2019屆高考數學二輪復習 專題六 第1講 選修4-4 坐標系與參數方程學案

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1、第1講選修4-4坐標系與參數方程 高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數方程與普通方程的互化，常見曲線的參數方程及參數方程的簡單應用．以極坐標、參數方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識． 1．直角坐標與極坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位．設M是平面內的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則 2．直線的極坐標方程 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾

2、個特殊位置的直線的極坐標方程： (1)直線過極點：θ＝α； (2)直線過點M(a，0)(a>0)且垂直于極軸：ρcosθ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsinθ＝b． 3．圓的極坐標方程 幾個特殊位置的圓的極坐標方程： (1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； (2)當圓心位于M(r，0)，半徑為r：ρ＝2rcosθ； (3)當圓心位于M，半徑為r：ρ＝2rsinθ． 4．直線的參數方程 經過點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數方程為(t為參數)． 設P是直線上的任一點，則t表示有向線段的數量． 5．圓、橢圓的參數方程 (1)圓心在點M(x0，y0)，半

3、徑為r的圓的參數方程為(θ為參數，0≤θ≤2π)． (2)橢圓＋＝1的參數方程為(θ為參數)． 熱點一　曲線的極坐標方程 【例1】(2019·呼和浩特期中)在直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為． （Ⅰ）求與的直角坐標方程； （Ⅱ）若與的交于點，與交于、兩點，求的面積． 解（Ⅰ）∵曲線的極坐標方程為， ∴根據題意，曲線的普通方程為 ∵曲線的極坐標方程為， ∴曲線的普通方程為，即， （Ⅱ）∵曲線的極坐標方程為， ∴曲線的普通方程為， 聯立與:，得，解得， ∴點的坐標，點到的距離. 設，

4、將代入，得， 則，， , ∴． 探究提高　進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關鍵是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響，靈活運用代入法和平方法等技巧． 【訓練1】(2017·北京東城區(qū)調研)在極坐標系中，已知極坐標方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ． (1)求曲線C1，C2的直角坐標方程，并判斷兩曲線的形狀； (2)若曲線C1，C2交于A，B兩點，求兩點間的距離． 解　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0， ∴x－y－1＝0，表示一條直線．由C2：

5、ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ． ∴x2＋y2＝2x，則(x－1)2＋y2＝1， ∴C2是圓心為(1，0)，半徑r＝1的圓． (2)由(1)知，點(1，0)在直線x－y－1＝0上，因此直線C1過圓C2的圓心． ∴兩交點A，B的連線段是圓C2的直徑， 因此兩交點A，B間的距離|AB|＝2r＝2． 熱點二　參數方程及其應用 【例2】(2019·湖北聯考)在直角坐標系中，曲線（為參數），直線（為參數），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系. （1）求曲線與直線l的極坐標方程（極徑用表示，極角用表示）； （2）若直線與曲線相交，交點為、，直線與軸也相交，交點為，求的取

6、值范圍. 解（1）曲線，即，即，即或， 由于曲線過極點，∴曲線的極坐標方程為 直線，即， 即，即， 直線的極坐標方程為； （2）由題得， 設為線段的中點，圓心到直線的距離為， 則它在時是減函數， ∴的取值范圍． 探究提高　1．將參數方程化為普通方程的過程就是消去參數的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對參數方程進行變形，為消去參數創(chuàng)造條件． 2．在與直線、圓、橢圓有關的題目中，參數方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數方程代入相關曲線的普通方程中，根據參數的取值條件求解． 【訓練2】(2017·郴州三模)

7、在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標方程； (2)若直線l與曲線C的兩個交點分別為M，N，直線l與x軸的交點為P，求|PM|·|PN|的值． 解　(1)直線l的參數方程為(t為參數)， 消去參數t，得x＋y－1＝0． 曲線C的參數方程為(θ為參數)， 利用平方關系，得x2＋(y－2)2＝4，則x2＋y2－4y＝0． 令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的極坐標方程為ρ＝4sin θ． (2)在直線x＋y－1＝0中，令y

8、＝0，得點P(1，0)． 把直線l的參數方程代入圓C的方程得t2－3t＋1＝0， ∴t1＋t2＝3，t1t2＝1． 由直線參數方程的幾何意義，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1． 1．(2018·全國I卷)在直角坐標系中，曲線的方程為．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為． （1）求的直角坐標方程； （2）若與有且僅有三個公共點，求的方程． 2．(2018·全國II卷)在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為 （為參數）． （1）求和的直

9、角坐標方程； （2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率． 1．(2016·全國Ⅲ卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)，以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝2． (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標． 2．(2017·哈爾濱模擬)已知曲線C的參數方程為(θ為參數)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為

10、極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin＝4． (1)寫出曲線C的極坐標方程和直線l的普通方程； (2)若射線θ＝與曲線C交于O，A兩點，與直線l交于B點，射線θ＝與曲線C交于O，P兩點，求△PAB的面積． 1．(2017·新鄉(xiāng)三模)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ＝4cos θ，曲線M的直角坐標方程為x－2y＋2＝0(x>0)． (1)以曲線M上的點與點O連線的斜率k為參數，寫出曲線M的參數方程； (2)設曲線C與曲線M的兩個交點為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和．

11、 2．(2019·廈門期末)在同一直角坐標系中，經過伸縮變換后，曲線變?yōu)榍€.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為. （1）求和的直角坐標方程； （2）過點作的垂線交于兩點，點在軸上方，求． 參考答案 1．【解題思路】(1)就根據，以及，將方程中的相關的量代換，求得直角坐標方程； (2)結合方程的形式，可以斷定曲線是圓心為，半徑為的圓，是過點且關于軸對稱的兩條射線，通過分析圖形的特征，得到什么情況下會出現三個公

12、共點，結合直線與圓的位置關系，得到所滿足的關系式，從而求得結果. 【答案】（1）由可得：，化為． （2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓， 由題設知，是過點且關于軸對稱的兩條射線． 記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點． 當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或． 經檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與只有一個公共點，與有兩個公共點． 當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或． 經檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與沒有公共點． 綜上，所求的方程為．

13、 2．【解題思路】(1)根據同角三角函數關系將曲線的參數方程化為直角坐標方程，根據代入消元法將直線的參數方程化為直角坐標方程，此時要注意分與兩種情況.(2)將直線參數方程代入曲線的直角坐標方程，根據參數幾何意義得之間關系，求得，即得的斜率． 【答案】（1）曲線的直角坐標方程為， 當時，的直角坐標方程為， 當時，的直角坐標方程為． （2）將的參數方程代入的直角坐標方程，整理得關于的方程 ．① 因為曲線截直線所得線段的中點在內，所以①有兩個解，設為，，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 1．【解題思路】(1)曲線C1利用消參，曲線C2利用化為直角坐標方程．(2)利用點到直線

14、距離公式，曲線C1直接用參數方程，用三角函數求其最值． 【答案】解　(1)C1的普通方程為＋y2＝1，曲線C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0． (2)由題意，可設點P的直角坐標為(cos α，sin α)．因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值． 又d(α)＝＝，當且僅當α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時點P的直角坐標為． 2．【解題思路】(1)曲線C1利用消參，曲線C2利用化為直角坐標方程．(2)分別聯立求出A，B，P的坐標． 【答案】解　(1)由(θ為參數)，消去θ． 普通方程為(x－2)2＋y2＝4． 從而曲線C的極

15、坐標方程為ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ， 因為直線l的極坐標方程為ρsin＝4，即ρsin θ＋ρcos θ＝4， ∴直線l的直角坐標方程為x＋y－8＝0． (2)依題意，A，B兩點的極坐標分別為，， 聯立射線θ＝與曲線C的極坐標方程，得P點極坐標為， ∴|AB|＝2，∴S△PAB＝×2×2sin＝2． 1．【解題思路】 (1)；(2)聯立曲線M的參數方程和曲線C的直角坐標方程，韋達定理． 【答案】解　(1)由得 故曲線M的參數方程為． (2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x2＋y2＝4x． 將代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0， ∴k1＋k2＝4．故直線OA與直線OB的斜率之和為4． 2．【解題思路】(1)將代入得，即可得到曲線的方程；由，代入即可得到直線的直角坐標方程； （2）由題意，得過點的垂線的參數方程為（為參數），代入曲線的方程，根據參數的幾何意義，即可求解. 【答案】(1)將代入得，曲線的方程為， 由得， 因為，代入上式得直線l的直角坐標方程為； （2）因為直線的傾斜角為，所以其垂線的傾斜角為， 過點的垂線的參數方程為，即（為參數） 代入曲線的方程整理得， 設兩點對應的參數為（由題意知，） 則，且， 所以. 11