四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第5課時 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)同步測試 新人教A版選修1 -1

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1、四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第5課時 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)同步測試 新人教A版選修1 -1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.雙曲線9y2-16x2=144的漸近線方程為(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=x B.x=y C.y=±x D.x=±y 　　【解析】令9y2-16x2=0,可得漸近線方程為y=±x. 　　【答案】C 2.若雙曲線-=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,則r等于(　　). A.　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.6 【解析】由題可知,雙曲線的漸近線方程為y=±x,圓的圓心為(3

2、,0). 由題意得圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r===. 【答案】A 3.對于方程-y2=1和-y2=λ(λ>0且λ≠1)所分別表示的雙曲線有如下結(jié)論: ①有相同的頂點;②有相同的焦點; ③有相同的離心率;④有相同的漸近線. 其中正確結(jié)論的序號是(　　). A.①④ B.②④ C.③④ D.②③ 【解析】對于方程-y2=1,a=2,b=1,c=;對于方程-y2=λ,a'=2,b'=,c'=·.顯然a',b',c'分別是a,b,c的倍,因此有相同的離心率和漸近線. 【答案】C 4.已知m,n為兩個不相等的非零實數(shù),則方程mx-y+n=0與nx2+my2=mn所表示的曲

3、線可能是(　　). 　　 【解析】由題意,方程可化為y=mx+n和+=1,B,D選項中,兩橢圓中m>0,n>0,但直線中m<0,矛盾;A選項中,雙曲線中n>0,m<0,但直線中m>0,矛盾;C選項中,雙曲線中m>0,n<0,直線中m>0,n<0,符合.故選C. 【答案】C 5.已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點分別為雙曲線E的兩個焦點,且2|AB|=3|BC|,則雙曲線E的離心率是　　　　.? 【解析】假設(shè)點A在第一象限,點B在第四象限,則A,B,所以|AB|=,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得離心

4、率e=2或e=-(舍去),所以雙曲線E的離心率為2. 【答案】2 6.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圓(x+c)2+y2=4c2與雙曲線C位于x軸上方的兩個交點,且F1A∥F2B,則雙曲線C的離心率為　　　　.? 【解析】 由雙曲線定義得AF2=2a+2c,BF2=2c-2a,因為F1A∥F2B,所以cos∠F2F1A=-cos∠F1F2B, 再利用余弦定理得 =-, 化簡得2e2-3e-1=0,又e>1,所以e=. 【答案】 7.已知雙曲線的中心在原點,離心率為2,一個焦點F是(-2,0). (1

5、)求雙曲線的方程; (2)設(shè)Q是雙曲線上一點,且過點F,Q的直線l與y軸交于點M,若||=2||,求直線l的方程. 【解析】(1)由題意可設(shè)所求的雙曲線方程為-=1(a>0,b>0), ∵e==2,c=2,∴a=1,∴b=, ∴所求的雙曲線方程為x2-=1. (2)∵直線l與y軸相交于點M且過焦點F(-2,0), ∴直線l的斜率一定存在. 設(shè)直線l的方程為y=k(x+2), 令x=0,得點M(0,2k). ∵||=2||且M,Q,F三點共線于l,∴=2或=-2. 當(dāng)=2時,xQ=-,yQ=k,∴Q. 又∵點Q在雙曲線x2-=1上,∴-=1,∴k=±. 當(dāng)=-2時, 同

6、理可將點Q(-4,-2k)代入雙曲線方程, 得16-=1,∴k=±, 故所求直線l的方程為y=±(x+2)或y=±(x+2). 拓展提升(水平二) 8.已知離心率為e的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點F1,F2,P是兩曲線的一個公共點,若∠F1PF2=,則e等于(　　). A. B. C. D.3 【解析】由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2c?|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=8c2,由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2, 從而解得|PF1||PF2|=c2?(|PF1|-|PF2|)2=8c2-?4a2=?=?e=.

7、故選A. 【答案】A 9.中心在坐標(biāo)原點,離心率為的雙曲線的焦點在y軸上,則它的漸近線方程為(　　). A.y=±x　　　　　　 B.y=±x C.y=±x D.y=±x 【解析】∵=,∴==,∴=, ∴=,=. 又∵雙曲線的焦點在y軸上, ∴雙曲線的漸近線方程為y=±x, 故所求雙曲線的漸近線方程為y=±x. 【答案】D 10.已知雙曲線-=1(b>0)的左、右焦點分別是F1、F2,其一條漸近線方程為y=x,點P(,y0)在雙曲線上,則·=　　　　　.? 【解析】由漸近線方程為y=x知,=1, 即b=, 因為點P(,y0)在雙曲線上,所以y0=±1. 當(dāng)y0=1

8、時,P(,1),F1(-2,0),F2(2,0), 所以·=0; 當(dāng)y0=-1時,P(,-1),·=0. 【答案】0 11.已知雙曲線C:-y2=1,P是C上的任意一點. (1)求證:點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù). (2)若點A的坐標(biāo)為(3,0),求|PA|的最小值. 【解析】(1)設(shè)P(x1,y1)是C上任意一點, 由題可知,雙曲線的兩條漸近線方程分別是x-2y=0和x+2y=0. 所以點P(x1,y1)到兩條漸近線的距離分別是和, 所以·==. 故點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù). (2)由點A的坐標(biāo)(3,0),得|PA|2=(x1-3)2+=(x1-3)2+-1=+. 又點P在雙曲線上,所以|x1|≥2, 故當(dāng)x1=時,|PA|2的最小值為, 即|PA|的最小值為.