(shù)yln與yln(1x)ln(1x)的定義域相同()(4)對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)的圖象過定點(1，0)且過點(a，1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限()答案 (1)×(2)×(3)(4)2必修1p68T4log29·log34·log45·log52_解析原式2log23·log34·log45·log522····2.答案23必修1p82A組T6已知a2，blog2，clog，則a，b，c的大小關(guān)系為_解析0<a<1，b<0，cloglog23>1，c>a>b.答案c>a>b4必修1p74A組T7函數(shù)y的定義域是_解析由log(2x1)0，得0<2x11.<x1.函數(shù)y的定義域是.答案5已知b>0，log5ba，lgbc，5d10，則下列等式一定成立的是()AdacBacdCcadDdac解析由log5ba知b5a，由lgbc知clg5aalg5，由5d10知dlog510，cdalg5·a，故選B.答案B6已知a>0，a1，函數(shù)yax與yloga(x)的圖象可能是()解析函數(shù)yloga(x)的圖象與ylogax的圖象關(guān)于y軸對稱，符合條件的只有B.答案B【知識要點】1對數(shù)概念如果axN(a>0，且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的_對數(shù)_，記作xlogaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式性質(zhì)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：axN_xlogaN_loga10，logaa1，alogaN_N_運算法則loga(M·N)_logaMlogaN_loga_logaMlogaN_logaMn_nlogaM_(nR)a>0，且a1，M>0，N>0換底公式換底公式：logab(a>0，且a1，c>0，且c1，b>0)2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)ylogax(a0，且a1)圖象a10a1圖象特征在y軸_右側(cè)_，過定點(1，0)當x逐漸增大時，圖象是_上升_的當x逐漸增大時，圖象是_下降_的性質(zhì)定義域(0，)值域R單調(diào)性在(0，)上是_增函數(shù)_在(0，)上是_減函數(shù)_函數(shù)值變化規(guī)律當x1時，_y0_當x>1時，_y>0_；當0<x<1時，_y<0_當x>1時，_y<0_；當0<x<1時，_y>0_3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線_yx_對稱【知識拓展】1換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab；(2)logambnlogab.其中a>0且a1，b>0且b1，m，nR.2對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應(yīng)的底數(shù)，故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大對應(yīng)學(xué)生用書p26對數(shù)的運算例1(1)計算：log89×log2732_解析根據(jù)換底公式，log89，所以log2732，所以log89×log2732×.答案(2)計算：_解析原式1.答案1(3)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是(參考數(shù)據(jù)：lg30.48)()A1033B1053C1073D1093解析由題意，lglglg3361lg1080361lg380lg10361×0.4880×193.28.又lg103333，lg105353，lg107373，lg109393，故與最接近的是1093.故選D.答案D小結(jié)對數(shù)運算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算1設(shè)2a5bm，且2，則m等于()A.B10C20D100解析由已知，得alog2m，blog5m，則logm2logm5logm102.解得m.答案A2已知函數(shù)f(x)則f(f(1)f的值是_解析因為f(1)log210，所以f(f(1)f(0)2.因為log30，所以f3log313log321213.所以f(f(1)f235.答案53求值：2log3log331log32_解析2log3log331log322(log321)(log343)3log362log3222log32365.答案5對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)函數(shù)f(x)loga|x|1(0a1)的圖象大致為()解析由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱設(shè)g(x)loga|x|，先畫出x>0時，g(x)的圖象，然后根據(jù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱畫出x<0時g(x)的圖象，最后由函數(shù)g(x)的圖象向上整體平移一個單位即得f(x)的圖象，結(jié)合圖象知選A.答案A(2)已知函數(shù)f(x)且關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是_解析如圖，在同一坐標系中分別作出yf(x)與yxa的圖象，其中a表示直線在y軸上的截距由圖可知，當a>1時，直線yxa與ylog2x只有一個交點答案 (1，)小結(jié)(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解4已知函數(shù)y的圖象與函數(shù)ylogax(a>0，a1)的圖象交于點P(x0，y0)，如果x02，那么a的取值范圍是()A2，) B4，)C8，) D16，)解析由已知中兩函數(shù)的圖象交于點P(x0，y0)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，若x02，則0<y0，即0<logax0，由于x02，所以a>1且x02，解得a16.答案D5當0<x時，4x<logax，則a的取值范圍是()A.B.C(1，) D(，2)解析由題意得，當0<a<1時，要使得4x<logax，即當0<x時，函數(shù)y4x的圖象在函數(shù)ylogax圖象的下方又當x時，42，即函數(shù)y4x的圖象過點.把點代入ylogax，得a.若函數(shù)y4x的圖象在函數(shù)ylogax圖象的下方，則需<a<1(如圖所示)當a>1時，不符合題意，舍去所以實數(shù)a的取值范圍是.答案B對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用例3(1)設(shè)alog412，blog515，clog618，則()Aa>b>cBb>c>aCa>c>bDc>b>a解析a1log43，b1log53，c1log63，log43>log53>log63，a>b>c.答案A(2)若函數(shù)f(x)log2(x2ax3a)在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，4) B(4，4C(，4)2，) D4，4)解析由題意得x2ax3a>0在區(qū)間(，2上恒成立且函數(shù)yx2ax3a在(，2上單調(diào)遞減，則2且(2)2(2)a3a>0，解得實數(shù)a的取值范圍是4，4)，故選D.答案D(3)若函數(shù)f(x)loga(a>0，a1)在區(qū)間內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(0，) B(2，)C(1，) D.解析令Mx2x，當x時，M(1，)，f(x)>0，所以a>1，所以函數(shù)ylogaM為增函數(shù)，又M，因此M的單調(diào)遞增區(qū)間為.又x2x>0，所以x>0或x<，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)答案A小結(jié)(1)在解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解在利用單調(diào)性時，一定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正的限制條件(2)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用多用在復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性上，即求形如ylogaf(x)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其一般步驟為：求定義域，即滿足f(x)>0的x的取值集合；將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)ylogau及uf(x)；分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若這兩個函數(shù)同增或同減，則ylogaf(x)為增函數(shù)，若一增一減，則ylogaf(x)為減函數(shù)，即“同增異減”例4已知函數(shù)f(x)32log2x，g(x)log2x.(1)當x1，4時，求函數(shù)h(x)f(x)1·g(x)的值域；(2)如果對任意的x1，4，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍解析 (1)h(x)(42log2x)·log2x2(log2x1)22，因為x1，4，所以log2x0，2，故函數(shù)h(x)的值域為0，2(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，得(34log2x)(3log2x)>k·log2x，令tlog2x，因為x1，4，所以tlog2x0，2，所以(34t)(3t)>k·t對一切t0，2恒成立，當t0時，kR；當t(0，2時，k<恒成立，即k<4t15，因為4t12，當且僅當4t，即t時取等號，所以4t15的最小值為3.綜上，實數(shù)k的取值范圍是(，3)小結(jié)1.無論題型如何變化，都是圍繞對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，變換不同的角度來應(yīng)用例3(1)是對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的直接應(yīng)用，利用單調(diào)性來比較大小、解不等式；例3(2)，(3)是對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的遷移應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性來求參數(shù)的范圍，所以弄清對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，并注意有時需對底數(shù)字母參數(shù)進行討論2與對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的恒成立問題多與其定義域和值域有關(guān)對于函數(shù)ylogaf(x)(a0，且a1)，若定義域為R，則f(x)0在R上恒成立；若值域為R，則f(x)能取遍所有正實數(shù)6若實數(shù)a，b，c滿足loga2<logb2<logc2，則下列關(guān)系中不可能成立的是()Aa<b<cBb<a<cCc<b<aDa<c<b解析由loga2<logb2<logc2的大小關(guān)系，可知a，b，c有如下四種可能：1<c<b<a；0<a<1<c<b；0<b<a<1<c；0<c<b<a<1.對照選項可知A中關(guān)系不可能成立答案A7已知不等式logx(2x21)<logx(3x)<0成立，則實數(shù)x的取值范圍是_解析原不等式或，解不等式組得<x<，不等式組無解，所以實數(shù)x的取值范圍是.答案8已知函數(shù)f(x)logaxb(a>0，a1)的定義域、值域都是1，2，則ab_解析當0<a<1時，易知函數(shù)f(x)為減函數(shù)，由題意有解得a，b2，符合題意，此時ab；當a>1時，易知函數(shù)f(x)為增函數(shù)，由題意有解得a2，b1，符合題意，此時ab3.綜上可得：ab的值為或3.答案或3對應(yīng)學(xué)生用書p27(2019·全國卷理)若a>b，則()Aln(ab)>0B3a<3bCa3b3>0D|a|>|b|解析取a2，b1，滿足a>b，但ln(ab)0，則A錯，排除A；由932>313，知B錯，排除B；取a1，b2，滿足a>b，但|1|<|2|，則D錯，排除D；因為冪函數(shù)yx3是增函數(shù)，a>b，所以a3>b3，即a3b3>0，C正確故選C.答案C11