（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第28講 平面向量的數(shù)量積導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第28講平面向量的數(shù)量積【課程要求】1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角及判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系5會(huì)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題及力學(xué)問(wèn)題對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p78【基礎(chǔ)檢測(cè)】1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(3)由a·b0可得a0或b0.()(4)(a·b)ca(b·c)()(5)兩個(gè)向量的夾角的范圍是.()(6)若a·b>0，則a和b的夾角為銳角；若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角()答案 (1)(2)(3)×(4)×(5)×(6)×2必修4p105例4已知向量a(2，1)，b(1，k)，a·(2ab)0，則k_解析2ab(4，2)(1，k)(5，2k)，由a·(2ab)0，得(2，1)·(5，2k)0，102k0，解得k12.答案123必修4p106T3已知|a|5，|b|4，a·b10，則向量b在向量a方向上的投影為_(kāi)解析由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos2.答案24已知點(diǎn)A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為()A.B.CD解析由題意知(2，1)，(5，5)，則在方向上的投影為|·cos，.答案A5已知ABC的三邊長(zhǎng)均為1，且c，a，b，則a·bb·ca·c_解析a，bb，ca，c120°，|a|b|c|1，a·bb·ca·c1×1×cos120°，a·bb·ca·c.答案6設(shè)向量a(1，2)，b(m，4)，如果向量a與b的夾角為銳角，則m的取值范圍是_解析a·bm2×48m>0，且ab(>0)，解得m<8且m2.答案 (，2)(2，8)【知識(shí)要點(diǎn)】1兩向量的夾角已知非零向量a，b，作a，b，則AOB叫做a與b的夾角a與b的夾角的取值范圍是_0，_當(dāng)a與b同向時(shí)，它們的夾角為_(kāi)0_；當(dāng)a與b反向時(shí)，它們的夾角為_(kāi)；當(dāng)夾角為90°時(shí)，我們說(shuō)a與b垂直，記作ab.2向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把_|a|b|cos_叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos.規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0，即0·a0.3向量數(shù)量積的幾何意義向量的投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正值；當(dāng)為鈍角時(shí)，_它是負(fù)值_；當(dāng)為直角時(shí)，它是零a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于_a的長(zhǎng)度|a|_與b在a方向上的投影|b|cos的乘積4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|_數(shù)量積a·b|a|·|b|cosa·bx1x2y1y2夾角coscosab的充要條件a·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|·|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2|·5.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·bb·a.(2)(a)·b(a·b)a·(b)(R)(3)(ab)·ca·cb·c.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p79平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算例1(1)已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，ae12e2，bke1e2，若a·b0，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)解析因?yàn)閍·b(e12e2)·(ke1e2)ke(12k)(e1·e2)2e，且|e1|e2|1，e1·e2，所以k(12k)·20，解得k.答案(2)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4，若點(diǎn)M，N滿足3，2，則·等于()A20B15C9D6解析，·(43)·(43)(16292)(16×629×42)9，故選C.答案C(3)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，中心為O，直線l經(jīng)過(guò)中心O，交AB于M，交CD于N, P為平面上一點(diǎn)，且2(1)，則·的最小值是()AB1CD2解析由題意可得：·(4242)22，設(shè)2，則(1)，(1)1，Q，B，C三點(diǎn)共線當(dāng)MN與BD重合時(shí)，最大，且max2，據(jù)此：(·)min2.答案C小結(jié)向量數(shù)量積的2種運(yùn)算方法方法運(yùn)用提示適用題型定義法當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b|a|·|b|cos適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題坐標(biāo)法當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題1已知向量a(1，1)，b(2，x)，若a·b1，則x()A1BC.D1解析a·b1×2(1)×x2x1，x1.答案D2已知向量與的夾角為120°，且|3，|2，若，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)解析向量與的夾角為120°，且|3，|2，·|·|cos120°2×3×3.，且，···0，即··|2|20，33490，解得.答案平面向量的夾角與垂直問(wèn)題例2已知a(1，2)，b(3，4)，cab(R)(1)為何值時(shí)，|c|最?。看藭r(shí)c與b的位置關(guān)系如何？(2)為何值時(shí)，c與a的夾角最?。看藭r(shí)c與a的位置關(guān)系如何？解析 (1)c(13，24)，|c|2(13)2(24)2510252254，當(dāng)時(shí)，|c|最小，此時(shí)c，b·c(3，4)·0，bc，當(dāng)時(shí)，|c|最小，此時(shí)bc.(2)設(shè)c與a的夾角為，則cos，要c與a的夾角最小，則cos最大，0，故cos的最大值為1，此時(shí)0，cos1，1，解之得0，c(1，2)0時(shí)，c與a的夾角最小，此時(shí)c與a平行小結(jié)求平面向量的夾角的方法定義法：cos，注意的取值范圍為0，坐標(biāo)法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos.解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解3平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m等于()A2B1C1D2解析因?yàn)閍(1，2)，b(4，2)，所以cmab(m，2m)(4，2)(m4，2m2)根據(jù)題意可得，所以，解得m2.答案D平面向量的模及其應(yīng)用例3(1)已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)·(bc)0，則|c|的最大值是()A1B2C.D.解析由(ac)·(bc)0，得a·b(ab)·cc20，因?yàn)閍與b垂直，所以a·b0，進(jìn)而可得c2(ab)·c，即|c|2|ab|c|cos，又由a、b為互相垂直的兩個(gè)單位向量可知|ab|.所以|c|cos，|c|，即|c|的最大值為.答案C(2)已知|a|4，e為單位向量，當(dāng)a，e的夾角為時(shí)，ae在ae上的投影為()A5B.C.D.解析由題設(shè)，(ae)·(ae)421215，所以.答案D小結(jié)解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解向量在另一個(gè)向量上的投影的概念求解時(shí)先求兩個(gè)向量ae和ae的模及數(shù)量積的值，然后再運(yùn)用向量的射影的概念，運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算，從而使得問(wèn)題獲解例4在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)(1)求向量，夾角的大小；(2)若動(dòng)點(diǎn)D滿足|1，求|的最大值解析 (1)因?yàn)锳(1，0)，B(0，)，C(3，0)，所以(4，0)，(3，)，所以cos，所以向量，的夾角為30°.(2)因?yàn)镃的坐標(biāo)為(3，0)且|CD|1，所以動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以C為圓心的單位圓，則D的坐標(biāo)滿足參數(shù)方程(為參數(shù)且0，2)，所以設(shè)D的坐標(biāo)為(3cos，sin)(0，2)，則|.因?yàn)?cossin的最大值為，所以|的最大值為1.小結(jié)求解平面向量模的方法寫(xiě)出有關(guān)向量的坐標(biāo)，利用公式|a|即可當(dāng)利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解，|a|.4(2017·全國(guó)卷理)已知向量a，b的夾角為60°，|a|2，|b|1，則|a2b|_解析法一：|a2b|2.法二：(數(shù)形結(jié)合法)由|a|2b|2知，以a與2b為鄰邊可作出邊長(zhǎng)為2的菱形OACB，如圖，則|a2b|.又AOB60°，所以|a2b|2.答案2對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p801(2019·全國(guó)卷理)已知非零向量a，b滿足2，且(ab)b，則a與b的夾角為()A.B.C.D.解析由(ab)b知a·bb20，又|a|2|b|，所以2|b|2cos|b|20，cos，所以，故選B.答案B2(2019·全國(guó)卷理)已知(2，3)，(3，t)，|1，則·()A3B2C2D3解析由(1，t3)，1，得t3，則(1，0)，·(2，3)·(1，0)2×13×02.故選C.答案C3(2017·北京卷理)已知點(diǎn)P在圓x2y21上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，O為原點(diǎn)，則·的最大值為_(kāi)解析法一：由題意知，(2，0)，令P(cos，sin)，則(cos2，sin)，·(2，0)·(cos2，sin)2cos46，當(dāng)且僅當(dāng)cos1，即0，P(1，0)時(shí)“”成立，故·的最大值為6.法二：由題意知，(2，0)，令P(x，y)，1x1，則·(2，0)·(x2，y)2x46，當(dāng)且僅當(dāng)x1，P(1，0)時(shí)“”成立，故·的最大值為6.法三：·表示在方向上的投影與|的乘積當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B(1，0)處時(shí)，·有最大值，此時(shí)·2×36.答案610