（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第四章 三角函數(shù) 第21講 簡單三角恒等變換導學案 新人教A版

第21講簡單三角恒等變換【課程要求】1能利用兩角和與差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式進行簡單的三角恒等變換2能利用上述公式及三角恒等變換的基本思想方法對三角函數(shù)式進行化簡、求值及恒等式的證明對應學生用書p57【基礎(chǔ)檢測】1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)對任意的角，都有cos2成立()(2)ysin4xcos4x的周期為.()(3)ysinxcosx在x取最大值是2.()答案 (1)×(2)×(3)2必修4p143B組T2已知sin74°a，則cos8°_(用含a的式子表示)解析由題知cos16°sin74°a，又cos16°2cos28°1a，所以cos28°，cos8°.答案3必修4p141例4如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為1，圓心角為的扇形鐵片AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ，使點P在弧AB上，點Q在OA上，點M，N在OB上，設BOP，平行四邊形MNPQ的面積為S.(1)求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)求S的最大值及相應的的大小解析 (1)分別過P，Q作PDOB于點D，QEOB于點E，則四邊形QEDP為矩形由扇形半徑為1，得|PD|sin，|OD|cos.又|OE|QE|PD|，|MN|QP|DE|OD|OE|cossin，S|MN|·|PD|·sinsincossin2，.(2)由(1)知Ssin2(1cos2)sin2cos2sin，因為，所以2，所以sin.當時，S取最大值，且Smax.4化簡tan70°cos10°(tan20°1)的值為()A1B2C1D2解析原式·cos10°·×2sin(20°30°)1.答案C5若sin2，sin()，且，則的值是()A.B.C.或D.或解析，2，sin2，2.且cos2，又sin()，cos()，cos()cos()2cos()cos2sin()sin2××，又，所以.答案A【知識要點】1三角變換的一般方法(1)角的變換，一般包括角的分解和角的組合，如()，x，2·等；(2)函數(shù)名稱的變換，一般包括將三角函數(shù)統(tǒng)一成弦，以減少函數(shù)種類，對齊次式也可化成切；(3)注意結(jié)構(gòu)的變換，如升冪與降冪，輔助角公式等；(4)角變換中以角的變換為中心；解題時，一看角，二看名稱，三看結(jié)構(gòu)2三角變換的常見題型(1)化簡：靈活選用和、差、倍、輔助角公式進行三角恒等變換是化簡三角函數(shù)式的難點，解題時應注意降次，減少角的種類及三角函數(shù)的種類，注意角的范圍及三角函數(shù)的正負(2)求值：給值求值時，注意要求角與已知角及特殊角的關(guān)系(3)證明：證明三角恒等式的實質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一對應學生用書p58三角函數(shù)的化簡問題例1(1)化簡：；(2)已知x0，sinxcosx.求的值解析 (1)原式cos2x.(2)由sinxcosx，兩邊平方得sin2x2sinxcosxcos2x，即2sinxcosx.sinxcosx(2cosxsinx)×.小結(jié)三角函數(shù)式的變形，主要思路為角的變換、函數(shù)變換、結(jié)構(gòu)變換，常用技巧有“輔助角”“1的代換”“切弦互化”等，其中角的變換是核心三角函數(shù)式的化簡原則：盡量使函數(shù)種類最少，次數(shù)相對較低，項數(shù)最少，盡量使分母不含三角函數(shù)，盡量去掉根號或減少根號的層次，能求值的應求出其值1化簡：2cos()解析原式.三角函數(shù)的求值問題例2已知tan2.(1)求tan的值；(2)求的值解析 (1)tan3.(2)1.例3已知，為銳角，cos，sin()，則cos_解析因為，為銳角，cos，sin()，所以sin，cos()±±，當cos()時，sinsinsin()coscos()sin××<0，與sin>0矛盾，所以coscoscos()cossin()sin××.答案小結(jié)三角函數(shù)求值的3類求法(1)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系(2)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解(3)“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角2已知銳角，滿足sin，cos，則等于()A.B.或C.D2k(kZ)解析由sin，cos，且，為銳角，可知cos，sin，故cos()coscossinsin××，又0<<，故.答案C三角恒等式的證明問題例4求證.解析左邊右邊小結(jié)三角恒等式的證明一般有三種方式：從左到右，從右到左，左右某一三角式一般來說都是從復雜的一端向簡單的一端證明3已知，證明：2tan.解析由于，所以，所以sin>cos>0，sincos>0.故原式2tan.對應學生用書p601(2016·全國卷文)若tan，則cos2()ABC.D.解析cos2，又tan，cos2.答案D2(2018·江蘇)已知，為銳角，tan，cos().(1)求cos2的值；(2)求tan()的值解析 (1)因為tan，tan，所以sincos.因為sin2cos21，所以cos2.因此，cos22cos21.(2)因為、為銳角，所以(0，)又因為cos()，所以sin()，因此tan()2.因為tan，所以tan2，因此，tan()tan2().10