（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題17 直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系

（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題17 直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系【母題原題1】【2018浙江，17】已知點P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點A，B滿足=2，則當(dāng)m=_時，點B橫坐標的絕對值最大【答案】5【解析】分析:先根據(jù)條件得到A,B坐標間的關(guān)系，代入橢圓方程解得B的縱坐標，即得B的橫坐標關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最值取法.詳解：設(shè)，由得因為A,B在橢圓上,所以 ，與對應(yīng)相減得，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值.點睛：解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.【母題原題2】【2018浙江，21】如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上（）設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；（）若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動點，求PAB面積的取值范圍【答案】（）見解析；（）詳解：（）設(shè)，因為，的中點在拋物線上，所以，為方程即的兩個不同的實數(shù)根所以因此，垂直于軸（）由（）可知所以，因此，的面積因為，所以因此，面積的取值范圍是點睛：求范圍問題，一般利用條件轉(zhuǎn)化為對應(yīng)一元函數(shù)問題，即通過題意將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，再根據(jù)函數(shù)形式，選用方法求值域，如二次型利用對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系，分式型可以利用基本不等式，復(fù)雜性或復(fù)合型可以利用導(dǎo)數(shù)先研究單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定值域.【母題原題3】【2017浙江，20】如圖，已知拋物線.點A，拋物線上的點P（x,y）,過點B作直線AP的垂線，垂足為Q（I）求直線AP斜率的取值范圍；（II）求的最大值【答案】（I）（-1，1）；（II）.【解析】試題分析：本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力.滿分15分.（）由斜率公式可得AP的斜率為，再由，得直線AP的斜率的取值范圍；（）聯(lián)立直線AP與BQ的方程，得Q的橫坐標，進而表達與的長度，通過函數(shù)求解的最大值試題解析：（）設(shè)直線AP的斜率為k，因為，所以直線AP斜率的取值范圍是（）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標是因為|PA|=，|PQ|= ，所以令，因為，所以 f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時，取得最大值【名師點睛】本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力，通過表達與的長度，通過函數(shù)求解的最大值【母題原題4】【2016浙江，理19】如圖，設(shè)橢圓（a1）.（）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；（）若任意以點A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）先聯(lián)立和，可得，再利用弦長公式可得直線被橢圓截得的線段長；（）先假設(shè)圓與橢圓的公共點有個，再利用對稱性及已知條件可得任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點時，的取值范圍，進而可得橢圓離心率的取值范圍（）假設(shè)圓與橢圓的公共點有個，由對稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點，滿足記直線，的斜率分別為，且，由（）知，故，所以由于，得，因此， 因為式關(guān)于，的方程有解的充要條件是，所以因此，任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點的充要條件為，由得，所求離心率的取值范圍為【考點】弦長，圓與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的離心率【思路點睛】（）先聯(lián)立和，可得交點的橫坐標，再利用弦長公式可得直線被橢圓截得的線段長；（）利用對稱性及已知條件任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點，求得的取值范圍，進而可得橢圓離心率的取值范圍【命題意圖】考查圓錐曲線的標準方程及幾何性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)式子變形能力、運算求解能力、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及分析問題與解決問題的能力 【命題規(guī)律】縱觀近幾年的高考試題，考查圓錐曲線的題目有小有大，其中小題以考查橢圓、雙曲線的方程及幾何性質(zhì)為主，離心率問題居多，難度在中等以下；大題則是對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，較多的考查直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系問題；有時，先求軌跡方程，再進一步研究直線與曲線的位置關(guān)系.命題的主要特點有：一是以過特殊點的直線與圓錐曲線相交為基礎(chǔ)設(shè)計“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標準方程，進一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；二是以不同曲線（圓、橢圓、拋物線）的位置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標準方程，進一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，綜合性較強，往往與向量（共線、垂直、數(shù)量積）結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題等.【答題模板】求解直線圓錐曲線位置關(guān)系問題的一般思路：第一步：依題意確定圓錐曲線方程.第二步：聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，通過消元，應(yīng)用韋達定理，構(gòu)建目標關(guān)系式.第三步：針對目標關(guān)系式的特點，選擇利用函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識，按要求運算求解.【方法總結(jié)】1.涉及直線與橢圓的基本題型有：（1）位置關(guān)系的判斷（2）弦長、弦中點問題（3）軌跡問題（4）定值、最值及參數(shù)范圍問題（5）存在性問題2常用思想方法和技巧有：（1）設(shè)而不求（2）坐標法（3）根與系數(shù)關(guān)系3. 若直線與橢圓有兩個公共點可結(jié)合韋達定理，代入弦長公式或，求距離2.(1)凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時都要注意利用韋達定理，避免求交點坐標的復(fù)雜運算解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點弦的幾何性質(zhì)(2)對于直線與拋物線相交、相切、中點弦、焦點弦問題，以及定值、存在性問題的處理，最好是作出草圖，由圖象結(jié)合幾何性質(zhì)做出解答并注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點差法”的靈活應(yīng)用3.圓錐曲線的最值與范圍問題的常見求法(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍4求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值5定點的探索與證明問題：(1)探索直線過定點時，可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進行消元，借助于直線系的思想找出定點(2)從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關(guān)6.解析幾何中的綜合性問題很多，而且可與很多知識聯(lián)系在一起出題，解決這類問題需要正確運用轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)學(xué)結(jié)合思想，其中運用最多的是利用方程根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造等式或者函數(shù)關(guān)系式，注意根的判別式來確定或者限制參數(shù)的范圍1【浙江省湖州、衢州、麗水三地市2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期末】已知拋物線的焦點為， 是上兩點，且.（1）若，求線段中點到軸的距離；（2）若線段的垂直平分線與軸僅有一個公共點，求的值.【答案】（1）.（2）.試題解析：（1）設(shè)， ，由拋物線定義可知：.（2）設(shè)（顯然斜率存在），聯(lián)立，所以，得，又，得（*），又 ，代入（*）式，得： .2.【2018屆浙江省杭州市第二中學(xué)6月熱身】如圖，已知圓，拋物線的頂點為，準線的方程為，為拋物線上的動點，過點作圓的兩條切線與軸交于.（）求拋物線的方程；（）若，求面積的最小值.【答案】(1).(2)32.【解析】分析：（）根據(jù)拋物線的準線方程可得，故拋物線的方程可求出.（）求出過的圓的切線的方程后可得兩點的橫坐標，它們可用及其相應(yīng)的斜率表示，因此也與這三者相關(guān).再利用圓心到直線的距離為半徑得到斜率滿足的方程，利用韋達定理和消元后可用關(guān)于的函數(shù)表示，求出該函數(shù)的最小值即可.詳解：（）設(shè)拋物線的方程為，則，所以拋物線的方程是.（）設(shè)切線，即，切線與軸交點為，圓心到切線的距離為，化簡得設(shè)兩切線斜率分別為，則=，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以切線與軸圍成的三角形面積的最小值為32.3【騰遠2018年（浙江卷）紅卷】如圖，直線與拋物線相交于兩點，是拋物線的焦點，若拋物線上存在點，使點恰為的重心.（1）求的取值范圍；（2）求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）設(shè)，聯(lián)立方程組，求得，進而利用重心的坐標公式，求得，由題意得不等式組，即可求解；詳解：（1）設(shè)，由，得，由，得，則，所以，由點為的重心可得，則，且，而，即，代入得，解得，所以的取值范圍為.（2）原點到直線的距離，設(shè)，則，由得或，則在上遞增，在上遞減，即在或處取得最大值，而，所以，所以.點睛：本題主要考直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標函數(shù)”的解析式，確定函數(shù)的性質(zhì)進行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.4【2018屆浙江省教育綠色評價聯(lián)盟5月適應(yīng)性考試】已知橢圓：的左，右焦點分別是，點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，設(shè)的內(nèi)角平分線交的長軸于點（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）設(shè)，則，求出的方程，利用角平分線的性質(zhì)，由點到直線距離公式可得，結(jié)合，可得結(jié)果；（2），設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得，從而可得結(jié)果.詳解：（1）設(shè)，則. 又， 所以直線的方程分別為： 因為 所以因為，可得，所以， 因此（2） 所以設(shè)，則所以， 所以當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號另解： 當(dāng)且僅當(dāng)時取到最大值所以 點睛：解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形面積最值的.5【天津市部分區(qū)2018年質(zhì)量調(diào)查（二）】已知拋物線的焦點與橢圓：的一個頂點重合，且這個頂點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形面積為.（1）求橢圓的方程； （2）若橢圓的上頂點為，過作斜率為的直線交橢圓于另一點，線段的中點為，為坐標原點，連接并延長交橢圓于點，的面積為，求的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得橢圓中的，再根據(jù)三角形的面積求出，根據(jù)，即可求出橢圓方程，（）過點的直線方程為，代入到由得，可求出點的坐標，再求出的坐標和的坐標，以及|和點到直線的距離，根據(jù)三角形的面積求出的值詳解：（2）由題意設(shè)直線的方程為，設(shè)點由得解得，直線斜率，直線的方程為，由得點到直線：的距離為，又，令，則，解得，解得或（舍）的值為.6【2017年天津卷】設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點， 到拋物線的準線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點， 關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.【答案】（）， .（），或.【解析】試題分析：由于為拋物線焦點， 到拋物線的準線的距離為，則，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標準方程和拋物線方程；則，設(shè)直線方程為設(shè)，解出兩點的坐標，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立解出點坐標，寫出 所在直線方程，求出點的坐標，最后根據(jù)的面積為解方程求出，得出直線的方程.試題解析：（）解：設(shè)的坐標為.依題意， ， ， ，解得， ， ，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.（）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點異于點，可得點.由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因為的面積為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.7【2018年浙江省模擬】設(shè)拋物線的焦點為，過點的動直線交拋物線于不同兩點，線段中點為，射線與拋物線交于點.（1）求點的軌跡方程；（2）求面積的最小值.【答案】（1）；（2）詳解：（1）設(shè)直線方程為，代入得設(shè)，則， ， .設(shè)，由消去得中點的軌跡方程為（2）設(shè).， 由點在拋物線上，得.又，點到直線的距離又 .所以， 面積 設(shè)，有，故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，因此，當(dāng)時取到最小值.所以， 面積的最小值是.8【浙江省金華十校2018年4月高考模擬】已知拋物線和：，過拋物線上的一點，作的兩條切線，與軸分別相交于，兩點.（）若切線過拋物線的焦點，求直線斜率；（）求面積的最小值.【答案】（）；（）.【解析】試題分析：（）由拋物線的焦點坐標設(shè)切線的方程為：.利用圓心到直線的距離等于半徑解方程可得，結(jié)合圖形可知直線斜率.（）設(shè)切線方程為，由點在直線上，則，直線與圓相切，則，據(jù)此可得，則，而，.令，則，故，的最小值為.試題解析：（）拋物線的焦點為，設(shè)切線的斜率為，則切線的方程為：，即.，解得：.，.（）設(shè)切線方程為，由點在直線上得：圓心到切線的距離，整理得：將代入得：設(shè)方程的兩個根分別為，由韋達定理得：，從而 ， .記函數(shù)，則，的最小值為，當(dāng)取得等號.9【2018屆浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高三上學(xué)期期末】如圖，已知橢圓：的左、右頂點分別為，是橢圓上異于的兩點，直線交于點，且P位于第一象限（）若直線MN與x軸垂直，求實數(shù)t的值；（）記的面積分別是，求的最小值【答案】（）；（）時，.【解析】試題分析：（）第一問，聯(lián)立直線AM和BN的方程得到它們的交點P的坐標，由題得，得到的值，得到t的值. ()第二問，先算出的表達式，再得到的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)或二次函數(shù)求它的最小值. ()直線的方程為，代入橢圓的方程并整理得： 解得 直線的方程為，代入橢圓的方程并整理得： 解得所以 當(dāng)，即時，.10【2018屆浙江省嵊州市高三上期末】如圖，已知拋物線，點， ，拋物線上的點 ，直線與軸相交于點，記， 的面積分別是， .（1）若，求點的縱坐標；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由斜率公式可得， .由，得即，得；（2）設(shè)直線： ，則，聯(lián)立，消去得，則， ，由弦長公式及點到直線距離公式可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.試題解析：（1）因為，.由，得即，得（2）設(shè)直線： ，則，由，知.聯(lián)立，消去得，則， .所以 ， ，點到直線的距離 .所以 故當(dāng)時， 有最小值.方法2：設(shè)（），則，所以直線： ，則.又直線： ， .則點到直線的距離為，點到直線的距離為所以 .故當(dāng)時， 有最小值.11【2018屆浙江省杭州市高三上期末】已知橢圓，直線，設(shè)直線與橢圓交于兩點.（）若，求實數(shù)的取值范圍；（）若直線的斜率成正等比數(shù)列（其中為坐標原點），求的面積的取值范圍.【答案】（）或.（）【解析】試題分析：(1)由直線與橢圓交于兩點，聯(lián)立直線與橢圓方程，解得，根據(jù)，求出實數(shù)的取值范圍(2) 設(shè)， ，由直線的斜率成正等比數(shù)列，得，計算得，再由點到直線的距離算出，算出面積表達式 ，計算出范圍解析：（）聯(lián)立方程和，得，所以，所以，所以，即，解得或.（）設(shè)， ，則， ，設(shè)直線的斜率，因為直線的斜率成等比數(shù)列，所以，即，化簡，得，即.因為，原點到直線的距離，所以 ，當(dāng)時，直線或的斜率不存在，等號取不到，所以.12.【河南省周口市2016-2017學(xué)年高二下學(xué)期期末】已知拋物線：（）的焦點為，拋物線上存在一點到焦點的距離為3，且點在圓：上（1）求拋物線的方程；（2）已知橢圓：的一個焦點與拋物線的焦點重合，且離心率為直線：交橢圓于，兩個不同的點，若原點在以線段為直徑的圓的外部，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（）設(shè)點 的坐標為，利用已知條件列出的方程組，求出即可得到拋物線方程試題解析：（1）設(shè)點的坐標為由題可知，解得，拋物線的方程為；（2）由（1）得，拋物線的焦點，橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，橢圓的半焦距，即，又橢圓的離心率為，即，橢圓的方程為，設(shè)，由，得，由韋達定理，得，由，得，解得或，原點在以線段的圓的外部，則，即， 由，得，實數(shù)的范圍是或，即實數(shù)的取值范圍是