（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第4講 函數(shù)及其表示導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第二章 函數(shù)知識體系p9第4講函數(shù)及其表示【課程要求】1了解映射的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)解析式2在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇適當(dāng)?shù)姆椒?圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)3了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用4掌握求函數(shù)定義域及解析式的基本方法對應(yīng)學(xué)生用書p9【基礎(chǔ)檢測】1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)對于函數(shù)f：AB，其值域就是集合B.()(2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等()(3)函數(shù)f(x)的圖象與直線x1最多有一個交點()(4)若AR，Bx|x>0，f：xy|x|，其對應(yīng)是從A到B的映射()(5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的()答案 (1)×(2)×(3)(4)×(5)×2必修1p74T7(2)函數(shù)f(x)log2(6x)的定義域是_答案 3，6)3必修1p25B組T1函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是_；值域是_；其中只有唯一的x值與之對應(yīng)的y值的范圍是_答案 3，02，3；1，5；1，2)(4，54已知函數(shù)f(x)的定義域為0，2，則函數(shù)f(2x)的定義域為()Ax|0x4Bx|0x4Cx|0x1Dx|0x1解析因為函數(shù)f(x)的定義域為0，2，所以02x2，解得0x1，所以函數(shù)f(2x)的定義域為x|0x1答案D5已知fx2x，則f_解析設(shè)t2x1，則x，f，即f.答案6已知f(x)若f(a)2，則a的值為_解析當(dāng)a0時，2a22，解得a2；當(dāng)a<0時，a232，解得a1.綜上，a的值為1或2.答案1或2【知識要點】1函數(shù)與映射函數(shù)映射兩個集合A，B設(shè)A，B是兩個_非空數(shù)集_設(shè)A，B是兩個非空_集合_對應(yīng)關(guān)系f：AB如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的_任意_一個數(shù)x，在集合B中都有_唯一確定_的數(shù)f(x)和它對應(yīng)如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的_任意_一個元素x，在集合B中都有_唯一確定_的元素y與之對應(yīng)名稱稱_f：AB_為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱f：AB為從集合A到集合B的一個映射函數(shù)記法函數(shù)yf(x)，xA映射：f：AB2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的_定義域_；與x的值相對應(yīng)的y值叫做_函數(shù)值_，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的_值域_(2)函數(shù)的三要素：_定義域_、_對應(yīng)關(guān)系_和_值域_(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有_解析法_、_圖象法_和_列表法_(4)求函數(shù)解析式題型方法步驟已知函數(shù)f(g(x)F(x)求解析式配湊法將右邊的F(x)整理或配湊成關(guān)于g(x)的表達式，然后用x將g(x)代換，便得f(x)的解析式(如例3(1)法一)已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)F(x)求解析式換元法令g(x)t，從中解出x(用t表示)，代入F(x)進行換元后，得到f(t)，再將t換成x，便得f(x)的解析式(如例3(1)法二)已知函數(shù)類型(如一次函數(shù)，二次函數(shù))求解析式待定系數(shù)法先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程(組)，通過解方程(組)求出相應(yīng)的系數(shù)(如例3(2)求抽象函數(shù)解析式(已知函數(shù)的抽象關(guān)系式求解函數(shù)解析式的問題)解方程組法已知關(guān)于f(x)與f或f(x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)的解析式(如訓(xùn)練鞏固T6)3.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因_對應(yīng)關(guān)系_不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的_并集_，其值域等于各段函數(shù)的值域的_并集_，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)對應(yīng)學(xué)生用書p10函數(shù)與映射的概念例1(1)下列圖形中可以表示以Mx|0x1為定義域，Ny|0y1為值域的函數(shù)圖象是()解析對于選項A，函數(shù)定義域為M，值域不是N；對于選項B，函數(shù)定義域不是M，值域為N；對于選項C，函數(shù)定義域是M，值域為N，符合題意；對于選項D，集合M中存在x與集合N中的兩個y對應(yīng)，不構(gòu)成映射關(guān)系，故也不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系答案C(2)(多選)下列各組函數(shù)中，f與g相等的是()Afx1，g1Bflog22x，gxCf，gDflnx2，g2lnx解析Afx1定義域為R，g1定義域為，故fg，A錯誤；Bflog22xx，gx，故fg，B正確；Cf，g，且f與g定義域相同，fg，C正確；Dflnx2定義域為，g2lnx定義域為，故fg，D錯誤答案BC小結(jié)(1)兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)，取決于它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同，只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同時，才表示同一個函數(shù)判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對于函數(shù)定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同(2)函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定1下列集合A到集合B的對應(yīng)f不是函數(shù)的有()A1，0，1，B1，0，1，f：A中的數(shù)的平方；A0，1，B1，0，1，f：A中的數(shù)的平方根；AZ，BQ，f：A中的數(shù)取倒數(shù)；AR，B正實數(shù)，f：A中的數(shù)取絕對值A(chǔ)BCD解析判斷一個對應(yīng)是否為函數(shù)，主要看對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中能否找到唯一確定的數(shù)與之對應(yīng)根據(jù)函數(shù)的概念，可知是函數(shù)；中，對于A中的元素1，按照對應(yīng)f，在集合B中有兩個數(shù)1，1與之對應(yīng)，不唯一，故不是函數(shù)；中，對于集合A中的元素0，在集合B中沒有與之對應(yīng)的元素，故不是函數(shù)；中，對于集合A中的元素0，在集合B中沒有與之對應(yīng)的元素，故不是函數(shù)答案D2下列函數(shù)中，與函數(shù)yx1是相等函數(shù)的是()Ay()2By1Cy1Dy1解析對于A，函數(shù)y()2的定義域為x|x1，與函數(shù)yx1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于B，定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對于C，函數(shù)y1的定義域為x|x0，與函數(shù)yx1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于D，定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)，故選B.答案B函數(shù)的定義域例2(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，則函數(shù)y的定義域是()A(1，1) B1，1 C1，1) D(1，1解析由題意可得解得1x1，所以函數(shù)y的定義域為(1，1)答案A(2)若函數(shù)f(x)log2(mx2mx1)的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是()A(0，4) B0，4) C(0，4 D0，4解析函數(shù)f(x)log2(mx2mx1)的定義域為R，mx2mx1>0在R上恒成立，當(dāng)m0時，有1>0在R上恒成立，故符合條件；當(dāng)m0時，由解得0<m<4，綜上，實數(shù)m的取值范圍是0，4)答案B小結(jié)(1)對于給出解析式的函數(shù)f(x)，其定義域可能有如下幾種情況：若f(x)是分式，則其定義域是使分母不為零的全體實數(shù)組成的集合；若f(x)是偶次根式，則其定義域是使被開方數(shù)非負(fù)(即不小于零)的實數(shù)的取值集合；如果f(x)是由一些函數(shù)通過四則運算組合而成的，那么它的定義域是各函數(shù)定義域的交集(2)函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量取值的集合，它是函數(shù)不可缺少的組成部分，研究函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀念(3)抽象函數(shù)的定義域：無論是已知定義域還是求定義域，均是指其中的自變量x的取值集合；對應(yīng)法則f下的范圍一致(4)已知定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化，列出含參數(shù)的不等式(組)，進而求范圍3函數(shù)yln(2x)的定義域為()A(0，2) B0，2)C(0，1 D0，2解析由題意知，x0且2x>0，解得0x2，故其定義域是0，2)答案B4已知函數(shù)yf(x21)的定義域為，則函數(shù)yf(x)的定義域為_解析因為函數(shù)yf(x21)的定義域為，所以x，所以1x212，所以函數(shù)yf(x)的定義域為1，2答案 1，2函數(shù)的解析式例3(1)已知f4x26x5，則f_解析法一：f3，fx2x3，即函數(shù)的解析式為fx2x3.法二：令t2x1，則x.f46×5t2t3，fx2x3，即為所求的解析式答案x2x3(2)如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為()Ayx3x2xByx3x23xCyx3xDyx3x22x解析設(shè)所求函數(shù)解析式為f(x)ax3bx2cxd(a0)，則f(x)3ax22bxc(a0)，由題意知解得f(x)x3x2x.答案A小結(jié)求函數(shù)解析式的幾種常用方法：(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，根據(jù)函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出待定系數(shù)即可(2)配湊法：由已知條件f(g(x)F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便可得f(x)的解析式；(3)換元法：已知f(h(x)g(x)求f(x)時，往往可設(shè)h(x)t，從中解出x，代入g(x)進行換元，求出f(t)的解析式，再將t替換為x即可(4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f(或f(x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另一個方程構(gòu)成方程組求出f(x)配湊法和換元法中要注意根據(jù)g(x)或t的范圍確定函數(shù)的定義域5已知函數(shù)f(x)x22x1，函數(shù)yg(x)為一次函數(shù)，若g(f(x)2x24x3，則g(x)_解析由題意，函數(shù)yg(x)為一次函數(shù)，由待定系數(shù)法，設(shè)g(x)kxb (k0)，g(f(x)k(x22x1)bkx22kxbk2x24x3，由對應(yīng)系數(shù)相等，得所以k2，b5.故g(x)2x5.答案2x56已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，且f(x)2f·1，則f(x)_解析在f(x)2f·1中，將x換成，則換成x，得f2f(x)·1，由解得f(x).答案(x0)分段函數(shù)例4(1)已知函數(shù)f(x)若f(a)f(1)0，則實數(shù)a的值等于()A3B1C1D3解析根據(jù)題意，由于函數(shù)f(x)若f(a)f(1)0，而f(1)2，f(a)2，則可知a12，a3.答案D(2)已知函數(shù)f(x)當(dāng)t0，1時，f(f(t)0，1，則實數(shù)t的取值范圍是_解析當(dāng)t0時，f(t)1，f(f(t)f(1)30，1，所以t(0，1，所以f(t)3t(1，3，所以f(f(t)f(3t)·3t0，1，即3t3.所以log3t1.故實數(shù)t的取值范圍是.答案小結(jié)(1)分段函數(shù)問題一般分段求解，其定義域和值域是各段的并集；(2)求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，然后選定相應(yīng)關(guān)系式代入求解；(3)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍；(4)當(dāng)自變量含參數(shù)或范圍不確定時，要根據(jù)定義域分成的不同子集進行分類討論7已知函數(shù)f(x)且f(a)3，則f(6a)等于()ABCD解析函數(shù)f(x)且f(a)3，若a1，則2a123，即有2a11<0，方程無解；若a>1，則log2(a1)3，解得a7，則f(6a)f(1)2112.答案A8設(shè)函數(shù)f(x)g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，g(x)x22x5，若f(g(a)2，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，10，21B1，21C(，1(0，3D1，3解析g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，g(0)0，若x>0，則x<0，g(x)x22x5，g(x)g(x)，g(x)x22x5，x>0，由題意，知f(2)2，f(g(a)2即為f(g(a)f(2)又f(x)g(a)2，或或a0，a1或0a21.故選A.答案A對應(yīng)學(xué)生用書p11(2017·全國卷理)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)f1的x的取值范圍是_解析當(dāng)x時，f(x)f2x2x2x1；當(dāng)0x時，f(x)f2x12xx2x1；當(dāng)x0時，f(x)fx112x，由f(x)f1，得2x1，即x，即x0.綜上，x.答案11