（江蘇專用）2020版高考數學二輪復習 專題六 概率、統(tǒng)計、復數、算法、推理與證明 高考熱點追蹤（六）學案 文 蘇教版

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1、高考熱點追蹤(六) “交融”在本質 高考對復數要求不高，但仍是?？純热荩v觀各地模擬試題，復數知識時常與其他知識交融在一起，這些試題從形式上看很“新”，但是不是很難呢？我們如何去分析解決呢？請同學們看下面三個例題． (2019·南京模擬)已知O為坐標原點，向量，分別對應復數z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i(a∈R)，若1＋z2是實數． (1)求實數a的值； (2)求以，為鄰邊的平行四邊形的面積． 【解】　(1)因為1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(a2＋2a－15)i是實數， 所以a2＋2a－15＝0． 所以a＝3，a＝－

2、5(舍去)．故a＝3． (2)由(1)知，z1＝＋i，z2＝－1＋i， 所以＝，＝(－1，1)， 所以||＝，||＝， cos〈，〉＝＝＝ ． 所以sin〈，〉＝＝， 所以S?＝||||sin〈，〉＝××＝． 所以平行四邊形的面積為． [名師點評]　 在復平面內，如果復數變量按照某種條件變化，那么對應動點就構成具有某種特征的點的集合或軌跡，這種數形有機結合使復數問題和向量問題構成了天然聯系． 已知a，b，c，d∈R，對于復數z＝a＋bi，有z(4－i)是純虛數，(z＋2)(1－4i) 是實數，且函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝0處有極值－2． (1)求f(x

3、)的單調區(qū)間； (2)是否存在整數m，使得方程f(x)＝0在區(qū)間(m，m＋1)內有且僅有一個實數根．若存在，求出所有m的值，若不存在，請說明理由． 【解】　(1)因為z(4－i)＝(4a＋b)＋(－a＋4b)i是純虛數， (z＋2)(1－4i)＝(a＋4b＋2)－(4a－b＋8)i是實數，且a，b∈R， 所以解得 又因為f(x)在x＝0處有極值－2，所以f′(0)＝0，f(0)＝－2， 得到c＝0，d＝－2， 所以f(x)＝－x3＋4x2－2， 則f′(x)＝－3x2＋8x＝－3x， f′(x)>0?0． 所以f(x)的單調遞增區(qū)間是，單

4、調遞減區(qū)間是(－∞，0)和． (2)由(1)知：當x＝0時，f(x)有極小值－2<0；當x＝時，f(x)有極大值>0，而當x→－∞時，f(x)→＋∞，當x→＋∞時，f(x)→－∞，則方程f(x)＝0在f(x)的三個單調區(qū)間(－∞，0)，，上必各有且僅有一個根． 因為f(1)＝1>0，f(0)<0，所以方程f(x)＝0在(0，1)上有且僅有一個實數根， 同理可得方程f(x)＝0在(3，4)，(－1，0)上有且僅有一個實數根． 則m的值為0，3和－1． [名師點評]　本題是復數問題與導數問題交匯在一起考查，實際我們只需要利用復數的有關概念求出a，b．后面的問題用導數知識不難解決． (

5、2019·蘇州期末)對任意復數z＝x＋yi(x，y∈R)，定義g(z)＝3x(cos y＋isin y)． (1)若g(z)＝3，求相應的復數z； (2)若z＝a＋bi(a，b∈R)中的a為常數，則令g(z)＝f(b)，對任意b，是否一定有常數m(m≠0)使得f(b＋m)＝f(b)？這樣的m是否唯一？說明理由． (3)計算g，g，g，由此發(fā)現一個一般的等式，并證明． 【解】　(1)由得則 故z＝1＋2kπi，k∈Z． (2)由f(b＋m)＝f(b)，得 即 所以m＝2kπ，k∈Z，所以m是不唯一的． (3)g＝9，g＝，g＝3i， 所以gg＝g． 一般地，對任意復數z

6、1、z2， 有g(z1)g(z2)＝g(z1＋z2)． 證明如下：設z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，2，y1，2∈R)， g(z1)＝3x1(cos y1＋isin y1)，g(z2)＝3x2 (cos y2＋isin y2)，g(z1＋z2)＝3x1＋x2 [cos(y1＋y2)＋isin(y1＋y2)]， 所以g(z1)g(z2)＝g(z1＋z2)． [名師點評]　對于第(1)，(2)問都是利用復數相等解決． 復數相等是化“虛”為“實”的最重要方法，第(3)問是以復數為載體考查了簡單的歸納推理，情景新，做法易． 通過以上三例同學們可以看到其實新考題，再新也得在高中

7、生“力所能及”的范圍內出題，不然要背負“超綱”的嫌疑．因此命題人得想盡辦法讓考題從形式上看很“新”，而其考查的內容仍在教綱和考綱要求范圍之內，仍是所學知識的本質運用． 歸納推理大排隊 歸納推理思想就是在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結論．這一數學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數有關的命題時有著廣泛的應用．其思維模式是“觀察——歸納——猜想——證明”，解題的關鍵在于正確的歸納． 一、等式中的歸納推理 (2019·揚州期末)設函數f(x)＝(x>0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f

8、2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， … 根據以上事實，由歸納推理可得： 當n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________． 【解析】　觀察知：四個等式等號右邊的分母為x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以歸納出分母為fn(x)＝f(fn－1(x))的分母為(2n－1)x＋2n，故當n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝． 【答案】　 [名師點評]　本題各式的分子相同，關鍵是如何歸納分母特征． 二、圖形中的歸納推理 將正△ABC分割成n2

9、(n≥2，n∈N*)個全等的小正三角形(圖1，圖2分別給出了n＝2，3的情形)，在每個三角形的頂點各放置一個數，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(當數的個數不少于3時)都分別依次成等差數列，若頂點A，B，C處的三個數互不相同且和為1，記所有頂點上的數之和為f(n)，則有f(2)＝2，f(3)＝________，…，f(n)＝______________． 【解析】　 當n＝3時，如圖所示分別設各頂點的數用小寫字母表示，即由條件知 a＋b＋c＝1，x1＋x2＝a＋b，y1＋y2＝b＋c，z1＋z2＝c＋a， x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2，

10、2g＝x1＋y2＝x2＋z1＝y(tǒng)1＋z2， 6g＝x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2， 即g＝而f(3)＝a＋b＋c＋x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＋g＝1＋2＋＝． 進一步可求得f(4)＝5．由上知f(1)中有3個數相加，f(2)中有6個數相加，f(3)中有10個數相加 ，f(4)中有15個數相加，…，若f(n－1)中有an－1(n>1)個數相加，可得f(n)中有(an－1＋n＋1)個數相加，且由 f(1)＝1＝，f(2)＝＝＝f(1)＋，f(3)＝＝f(2)＋，f(4)＝5＝f(3)＋，… 可得f(n)＝f(n－1)＋， 所以f(n)＝f(n－1)＋＝

11、f(n－2)＋＋＝…＝＋＋＋…＋＋f(1) ＝＋＋＋…＋＋＋ ＝(n＋1)(n＋2)． 【答案】　　(n＋1)(n＋2) [名師點評]　本題的歸納實際用了從特殊到一般的數學思想方法． 1．復數(a>0)在復平面內對應的點在第________象限． [解析] (a>0)＝a－i，對應的點(a，－1)在第四象限． [答案] 四 2．(2019·南通市高三模擬)電視臺組織中學生知識競賽，共設有5類試題，主題分別是：立德樹人、社會主義核心價值觀、依法治國理念、中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、創(chuàng)新能力．某參賽隊從中任選2個主題作答，則“立德樹人”主題被該隊選中的概率是________． [解析]

12、 依次記5類試題為A，B，C，D，E，則共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10個事件，其中4個事件中含有“立德樹人”主題，故所求概率P＝＝． [答案] 3．(2019·南京調研)某校為了解高三同學暑假期間的學習情況，抽查了100名同學，統(tǒng)計他們每天的平均學習時間，繪成頻率分布直方圖(如圖)，則這100名同學中學習時間在6～8小時內的人數為________． [解析] 由直方圖知，學習時間在6～8小時內的頻率為1－(0．04＋0．12＋0．14＋0．05)×2＝0．3，所以100名同學中學習時間在6～8小時內的人數為0．3×100＝30． [答案]

13、30 4．(2019·成都質檢改編)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值為________． [解析] 第一次循環(huán)結束，得s＝0＋2＝2，k＝2×2－1＝3；第二次循環(huán)結束，得s＝2＋3＝5，k＝2×3－1＝5；第三次循環(huán)結束，得s＝5＋5＝10，k＝2×5－1＝9；第四次循環(huán)結束，得s＝10＋9＝19，k＝2×9－1＝17>10，此時退出循環(huán)．故輸出s的值為19． [答案] 19 5．已知cos＝，coscos＝，coscoscos＝，…，根據這些結果，猜想出的一般結論是________． [答案] coscos…cos＝ 6．(2019·南通市高三模擬)將一顆骰子連續(xù)拋擲2

14、次，向上的點數分別為m，n，則點P(m，n)在直線y＝x下方的概率為________． [解析] 點P(m，n)所有的結果有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36種，其中在直線y＝x下方的情況有(3

15、，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6種，則所求概率為＝． [答案] 7．(2019·蘇州質檢)觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理得：若定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數，則g(－x)＝________． [解析] 由已知得偶函數的導函數為奇函數，故g(－x)＝－g(x)． [答案] －g(x) 8．(2019·江蘇四星級學校聯考)設A，B兩名學生均從兩位數學教師和兩位英語教師中選擇一位教師給自己補課，若A，B不選同一位教師，則學生A選擇數學教師，學生B選

16、擇英語教師的概率為________． [解析] 設兩位數學教師用1，2表示，兩位英語教師用3，4表示，不妨讓A先選，B后選(不重復)，則他們所有的選擇結果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12種情況，其中學生A選擇數學教師，學生B選擇英語教師(數學在前，英語在后)的結果有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)共4種情況，所以所求概率為P＝． [答案] 9．(2019·泰州期末)數列{an}的前n項和是Sn，若數列{an}的各項按如下規(guī)律排列： ，，，，，，，，

17、，，，… 若存在整數k，使Sk<10，Sk＋1≥10，則ak＝________． [解析] 由題目可以看出同分母的和依次成等差數列，且公差為．又＋1＋＋2＋＋3＝10．5>10，此時最后一列數的分母為7，而10．5－<10，故ak＝． [答案] 10．(2019·瀘州模擬)學校餐廳每天供應500名學生用餐，每星期一有A、B兩種菜可供選擇．調查表明，凡是在這星期一選A菜的，下星期一會有20%的可能改選B菜；而選B菜的，下星期一會有30%的可能改選A菜．用an表示第n個星期一選A菜的人數，如果a1＝428，則a6的值為________． [解析] 依題意有：an＝an－1＋(500－

18、an－1) ＝an－1＋150(n≥2，n∈N*)， 即an－300＝(an－1－300)(n≥2，n∈N*)， an＝128·＋300． 因此a6＝128·＋300＝304． [答案] 304 11．隨機抽取某中學高三年級甲、乙兩班各10名同學，測量出他們的身高(單位：cm)，獲得身高數據的莖葉圖如圖，其中甲班有一個數據被污損． (1)若已知甲班同學身高平均數為170 cm，求污損處的數據； (2)現從乙班這10名同學中隨機抽取2名身高不低于173 cm的同學，求身高176 cm的同學被抽中的概率． [解] (1)甲班同學身高的平均數＝ ＝170． 解得a＝179，

19、所以污損處是9． (2)設“身高176 cm的同學被抽中”的事件為A， 從乙班10名同學中抽取2名身高不低于173 cm的同學有{181，173}，{181，176}，{181，178}，{181，179}，{179，173}，{179，176}，{179，178}，{178，173}，{178，176}，{176，173}，10個基本事件． 而事件A含有4個基本事件， 所以P(A)＝＝． 12．觀察下列三角形數表，假設第n行的第二個數為an(n≥2，n∈N*)． (1)依次寫出第六行的所有6個數字； (2)歸納出an＋1與an的關系式并求出an的通項公式． [解] (1)

20、第六行的所有6個數字分別是6，16，25，25，16，6． (2)依題意an＋1＝an＋n(n≥2)，a2＝2， an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3＋…＋(n－1)＝2＋． 所以an＝n2－n＋1(n≥2)． 13．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上的最大值為2，最小值為－．求證：a≠0且<2． [證明] 假設a＝0或≥2． (1)當a＝0時，由a＋c＝0， 得f(x)＝bx，顯然b≠0． 由題意得f(x)＝bx在[－1，1]上是單調函數， 所以f(x)的最大值為|b|，最小值為－|b|． 由已

21、知條件，得|b|＋(－|b|)＝2－＝－， 這與|b|＋(－|b|)＝0相矛盾， 所以a≠0． (2)當≥2時，由二次函數的對稱軸為x＝－， 知f(x)在[－1，1]上是單調函數，故其最值在區(qū)間的端點處取得． 所以 或 又a＋c＝0，則此時b無解， 所以<2． 由(1)(2)，得a≠0且<2． 14．定義在(0，＋∞)上的函數f(x)，如果對任意x∈(0，＋∞)，恒有f(kx)＝kf(x)(k≥2，k∈N*)成立，則稱f(x)為k階縮放函數． (1)已知函數f(x)為二階縮放函數，且當x∈(1，2]時，f(x)＝1＋logx，求f(2)的值； (2)已知函數f(x)為二

22、階縮放函數，且當x∈(1，2]時，f(x)＝，求證：函數y＝f(x)－x在(1，8)上無零點． [解] (1)由∈(1，2]得，f()＝1＋log＝， 由題中條件得f(2)＝2f()＝2×＝1． (2)證明：當x∈(2i，2i＋1](i＝0，1，2)時，∈(1，2]， 依題意可得： f(x)＝2f＝22f＝…＝2if＝2i＝． 方程f(x)－x＝0?＝x?x＝0或x＝2i，0與2i均不屬于(2i，2i＋1](i＝0，1，2)， 當x∈(2i，2i＋1](i＝0，1，2)時，方程f(x)－x＝0無實數解． 注意到(1，8)＝(20，21]∪(21，22]∪(22，23)，所以函數y＝f(x)－x在(1，8)上無零點． - 11 -