2019屆高考數學總復習 模塊七 選考模塊 第22講 不等式選講學案 理

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1、第22講　不等式選講 1.[2018·全國卷Ⅱ]設函數f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)當a=1時,求不等式f(x)≥0的解集; (2)若f(x)≤1,求a的取值范圍. [試做]? ? ? 2.[2018·全國卷Ⅰ]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集; (2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍. [試做]? ? ? 3.[2017·全國卷Ⅱ]已知a>0,b>0,a3+b3=2,證明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. [試做]? ? ? (1

2、)形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式主要有兩種解法: ①分段討論法:利用絕對值內表達式對應方程的根,將數軸分為(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此處設a

3、問題的已知條件出發(fā),借助不等式的性質和有關定理,經過逐步的邏輯推理,最后得到需證的結論. 解答1含絕對值不等式的解法 1 已知函數f(x)=|x-a|-|3x+2|(a>0). (1)當a=1時,解不等式f(x)>x-1; (2)若關于x的不等式f(x)>4有解,求a的取值范圍. [聽課筆記] ? ? ? 【考場點撥】 (1)對于形如|f(x)|≥|g(x)|的不等式,可利用不等式兩邊平方的技巧去掉絕對值;(2)對于形如|f(x)|±|g(x)|≥a,|f(x)|±|g(x)|≤a的不等式,通常利用“零點”分區(qū)間法去掉絕對值. 【自我檢測】 設函數f(x)=|2x-

4、7|+1. (1)求不等式f(x)≤x的解集; (2)若存在x使不等式f(x)-2|x-1|≤a成立,求實數a的取值范圍. ? ? 解答2不等式的證明 2 已知a>0,b>0,且a2+b2=2. (1)若1a2+4b2≥|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范圍; (2)證明:1a+1b(a5+b5)≥4. [聽課筆記] ? ? ? 【考場點撥】 (1)證明不等式的基本方法有綜合法、分析法,也常用到基本不等式進行證明;(2)對于含有絕對值的不等式,在證明時常用到絕對值三角不等式;(3)對于含有根號的不等式,在證明時可用平方法(前提是不等式兩邊均為正數);(4)如

5、果所證命題是否定性命題或唯一性命題,或以“至少”“至多”等方式給出,可以考慮反證法. 【自我檢測】 已知關于x的不等式12x+m≤|x+2|的解集為R. (1)求實數m的值; (2)若a,b,c>0,且a+b+c=m,求證:a+b+c≤3. ? ? 解答3含絕對值不等式的恒成立問題 3 已知函數f(x)=|x-2|+2|x-1|. (1)求不等式f(x)>4的解集; (2)若不等式f(x)>2m2-7m+4對任意x∈R恒成立,求實數m的取值范圍. [聽課筆記] ? ? ? 【考場點撥】 利用絕對值不等式恒成立求參數的值或取值范圍常用以下結論:①若f(x)>g(a

6、)恒成立,則f(x)min>g(a);②若f(x)0的解集; (2)若對于任意x∈R,不等式f(x)≥2恒成立,求m的取值范圍. ? 第22講　不等式選講 典型真題研析 1.解:(1)當a=1時, f(x)=2x+4,x≤-1,2,-12

7、. 可得f(x)≥0的解集為{x|-2≤x≤3}. (2)f(x)≤1等價于|x+a|+|x-2|≥4. 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且當x=2時等號成立,故f(x)≤1等價于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2, 所以a的取值范圍是(-∞,-6]∪[2,+∞). 2.解:(1)當a=1時,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x≤-1,2x,-11的解集為xx>12. (2)當x∈(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當x∈(0,1)時|ax-1|<1成立. 若a≤0,則當x∈(

8、0,1)時|ax-1|≥1; 若a>0,|ax-1|<1的解集為x0x-1即為|x-1|-|3x+2|>x-1.

9、當x>1時,不等式可化為-2x-3>x-1,解得x<-23,與x>1矛盾,此時不等式無解; 當-23≤x≤1時,不等式可化為-4x-1>x-1, 解得x<0,所以-23≤x<0; 當x<-23時,不等式可化為2x+3>x-1, 解得x>-4,所以-4a. 因為函數f(x)在-∞,-23上單調遞增,在-23,+∞上單調遞減, 所以當x=-23時,f(x)max=23+a. 不等式f(x)>4有解等價于f(x)max=23+

10、a>4,解得a>103, 故a的取值范圍為103,+∞. 【自我檢測】 解:(1)由f(x)≤x,得|2x-7|+1≤x,即|2x-7|≤x-1. 當x≤1時,顯然不成立. 當x>1時,兩邊平方得3x2-26x+48≤0,即(x-6)(3x-8)≤0,解得83≤x≤6, 綜上得,不等式的解集為x83≤x≤6. (2)因為存在x使不等式|2x-7|-2|x-1|+1≤a成立,所以|2x-7|-2|x-1|+1的最小值小于等于a. 又因為|2x-7|-2|x-1|+1=6,x≤1,-4x+10,1

11、2x-1|-|x-1|,則f(x)=x,x≥1,3x-2,12≤x<1,-x,x<12. 由a2+b2=2,得12(a2+b2)=1, 所以1a2+4b2=121a2+4b2(a2+b2)=121+4+b2a2+4a2b2≥121+4+2b2a2·4a2b2=92, 當且僅當a2=23,b2=43時等號成立, 所以92≥|2x-1|-|x-1|. 當x≥1時,得x≤92,所以1≤x≤92; 當12≤x<1時,得3x-2≤92,解得x≤136,所以12≤x<1; 當x<12時,得-x≤92,解得x≥-92,所以-92≤x<12. 綜上可得-92≤x≤92. (2)證明:1a+1

12、b(a5+b5)=a4+b4+b5a+a5b=(a2+b2)2+b5a+a5b-2a2b2≥(a2+b2)2+2b5a·a5b-2a2b2=(a2+b2)2=4,當且僅當b5a=a5b,即a=b=1時等號成立. 【自我檢測】 解:(1)∵12x+m≤|x+2|, ∴12x+m2≤(x+2)2, 整理得3x2+(16-4m)x+16-4m2≥0. 由題意得Δ=(16-4m)2-4×3×(16-4m2)≤0, 整理得(m-1)2≤0, ∴m=1. (2)證明:∵a+b+c=1,a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ac,當且僅當a=b=c=13時等號都成立, ∴ab+bc+a

13、c≤a+b+c=1. 又∵(a+b+c)2=a+b+c+2ab+2bc+2ac, ∴(a+b+c)2≤3, ∴a+b+c≤3. 解答3 例3　解:(1)依題意得f(x)=|x-2|+2|x-1|=4-3x,x<1,x,1≤x≤2,3x-4,x>2. 不等式f(x)>4等價于x<1,4-3x>4或1≤x≤2,x>4或x>2,3x-4>4, 解得x<0或x∈?或x>83,故所求解集為(-∞,0)∪83,+∞. (2)由(1)可得,當x=1時,f(x)取得最小值1. ∵f(x)>2m2-7m+4對任意x∈R恒成立, ∴f(x)min>2m2-7m+4,即2m2-7m+4<1,

14、∴2m2-7m+3<0,解得122. 當m=5時,f(x)>0等價于x≤-1,-2x+1>5或-15或x>2,2x-1>5, 解得x<-2或x∈?或x>3, ∴不等式f(x)>0的解集為(-∞,-2)∪(3,+∞). (2)由題意知m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立, 又|x+1|+|x-2|-2≥|(x+1)-(x-2)|-2=1, ∴m≤1,即m的取值范圍是(-∞,1]. [備選理由] 例1考

15、查含參絕對值不等式的求解,解題時要對參數進行分類討論,有利于學生進一步掌握去掉絕對值的原則;例2考查不等式的證明,需要采用反證法證明,難度不大,但思維含量較高;例3考查絕對值不等式恒成立問題,需要分類討論去掉絕對值,涉及分類與整合思想,分離參數法,利用基本不等式及導數求最值等知識與思想方法, 綜合性較大. 例1　[配例1使用] 已知函數f(x)=|2x+1|+|x-a|,a∈R. (1)當a=2時,解不等式f(x)≤4; (2)若不等式f(x)<1的解集為非空集合,求a的取值范圍. 解:(1)當a=2時,原不等式即為|2x+1|+|x-2|≤4. ①當x≤-12時,原不等式為-2x-

16、1-x+2≤4,可得-1≤x≤-12; ②當-122時,原不等式為2x+1+x-2≤4,可得x∈?. 綜上可知,原不等式的解集是[-1,1]. (2)f(x)=|2x+1|+|x-a|,a∈R. ①當a=-12時,f(x)=32|2x+1|≥0,顯然不等式f(x)<1的解集為非空集合. ②當a>-12時,易知當x=-12時,f(x)取得最小值a+12,即f(x)=|2x+1|+|x-a|≥a+12.欲使不等式f(x)<1的解集為非空集合,則需a+12<1, ∴-12

17、=-12時,f(x)取得最小值-a-12,即f(x)=|2x+1|+|x-a|≥-a-12.欲使不等式f(x)<1的解集為非空集合,則需-a-12<1,∴-320,n>0,求證:m+n≤2. 解:(1)f(x)=|x+1|+|x-1|≥|x+1-(x-1)|=2,當且僅當-1≤x≤1時取等號, 所以f(x)min=2,即a=2. (2)證明:假設m

18、+n>2,則m>2-n,則m3>(2-n)3, 所以m3+n3>(2-n)3+n3=2+6(1-n)2≥2.① 由(1)知a=2,所以m3+n3=2.② ①②矛盾,所以假設不成立,即m+n≤2. 例3　[配例3使用] 已知函數f(x)=|2x|+|2x+3|+m,m∈R. (1)當m=-2時,求不等式f(x)≤3的解集; (2)若對任意x∈(-∞,0),都有f(x)≥x+2x恒成立,求m的取值范圍. 解:(1)當m=-2時,f(x)=|2x|+|2x+3|-2=4x+1(x≥0),1-32

19、x<0時,得1≤3,恒成立; 當x≤-32時,得-4x-5≤3,可得-2≤x≤-32. 綜上可得,不等式f(x)≤3的解集為-2,12. (2)當x∈(-∞,0)時,f(x)=|2x|+|2x+3|+m=3+m-320, ∴y=5x+2x+3在-∞,-32上是增函數. ∴當x=-32時,y=5x+2x+3取到最大值,最大值為-356, ∴m≥-356. 綜上可得m≥-3-22. 11