2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義：第09章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓及其性質(zhì) Word版含答案

2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義：第09章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓及其性質(zhì) Word版含答案考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)橢圓方程xx·全國卷·T20·12分求橢圓方程證明定值問題數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理xx·全國卷·T20·12分求橢圓方程證明定值問題數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理xx·全國卷·T12·5分求橢圓方程數(shù)學(xué)運(yùn)算橢圓的性質(zhì)xx·全國卷·T5·5分已知橢圓的離心率求橢圓與拋物線綜合問題數(shù)學(xué)運(yùn)算xx·全國卷·T12·5分求橢圓的離心率數(shù)學(xué)運(yùn)算xx·全國卷·T11·5分求橢圓離心率數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)一直是高考的熱點(diǎn)，其中離心率考查比較頻繁直線與橢圓的位置關(guān)系多以解答題的形式出現(xiàn)，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想.標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axa，bybbxb，aya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：(0,0)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a，短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e，e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2×2|y|1，|y|1，y±1.1，x±，x0，x，P.答案：橢圓的定義及應(yīng)用明技法(1)橢圓定義的應(yīng)用范圍確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題(2)焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|PF1|PF2|；通過整體代入可求其面積等提能力【典例】 (xx·徐州模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1PF2，若PF1F2的面積為9，則b_.解析：設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，則所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.答案：3刷好題1設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，且|PF1|PF2|21，則PF1F2的面積為()A4B6C2D4解析：選A因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以|PF1|PF2|6，又因?yàn)閨PF1|PF2|21，所以|PF1|4，|PF2|2，又易知|F1F2|2，顯然|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，故PF1F2為直角三角形，所以PF1F2的面積為×2×44.故選A2已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_.解析：設(shè)動圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|816，所以動圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a16,2c8，則a8，c4，所以b248，又焦點(diǎn)C1、C2在x軸上，故所求的軌跡方程為1.答案：1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明技法用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的四個步驟提能力【典例】 (1)(xx·湖南六校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e，且它的一個焦點(diǎn)與拋物線y24x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為()A1B1Cy21Dy21(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0b1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：(1)依題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，所以c1，又離心率e，解得a2，b2a2c23，所以橢圓方程為1.(2)不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖所示因?yàn)锳F2x軸，所以|AF2|b2.因?yàn)閨AF1|3|BF1|，所以B.將B點(diǎn)代入橢圓方程，得21，所以c21.又因?yàn)閎2c21，所以故所求的方程為x21.答案： (1)A(2)x21刷好題求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)；(2)短軸一個端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為；(3)經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，Q(，2)兩點(diǎn)；(4)與橢圓1有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)(2，)解：(1)若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為1(a>b>0)橢圓過點(diǎn)A(3,0)1，a3，2a3×2b，b1，方程為y21.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為1(a>b>0)橢圓過點(diǎn)A(3,0)，1，b3.又2a3×2b，a9，方程為1.綜上所述，橢圓方程為y21或1.(2)由已知，有解得從而b2a2c29.所求橢圓方程為1或1.(3)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m>0，n>0，mn)點(diǎn)P(2，1)，Q(，2)在橢圓上，解得m，n.故1為所求橢圓的方程(4)方法一e，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為1(m>n>0)，則12.從而2，. 又1，m28，n26.方程為1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為1 (m>n>0)，則1，且，解得m2，n2.故所求方程為1.方法二若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為t(t>0)，將點(diǎn)(2，)代入，得t2.故所求方程為1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為(>0)代入點(diǎn)(2，)，得，1.橢圓的幾何性質(zhì)析考情橢圓幾何性質(zhì)的內(nèi)容很豐富，因此在高考中對橢圓幾何性質(zhì)的考查也非常廣泛，但離心率及其范圍卻是每年高考的熱點(diǎn). 應(yīng)用平面幾何知識往往是解決這類問題的關(guān)鍵提能力命題點(diǎn)1：由橢圓的方程研究其性質(zhì)【典例1】 已知橢圓1(ab0)的一個焦點(diǎn)是圓x2y26x80的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為()A(3,0)B(4,0)C(10,0)D(5,0)解析：選D因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y21，所以圓心坐標(biāo)為(3,0)，所以c3，又b4，所以a5.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的左頂點(diǎn)為(5,0)命題點(diǎn)2：由橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍【典例2】 已知橢圓mx24y21的離心率為，則實(shí)數(shù)m等于()A2B2或C2或6D2或8解析：選D顯然m0且m4，當(dāng)0m4時，橢圓長軸在x軸上，則，解得m2；當(dāng)m4時，橢圓長軸在y軸上，則，解得m8.命題點(diǎn)3：求離心率的值或范圍【典例3】 (xx·全國卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()ABCD解析：選A由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bxay2ab0與圓相切，圓心到直線的距離da，解得ab，e.故選A悟技法應(yīng)用橢圓幾何性質(zhì)的2個技巧與1種方法2個技巧(1)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想到一個圖形(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式例如axa，byb,0e1，在求橢圓的相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系1種方法求橢圓離心率的方法：(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解刷好題1(xx·全國卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()ABCD解析：選B如圖，由題意得，BFa，OFc，OBb，OD×2bb.在RtOFB中，|OF|×|OB|BF|×|OD|，即cba·b，代入解得a24c2，故橢圓離心率e，故選B2(xx·東北三省三校聯(lián)考)若橢圓y21的兩個焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則·的取值范圍是()A1,4B1,3C2,1D1,1解析：選C橢圓y21兩個焦點(diǎn)分別是F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)P(x，y)，則(x，y)，(x，y)，·(x)(x)y2x2y23.因?yàn)閥21，代入可得·x22，而2x2，所以·的取值范圍是2,1，故選C3設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x22y22的左、右焦點(diǎn)，P是該橢圓上的一個動點(diǎn)則| 的最小值是_解析：將方程變形為y21，則F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)設(shè)P(x0，y0)，則(1x0，y0)，(1x0，y0)(2x0，2y0)，|22.點(diǎn)P在橢圓上，0y1.當(dāng)y1時，|的最小值為2.答案：2