（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第四章 三角函數(shù) 第21講 簡單三角恒等變換導學案 新人教A版

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1、第21講　簡單三角恒等變換 【課程要求】 1．能利用兩角和與差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式進行簡單的三角恒等變換． 2．能利用上述公式及三角恒等變換的基本思想方法對三角函數(shù)式進行化簡、求值及恒等式的證明． 對應學生用書p57 【基礎檢測】 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)對任意的角α，都有cos2＝成立．(　　) (2)y＝sin4x－cos4x的周期為.(　　) (3)y＝sinx＋cosx在x＝取最大值是2.(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)√ 2．[必修4p143B組T2]已知sin74°＝a，則cos8°＝

2、__________．(用含a的式子表示) [解析]由題知cos16°＝sin74°＝a， 又cos16°＝2cos28°－1＝a， 所以cos28°＝， cos8°＝＝. [答案] 3．[必修4p141例4]如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為1，圓心角為的扇形鐵片AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ，使點P在弧AB上，點Q在OA上，點M，N在OB上，設∠BOP＝θ，平行四邊形MNPQ的面積為S. (1)求S關于θ的函數(shù)關系式； (2)求S的最大值及相應的θ的大?。? [解析] (1)分別過P，Q作PD⊥OB于點D，QE⊥OB于點E， 則四邊形QEDP為矩形． 由扇形半徑為1，得

3、|PD|＝sinθ， |OD|＝cosθ. 又|OE|＝|QE|＝|PD|， ∴|MN|＝|QP|＝|DE|＝|OD|－|OE|＝cosθ－sinθ， ∴S＝|MN|·|PD|＝·sinθ ＝sinθcosθ－sin2θ，θ∈. (2)由(1)知S＝sin2θ－(1－cos2θ) ＝sin2θ＋cos2θ－＝sin－， 因為θ∈， 所以2θ＋∈，所以sin∈. 當θ＝時，S取最大值，且Smax＝. 4．化簡tan70°cos10°(tan20°－1)的值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1B．2 C．－1D．－2 [解析]原式＝·cos

4、10° ＝· ＝×2sin(20°－30°)＝－＝－1. [答案]C 5．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，則α＋β的值是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.B. C.或D.或 [解析]∵α∈，∴2α∈， ∵sin2α＝，∴2α∈. ∴α∈且cos2α＝－， 又∵sin(β－α)＝，β∈， ∴β－α∈，cos(β－α)＝－， ∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α ＝×－×＝， 又α＋β∈，所以α＋β＝. [答案]A 【知識要點】 1．三角變換的一般方法

5、 (1)角的變換，一般包括角的分解和角的組合，如α＝(α＋β)－β，＋x＝－，α＝2·等； (2)函數(shù)名稱的變換，一般包括將三角函數(shù)統(tǒng)一成弦，以減少函數(shù)種類，對齊次式也可化成切； (3)注意結構的變換，如升冪與降冪，輔助角公式等； (4)角變換中以角的變換為中心；解題時，一看角，二看名稱，三看結構． 2．三角變換的常見題型 (1)化簡：靈活選用和、差、倍、輔助角公式進行三角恒等變換是化簡三角函數(shù)式的難點，解題時應注意降次，減少角的種類及三角函數(shù)的種類，注意角的范圍及三角函數(shù)的正負． (2)求值：給值求值時，注意要求角與已知角及特殊角的關系． (3)證明：證明三角恒等式的實質是消除

6、等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一． 對應學生用書p58 三角函數(shù)的化簡問題 例1　(1)化簡：； (2)已知－＜x＜0，sinx＋cosx＝. 求的值． [解析] (1)原式＝ ＝＝＝ ＝cos2x. (2)由sinx＋cosx＝，兩邊平方得 sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝， 即2sinxcosx＝－. ∴＝ ＝sinxcosx(2－cosx－sinx)＝× ＝－. [小結]①三角函數(shù)式的變形，主要思路為角的變換、函數(shù)變換、結構變換，常用技巧有“輔助角”“1的代換”“切弦互化”等，其中角的變換是核心．②三角函數(shù)式的化簡原則：盡量使函數(shù)種

7、類最少，次數(shù)相對較低，項數(shù)最少，盡量使分母不含三角函數(shù)，盡量去掉根號或減少根號的層次，能求值的應求出其值． 1．化簡：－2cos(α＋β)． [解析]原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 三角函數(shù)的求值問題 例2　已知tanα＝2. (1)求tan的值； (2)求的值． [解析] (1)tan＝＝＝－3. (2) ＝ ＝＝＝1. 例3　已知α，β為銳角，cosα＝，sin(α＋β)＝，則cosβ＝________． [解析]因為α，β為銳角，cosα＝，sin(α＋β)＝，所以sinα＝＝，cos(α＋β)＝±＝±，當cos(α＋β)＝時，sinβ＝sin＝sin

8、(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×<0，與sinβ>0矛盾，所以cosβ＝cos＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝. [答案] [小結]三角函數(shù)求值的3類求法 (1)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系． (2)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式轉化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解． (3)“給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)

9、值，再求角的范圍，最后確定角． 2．已知銳角α，β滿足sinα＝，cosβ＝，則α＋β等于(　　) A.B.或 C.D．2kπ＋(k∈Z) [解析]由sinα＝，cosβ＝，且α，β為銳角，可知cosα＝，sinβ＝， 故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋β＝. [答案]C 三角恒等式的證明問題 例4　求證＝. [解析]左邊＝＝＝＝＝右邊． [小結]三角恒等式的證明一般有三種方式：從左到右，從右到左，左＝右＝某一三角式．一般來說都是從復雜的一端向簡單的一端證明． 3．已知θ∈，證明：－＝2tanθ. [解

10、析]由于θ∈，所以∈，所以sin>cos>0，sin－cos>0. 故原式＝－ ＝－＝－＝＝＝2tanθ. 對應學生用書p60 1．(2016·全國卷Ⅲ文)若tanθ＝－，則cos2θ＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－B．－C.D. [解析]∵cos2θ＝＝， 又∵tanθ＝－，∴cos2θ＝＝. [答案]D 2．(2018·江蘇)已知α，β為銳角，tanα＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值． [解析] (1)因為tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα. 因為sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝. 因此，cos2α＝2cos2α－1＝－. (2)因為α、β為銳角，所以α＋β∈(0，π)． 又因為cos(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因為tanα＝，所以tan2α＝＝－， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. 10